2024-2025学年广东省广州市广信中学高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市广信中学高三（上）第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题
C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题
3.设a，b是向量，则“(a+b)⋅(a−b)=0”是“a=−b或a=b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.鸢是鹰科的一种鸟，《诗经⋅大雅⋅旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1)，寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位：cm)，绘制对应散点图(图2)如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y =0.7501x+0.6105.根据以上信息，如下判断正确的为( )
A. 花萼长度与花瓣长度不存在相关关系
B. 花萼长度与花瓣长度负相关
C. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D. 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642
5.若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=( )
A. −40B. 40C. 41D. 82
6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
7.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
8.已知a=20.7，b=(13)0.7，c=lg213，则( )
A. a>c>bB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b
9.有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差大于x1，x2，…，x6的极差
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )
A. 事件B与事件C互斥B. P(B)=38
C. 事件A与事件B相互独立D. 记C的对立事件为C−，则P(B|C−)=37
11.若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A. bc>0B. ab>0C. b2+8ac>0D. ac<0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(22.5)=______．
13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
14.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=(2x2−5x+4)ex．
(1)求y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
16.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1−S2+S3= 32，sinB=13．
(1)求△ABC的面积；
(2)若sinAsinC= 23，求b．
17.(本小题12分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(ex+a)−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
19.(本小题12分)
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B−|A)与P(B|A−)P(B−|A−)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
(ⅰ)证明：R=P(A|B)P(A−|B)⋅P(A−|B−)P(A|B−)；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B−)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.C
9.B
10.CD
11.BCD

13.−28
14.(−∞,−4)∪(0,+∞)
15.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=(2x2−x−1)ex，
所以f′(0)=−1，
又f(0)=4，
故y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−4=−(x−0)，即x+y−4=0．
(2)令f(x)=0，则2x2−x−1=0，
解得x1=−12，x=1，
所以当x<−12时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当−12当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−12时，f(x)取得极大值f(−12)=7e−12，
当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=e．
16.解：(1)S1=12a2sin60°= 34a2，
S2=12b2sin60°= 34b2，
S3=12c2sin60°= 34c2，
∵S1−S2+S3= 34a2− 34b2+ 34c2= 32，
解得：a2−b2+c2=2，
∵sinB=13，a2−b2+c2=2>0，即csB>0，
∴csB=2 23，
∴csB=a2+c2−b22ac=2 23，
解得：ac=3 24，
S△ABC=12acsinB= 28．
∴△ABC的面积为 28．
(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，
∴a=bsinAsinB，c=bsinCsinB，
由(1)得ac=3 24，
∴ac=bsinAsinB⋅bsinCsinB=3 24
已知，sinB=13，sinAsinC= 23，
解得：b=12．
17.解：(1)已知甲以往的9次成绩中有4次获得优秀奖，
若用频率估计概率，
则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为49；
(2)若用频率估计概率，
则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为36=12，
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为24=12，
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=59×12×12=536，P(X=1)=2×59×12×12+49×12×12=718，
P(X=2)=59×12×12+2×49×12×12=1336，P(X=3)=49×12×12=19，
所以EX=0×536+1×718+2×1336+3×19=139；
(3)易知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为12，
又丙投出过三人成绩中的最大值9.85m，在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
18.解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)=aex−1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；
当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)<0，则00，则a> 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
19.解：(1)补充列联表为：
计算K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(i)证明：R=P(B|A)P(B−|A)：P(B|A−)P(B−|A−)=P(B|A)P(B−|A)⋅P(B−|A−)P(B|A−)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)⋅P(A−B−)P(A−)P(A−B)P(A−)=P(AB)⋅P(A−B−)P(AB−)⋅P(A−B)=P(AB)P(B)P(A−B)P(B)⋅P(A−B−)P(B−)P(AB−)P(B−)=P(A|B)P(A−|B)⋅P(A−|B−)P(A|B−)；
(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B−)=10100=110，P(A−|B)=1−P(A|B)=35，P(A−|B−)=1−P(A|B−)=910，
所以R=2535×910110=6． 不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200