2024-2025学年上海市静安区名校数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年上海市静安区名校数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）
A．（，1）B．（2，1）
C．（2，）D．（1，）
2、（4分）已知一次函数不过第二象限，则b试问取值范围是（ ）
A．b<0B．b>0C．b≤0D．b≥0
3、（4分）以下命题，正确的是（ ）.
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4、（4分）下列曲线中能表示y是x的函数的为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如果关于的分式方程有增根，则增根的值为（ ）
A．0B．-1C．0或-1D．不存在
6、（4分）如图，在等边△ABC中，点P从A点出发，沿着A→B→C的路线运动，△ACP的面积为S，运动时间为t，则S与t的图像是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）下列关于一元二次方程x2+bx+c＝0的四个命题
①当c＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；
②当c≠0时，若p是方程x2+bx+c＝0的一个根，则是方程cx2+bx+1＝0的一个根；
③若c＜0，则一定存在两个实数m＜n，使得m2+mb+c＜0＜n2+nb+c；
④若p，q是方程的两个实数根，则p﹣q＝，
其中是假命题的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________。
10、（4分）小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每枝钢笔5元，那么小明最多能买________枝钢笔．
11、（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝AF；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论的有_____（只填序号）．
12、（4分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．
13、（4分）已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知直线 :与x轴，y轴的交点分别为A，B，直线 : 与y轴交于点C，直线与直线的交点为E，且点E的横坐标为2.
（1）求实数b的值；
（2）设点D（a，0）为x轴上的动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线与直线于点M、N，若以点B、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求a的值.
15、（8分）阅读材料，回答问题：
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
分解因式：（1）；
（2）．
16、（8分）如图，直线l1：y1=−x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．
（1）求两直线交点D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
17、（10分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）断⊿BEC的形状，并说明理由；
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．
18、（10分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为20m，宽为15m的长方形空地上修建一条宽为a（m）的甬道，余下的部分铺设草坪建成绿地．
（1）甬道的面积为 m2，绿地的面积为 m2（用含a的代数式表示）；
（2）已知某公园公司修建甬道，绿地的造价W1（元），W2（元）与修建面积S之间的函数关系如图2所示．①园林公司修建一平方米的甬道，绿地的造价分别为 元， 元．②直接写出修建甬道的造价W1（元），修建绿地的造价W2（元）与a（m）的关系式；③如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽度不少于2m且不超过5m，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和绿地的总造价最低，最低总造价为多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，反比例函数 y＝的图象经过矩形 OABC 的一个顶点 B，则矩形 OABC 的面积等于___．
20、（4分）若，则= ．
21、（4分）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2019个三角形的面积为_______.
22、（4分）如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝___度．
23、（4分）反比例函数y=的图像在其每一象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是______.(写出一个数值即可）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A B为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小，请求出M点的坐标．
25、（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
26、（12分）先化简，再求的值，其中x=2
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′=，于是得到结论．
【详解】
解：∵AD′=AD=2，
AO=AB=1，
OD′=，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选D．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
2、C
【解析】
根据题意可知：图象经过一三象限或一三四象限，可得b=1或b＜1，再解不等式可得答案．
【详解】
解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
若经过一三象限时，b=1；
若经过一三四象限时，b＜1．
故b≤1，
故选C．
此题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞1时，直线必经过一、三象限；k＜1时，直线必经过二、四象限；b＞1时，直线与y轴正半轴相交；b=1时，直线过原点；b＜1时，直线与y轴负半轴相交．
3、A
【解析】
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，
故选：A．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．
4、D
【解析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断．
【详解】
A、B、C选项，一个x的值对应有两个y值，故不能表示y是x的函数，错误，
D选项，x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，正确，
故选D．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
5、A
【解析】
先把分式方程化成整式方程，再解整式方程求出x的值，根据方程有增根得出或，解出k的值即可得出答案.
【详解】
又方程有增根
∴或
无解或k=0
∴k=0
∴增根的值为0
故答案选择A.
本题考查的是分式方程的增根问题，属于基础题型，解题关键是根据增根得出整式方程有解，而分式方程无解，即整式方程求出的解使得分式方程的分母等于0.
6、C
【解析】
当点A开始沿AB边运动到点B时，△ACP的面积为S逐渐变大；当点A沿BC边运动到点C时，△ACP的面积为S逐渐变小. , ∴由 到 与由 到 用的时间一样.故选C.
7、D
【解析】
根据k值的正负，判断一次函数和反比例函数必过的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】
在函数与中，
当k>0时，图象都应过一、三象限；
当k<0时，图象都应过二、四象限，
故选：D．
本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8、D
【解析】
根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．
【详解】
当c＝0，b≠0时，△＝b2＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，①是真命题；
∵p是方程x2+bx+c＝0的一个根，
∴p2+bp+c＝0，
∴1++＝0，
∴是方程cx2+bx+1＝0的一个根，②是真命题；
当c＜0时，抛物线y＝x2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，
则当﹣＜m＜0＜n时，m2+mb+c＜0＜n2+nb+c，③是真命题；
p+q＝﹣b，pq＝c，
（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝b2﹣4c，
则|p﹣q|＝，④是假命题，
故选：D．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、52
【解析】
根据直角三角形的性质得AD=CD，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案 .
【详解】
∵∠ACB=90°，D是AB上的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=26°，
∴∠BDC=2∠A=52°.
故答案为52 .
此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 .
10、1
【解析】
解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔，
根据题意，可得，可求得y≤
因为y为正整数，所以最多可以买钢笔1支．
故答案为：1．
11、①②④⑤
【解析】
①②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=⊂FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；
③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=，MC=DF=﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（﹣2）=4﹣，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；
④AF===，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴=FG•CG，cs∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴=FG•DG，故选项⑤正确；
本题正确的结论有4个，
故答案为①②④⑤.
12、
【解析】
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
【详解】
设AP，EF交于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD,AB∥CD.
∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PE∥AF,PF∥AE.
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE.
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=ACBD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=．
13、
【解析】
试题解析：∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，
∴b＞0，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
例如y=-x+1（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
考点：一次函数图象与系数的关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（2）2；（2）a=5或-2.
【解析】
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，由点E在直线上可得到点E的坐标，由点E在直线上，进而得出实数b的值；
（2）依据题意可得MN＝|2+a−(2−a)|＝|a−2|，BO=2．当MN=BO=2时，以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，即可得到|a-2|=2，进而得出a的值．
【详解】
解：（2）∵点E在直线l2上，且点E的横坐标为2，
∴点E的坐标为（2，2），
∵点E在直线l上，
∴2＝−×2+b，
解得：b=2；
（2）如图，当x=a时，yM＝2−a，yN＝2+a，
∴MN＝|2+a−(2−a)|＝|a−2|，
当x=0时，yB=2，
∴BO=2．
∵BO∥MN，
∴当MN=BO=2时，以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
此时|a-2|=2，
解得：a=5或a=-2．
∴当以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为5或-2．
故答案为：（2）2；（2）a=5或-2.
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15、（1）；（2）
【解析】
（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
解：（1）
．
（2）
．
本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
16、（1）D点坐标为（4，3）（1）15；（3）x＜4
【解析】
试题分析：（1）先得到两函数的解析式，组成方程组解求出D的坐标；（1）由y1=
x+1可知，C点坐标为（0，1），分别求出△ABC和△ACD的面积，相加即可．（3）由图可直接得出y1＞y1时自变量x的取值范围．
试题解析：（1）将A（0，6）代入y1=−x+m得，m=6；将B（-1，0）代入y1=kx+1得，k=
组成方程组得解得 故D点坐标为（4，3）；
（1）由y1=x+1可知，C点坐标为（0，1），S△ABD=S△ABC+S△ACD=×5×1+×5×4=15；
（3）由图可知，在D点左侧时，y1＞y1，即x＜4时，出y1＞y1．
17、（1）△BEC是直角三角形，理由见解析；
（2）四边形EFPH为矩形，证明见解析；
【解析】
（1）由矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）由矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
【详解】
（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE===，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四边形EFPH为矩形，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
考点：1、勾股定理及逆定理；2、矩形的性质和判定；3、平行四边形的性质和判定；4、三角形的面积
18、（1）15a、（300﹣15a）；（2）①①80、70；；②W1＝80×15a＝1200a，W2＝70（300﹣15a）＝﹣1050a+21000；③甬道宽为2米时，修建的甬道和绿地的总造价最低，最低总造价为21300元；
【解析】
（1）根据图形即可求解；
（2）①园林公司修建一平方米的甬道，绿地的造价分别为＝80元，＝70元②根据题意即可列出关系式；③W＝W1+W2＝1200a+（﹣1050a+21000）＝150a+21000，再根据2≤a≤5，即可进行求解.
【详解】
解：（1）甬道的面积为15am2，绿地的面积为（300﹣15a）m2；
故答案为：15a、（300﹣15a）；
（2）①园林公司修建一平方米的甬道，绿地的造价分别为＝80元，＝70元．
②W1＝80×15a＝1200a，
W2＝70（300﹣15a）＝﹣1050a+21000；
③设此项修建项目的总费用为W元，
则W＝W1+W2＝1200a+（﹣1050a+21000）＝150a+21000，
∵k＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵2≤a≤5，
∴当a＝2时，W有最小值，W最小值＝150×2+21000＝21300，
答：甬道宽为2米时，修建的甬道和绿地的总造价最低，最低总造价为21300元；
故答案为：①80、70；
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意得到关系式进行求解.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4
【解析】
因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】
由于点B在反比例函数y＝的图象上，k=4
故矩形OABC的面积S=|k|=4.
故答案为:4
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|是解题的关键.
20、1．
【解析】
试题分析：有意义，必须，，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴==1．故答案为1．
考点：二次根式有意义的条件．
21、
【解析】
根据勾股定理逐一进行计算，从中找到规律，即可得到答案.
【详解】
第一个三角形中，

第二个三角形中，

第三个三角形中，

…
第n个三角形中，

当时，
故答案为：.
本题主要考查勾股定理及三角形面积公式，掌握勾股定理，找到规律是解题的关键.
22、1．
【解析】
由平行四边形的性质可知：AD∥BC，推出∠AEB＝∠EBC，求出∠EBC即可；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°，AD∥BC，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝1°，
∴∠AEB＝∠EBC＝1°，
故答案为1．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23、1
【解析】
∵反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴，解得.
∴k可取的值很多，比如：k=1.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）D（－6，4）；（3）M（－2，0）
【解析】
（1）由题意将y=0和x=0分别代入即可求出点A、B的坐标，进而求出边AB的长；
（2）根据题意作DH⊥轴于H，并利用全等三角形的判定与性质求得△DAH≌△ABO，进而得出DH和OH的值即可；
（3）根据题意作D点关于轴的对称点为E，并连接BE交x轴于点M，△MDB的周长为,有为定值，只需满足的值最小即可，将进行转化，根据两点间线段最短即可知道此时的M即为所求，解出直线BE的解析式即可得到M点的坐标．
【详解】
解：（1）由题意直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将y=0和x=0分别代入即可求出点A、B的坐标为：A（－4，0），B（0，2），
所以AB＝.
（2）作DH⊥轴于H，
由于∠DHA＝∠BAD＝90°，
∠DAH＋∠BAO=90°，
∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAH＝∠ABO，
又DA＝AB，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
则DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，OH=4+2=6,
∵点D的坐标在第二象限，
∴D（－6，4）.
（3）作D点关于轴的对称点为E，并连接BE交x轴于点M，
根据轴对称的性质可知，E（－6，－4），
△MDB的周长为：,有为定值，只需满足的值最小即可，
将进行转化，根据两点间线段最短即可知道此时的M即为所求，
利用待定系数法求得直线BE的解析式为，
直线与轴的交点坐标为（－2，0），
故M（－2，0）．
本题考查一次函数与正方形，涉及的知识有待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握相关性质及定理是解答本题的关键．
25、（1）证明见解析（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明见解析；
【解析】
（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
【详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点、分别是、的中点，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
解：当四边形是菱形时，四边形是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
26、 ， ．
【解析】
首先把分式利用通分、约分化简，然后代入数值计算即可求解．
【详解】
解：
=
=
= ，
当x=3时，原式= = ．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分