鲁教版（五四学制）（2024）八年级上册4 分式方程背景图课件ppt

这是一份鲁教版（五四学制）（2024）八年级上册4 分式方程背景图课件ppt，共38页。

知识点1　分式方程的概念
1.(2023山东泰安岱岳十五中月考)下列方程:①x2-2x= ;② -1= ;③x4-2x2=0;④ x2-1=0.其中是分式方程的是 (　    )A.①②③　　    B.①②　　    C.①③　　　   D.①②④
解析　方程①②是分式方程.故选B.
知识点2　分式方程的解法
2.(2023辽宁大连中考)将方程 +3= 去分母,两边同乘(x-1)后的式子为 (　    )A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3xC.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x
解析　分式方程的两边同乘(x-1),得1+3(x-1)=-3x.故选B.
3.(2023湖北恩施州中考)分式方程 = 的解是 (　    )A.x=3　　　    B.x=-3　　　    C.x=2　　　    D.x=0
解析　最简公分母是(x-3)(x-1),去分母得x(x-1)=(x+1)(x-3),解 得x=-3,当x=-3时,(x-3)(x-1)=24≠0,∴原分式方程的解是x=-3, 故选B.
4.(2023山东淄博中考)已知x=1是方程 - =3的解,那么实数m的值为 (　    )A.-2　　　    B.2　　　    C.-4　　　    D.4
解析　将x=1代入方程,得 - =3,解得m=2.故选B.
5.(2024湖南长沙雨花期末)若关于x的方程 - =1的解为负数,则m的取值范围是 (　    )A.m<2 B.m<3C.m<2且m≠-1 D.m<3且m≠2
解析　去分母得m-2=x+1,解得x=m-3,∵原方程的解为负数, ∴m-3<0,∴m<3,∵x+1≠0,∴m-3+1≠0,∴m≠2,∴m<3且m≠ 2,故选D.
6.(2021四川宜宾中考)若关于x的分式方程 -3= 有增根,则m的值是 (　    )A.1　　　    B.-1　　　    C.2　　　    D.-2
解析　方程两边同乘(x-2)得x-3(x-2)=m,解得x=3- m.∵分式方程有增根,∴x-2=0,∴x=2.∴3- m=2,∴m=2.故选C.
7.(新独家原创)数轴上有两点P ,Q ,当x=    　　    时,点P在点Q的右侧,且两点之间的距离为1.
解析　根据题意可得 - =1,去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,去括号,得x2+x-2x+1=x2-1,移项、合并同类项,得-x=-2,系数化为1,得x=2,检验:当x=2时,x2-1≠0,∴x=2是原分式方程的解.故当x=2时, 点P在点Q的右侧,且两点之间的距离为1.
8.式子 被称为二阶行列式,它的运算法则为 =ad-bc.若 =1,则x=　　　    .
解析　∵ =1,∴ - =1,方程两边都乘(x-1),得2+1=x-1,解得x=4,检验:当x=4时,x-1≠0,∴x=4是分式方程的解.
9.(教材变式·P40随堂练习T1)解方程:(1) = ;(2) - =1.
解析    (1)两边同乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,去括号,得2x-2=x+3,移项、合并同类项,得x=5,检验:当x=5时,(x+3)(x-1)≠0,故原分式方程的解是x=5.
(2)方程变形为 - =1,方程两边都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,所以x=1是增根,即原分式方程无解.
10.(新考法)(2024山东威海荣成期中)小华想复习分式方程, 由于印刷问题,有一道解方程问题中的一个数“?”看不清 楚: +3= .小华的妈妈说:“我看到标准答案是方程的增根是x=2,分式方程无解.”则分式方程中“?”代表的数是 多少?
解析　设“?”代表的数为m,则分式方程为 +3= .去分母,得m+3(x-2)=-1,把x=2代入,得m+3×(2-2)=-1,∴m=-1.∴原分式方程中“?”代表的数是-1.
11.(2024河北秦皇岛期中)对于任意的实数a,b,规定新运算:a ※b=(a+b)÷b.(1)计算: ※ ;(2)若 ※ +1= ,求m的值.(要求写出解方程的过程)
解析    (1)原式= ÷ = · = · = .(2)由(1)可得 +1= ,去分母,得3(m-3)+6(m-1)=m-1,
去括号,得3m-9+6m-6=m-1,移项、合并同类项,得8m=14,系数化为1,得m= ,经检验,m= 是原分式方程的解,故m的值为 .
12.(2023山东聊城中考,7,★★☆)若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数,则m的取值范围是 (　    )A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠1
解析　去分母得x+x-1=-m,移项、合并同类项得2x=1-m,系数化为1得x= ,∵原分式方程的解为非负数,∴ ≥0,且 ≠1,解得m≤1且m≠-1,故选A.
13.(易错题)(2023山东泰安泰山期末,9,★★☆)若关于x的分 式方程 + =2a无解,则a的值为 (　    )A.1B.1或 C.-1或 D.以上都不是
解析　本题容易出现漏解的情况.方程两边同乘(3-x),得-x+3a=2a(3-x),整理得(2a-1)x=3a.∵原分式方程无解,∴有以下两种情况:①当2a-1=0,即a= 时,整式方程无解,原分式方程无解;②当2a-1≠0,即a≠ 时,x= ,令3-x=0,解得x=3,∴当 =3,即a=1时,原分式方程产生增根,无解.综上所述,当a=1或 时,原分式方程无解.故选B.
14.(2024山东临沂兰陵期末,12,★★☆)对于两个不相等的实 数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b中较小的值,如:min{2,4} =2,按照这个规定,方程min = 的解的情况为 (        )A.x=-1或2 B.x=2C.x=-1 D.无解
解析　①当x>0时, >- ,∴min =- ,由题意得- = ,解得x=-1(不合题意,舍去);②当x<0时, <- ,∴min = ,由题意得 = ,解得x=2(不合题意,舍去).
综上所述,方程min = 无解.故选D.
15.(2023北京中考,11,★☆☆)方程 = 的解为　　        .
解析　方程两边同乘2x(5x+1),得3×2x=5x+1,解得x=1.检验:当x=1时,2x(5x+1)=12≠0.∴原分式方程的解为x=1.
16.(2022山东济南中考,16,★☆☆)若代数式 与代数式 的值相等,则x=　　　    .
解析　由题意得 = ,去分母,得3(x-1)=2(x+2),去括号,得3x-3=2x+4,移项,得3x-2x=4+3,解得x=7,经检验,x=7是原方程的解,所以原方程的解为x=7.
17.(2024山东淄博桓台期中,20,★★☆)已知关于x的分式方 程 + +2=0.(1)若分式方程有增根,求m的值;(2)若分式方程的解是负数,求m的取值范围.
解析    (1)分式方程有增根,则方程的增根为x=1,原方程去分母并整理得5x-m+2=0,将x=1代入得5-m+2=0,解得m=7.
(2)由(1)得5x-m+2=0,解得x= ,∵分式方程的解是负数,∴ <0,且 ≠1,
解得m<2,∴当m<2时,分式方程的解是负数.
18.(2024江西上饶万年期末,22,★★☆)关于x的方程x+ =c+ 的解是x=c或x= ;x+ =c+ 的解是x=c或x= ;x+ =c+ 的解是x=c或x= ;……(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于x的方程x+ =m+ (m≠0,n≠0)的解是什么(直接写出答案),并利用“方程的
解”的概念进行验证.(2)请利用这个结论解关于x的方程:x- =a- (a≠3).
解析    (1)关于x的方程x+ =m+ (m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2= .检验:当x=m时,左边=m+ ,右边=m+ ,左边=右边,所以x=m是方程的解;当x= 时,左边= + = +m,右边=m+ ,左边=右边,所以x= 是方程的解.
故关于x的方程x+ =m+ (m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2= .(2)x- =a- (a≠3),(x-3)+ =(a-3)+ ,所以x-3=a-3或x-3= ,解得x1=a,x2= .
方法指引    解分式方程的关键是去分母,把分式方程转化为 整式方程,但在解分式方程的过程中,有时用去分母的方法会 使运算复杂,计算量加大,因此可以采用特殊的方法进行解 答.换元法解分式方程就是一种特殊、简便的方法.
微专题　特殊法解分式方程
1.(2024上海杨浦期中)已知x为实数,若x2+ -5 +8=0,则x+ 的值为　　　    .
解析　设x+ =a,则x2+ =a2-2,∵x2+ -5 +8=0,∴a2-2-5a+8=0,解得a=2或a=3,∴x+ 的值为2或3.
2.(2024陕西西安新城月考改编)【阅读】解方程:(x-1)2-5(x-1)+4=0.解:设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,解得x=2;当y=4时,x-1=4,解得x=5.所以原方程的解为x1=2,x2=5.上述解法称为“整体换元法”.【应用】
(1)若在方程 - =0中,设y= ,则原方程可化为　　     .(2)请运用“整体换元法”解方程: - -2=0.
解析    (1)∵y= ,∴ - =0可化为y- =0.故答案为y- =0.