2025高考物理一轮复习讲义：第四讲 曲线运动

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1.物体做直线运动的条件：F（a）与v共线
F（a）与v同向，匀加速直线运动
F（a）与v反向，匀减速直线运动
2.物体做曲线运动的条件：F（a）与v不共线
F（a）与v夹角为锐角，做加速曲线运动
F（a）与v夹角为直角，做速度大小不变的曲线运动
F（a）与v夹角为钝角，做减速曲线运动
3.轨迹夹在力和速度之间，合力指向运动轨迹的凹侧
4.曲线运动一定是变速运动
5.曲线运动速度的方向沿轨迹的切线方向
【例1】关于物体做曲线运动的条件，下列说法正确的是（ ）
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下一定做曲线运动
C．做曲线运动的物体所受的力的方向一定是变化的
D．合力的方向与物体速度的方向既不相同、也不相反时，物体一定做曲线运动
【变式训练】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A．速度一定在不断改变，加速度也一定不断改变
B．速度方向一定不断改变，加速度可以不变
C．速度大小可以不变，加速度一定不断改变
D．速度可以不变，加速度也可以不变
【变式训练】（上海中学）做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是（ ）
A. 速率 B. 速度 C. 加速度 D. 合外力
【例2】如图，在“神舟十二号”沿曲线从 M 点到 N 点的飞行过程中，速度逐渐减小。在此过程中“神舟十二号”所受合力 F 的方向可能是（ ）
【例3】让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同的初速度运动，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，小钢珠的运动轨迹不同，图中 a、b、c、d 为其中四条运动轨迹，下列说法正确的是（ ）
A．磁铁放在位置 A 时，小钢珠的运动轨迹如图中 c 所示
B．磁铁放在位置 B 时，小钢珠的运动轨迹如图中 b 所示
C．通过这个实验可以研究曲线运动的速度方向
D．通过这介实验可以探究物体做曲线运动的条件
【例4】（复旦附中）下图所示的一段圆弧为某运动物体的速度随时间变化图像，则物体的运动可能是（ ）
A 匀加速直线运动 B. 匀减速直线运动
C. 变速直线运动 D. 曲线运动
考点二：运动的合成与分解
1.运动合成与分解的基本概念
（1）物体实际的运动叫合运动
（2）物体同时参与合成的运动叫分运动
（3）由分运动求合运动的过程叫运动的合成
（4）由合运动求分运动的过程叫运动的分解
2.合运动和分运动的特征
（1）运动的独立性：各个分运动独立进行，互不影响。
（2）运动的等时性：分运动和合运动是同时开始，同时进行，同时结束。
（不是同时发生的运动不能进行运动的合成）
（3）运动的等效性：合运动与分运动在效果上是等效替代的关系。
（4）运动的同体性：合运动与分运动必须对同一物体。
3.运动的分解方法：一般分解为沿绳方向v∥和垂直于绳方向v⊥
【例5】如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉．小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动．已知老猴子以恒定大小为v拉动软藤，当软藤与竖直成θ角时，则小猴子的水平运动速度大小为（ ）
A．B．C．D．
3.小船渡河模型
（1）渡河时间最短：（其最短时间与水流速度无关）
当v船垂直于河岸时（即船头垂直河岸），渡河时间最短：
（2）渡河位移最短（v船>v水）
当合速度v 方向垂直于河岸时，渡河位移最短，且为河宽d 。
即：当有v船>v水时，小船能够垂直过河。船头斜向上游，与河岸成θ，且满足小船能到达河的正对岸，其最短路程为河宽d
即：xmin=d
（3）渡河位移最短（v船当v船方向与合速度v 方向垂直时，有最短渡河位移xmin。
当船头斜向上游，与河岸成θ，且满足
【例6】如图所示，船从A处开出后沿直线到达对岸，若 A与河岸成30° 角，水流速度为4m/s ，则船从A点开出的最小速度为（ ）
A．2m/sB．2.4m/sC．3m/sD．3.5m/s
【变式训练】如图所示，两岸平行的小河，水流速度恒为v=4m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处。AB与下游河岸的夹角θ=37°。取sin37°=0.6，cs37°=0.8，则小船在静水中的速度不可能为（ ）
A．2.2m/sB．2.4m/s
C．4m/sD．6m/s
4.关联速度：
绳(杆)端速度分解的技巧
(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；
(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；
(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
【例7】（运动的分解和合成）如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一个CD光盘的中央小孔后系一个小球，当小球静止时，悬线恰好处于竖直方向并且刚好挨着水平桌面的边缘，现将光盘按在水平桌面上，并且沿着水平桌面的边沿以速度v向右匀速移动，不计悬线与孔的摩擦，CD光盘始终紧挨桌面边缘，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球移动的速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
考点三：平抛运动的特点
1.平抛运动的基本规律
飞行时间：由t＝ eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程：x＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度：v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(v02＋2gh)，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量：任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2.两个推论
（1）速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
（2）瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
【例8】如图，甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高 h。将甲、乙两球分别以v1、v2 的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，在下列条件下，乙球可能击中甲球的是（ ）
A．同时抛出，且 v1 < v2B．甲先抛出，且 v1 < v2
C．甲先抛出，且 v1 > v2D．甲后抛出，且 v1 > v2
【例9】（上师大附中）降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞（ ）
A. 下落的时间越短 B. 下落的时间越长
C. 落地时速度越小 D. 落地时速度越大
【例10】（上海中学）某人站在平台上平抛一小球，小球离手时的速度为，落地时的速度为，不计空气阻力，下列选项中能表示出速度矢量演变过程的是（ ）
A. B. C. D.
【例11】如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足vA0>vB0>vC0
B．三只飞镖击中墙面的速度满足vA>vB>vC
C．三只飞镖击中墙面的速度一定满足vA＝vB＝vC
D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
【例12】如图所示，在我国空军某部一次军事演习中，一架国产轰炸机正在进行投弹训练，轰炸机以200 m/s的恒定速度向竖直峭壁水平飞行，先释放炸弹甲，再飞行5 s后释放炸弹乙，炸弹甲和炸弹乙均击中竖直峭壁上的目标．不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．炸弹甲击中目标5 s后，炸弹乙击中目标
B．炸弹甲和炸弹乙同时击中目标
C．两击中点间的距离为125 m
D．释放炸弹甲时，飞机与峭壁间的水平距离为1 000 m
【例13】棒球运动是一项集智慧、勇敢、趣味与协作于一体的集体运动项目，深受青少年喜爱．如图所示，某次投手在A点将球水平抛向捕手，捕手预备在B点接球，击球员预备在C点击球．棒球可看作质点，空气阻力不计．已知：A点离地面1.8 m，C点离地面1.0 m，A、B两点的水平距离为20 m，球抛出后经0.5 s到达B点，g取10 m/s2.求：
(1)棒球抛出后到达C点的时间；
(2)棒球被抛出时的速度大小；
(3)若击球员和捕手均未碰到球，棒球落地时的速度方向．
考点四：与斜面相关的平抛运动
【例14】如图所示，小球以v0＝15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求这一过程中：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cs 37°＝0.8)
(1)小球在空中的飞行时间t；
(2)抛出点距撞击点的高度h.
【例15】如图所示，若质点以初速度v0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为(重力加速度为g，tan 37°＝eq \f(3,4))( )
A.eq \f(3v0,4g) B.eq \f(3v0,8g) C.eq \f(8v0,3g) D.eq \f(4v0,3g)
【例16】如图，从倾角 θ = 45° 足够长的斜面上的 M 点以 10 m/s 的速度水平抛出一个小球，小球落在斜面上的 N 点。g 取 10 m/s2，求：
（1）小球落到斜面上时的速度大小；
（2）M、N 两点之间的距离；
（3）从抛出到距斜面最远，小球经历的时间。
考点五：平抛运动的临界问题
1．与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点．
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
【例17】如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m．运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出．(取g＝10 m/s2，不计空气阻力)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度．
【例18】（类平抛运动）如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
考点六：描述匀速圆周运动的物理量
（1）定义：线速度大小不变的圆周运动。
（2）性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
（3）条件：有初速度，受到向心力的作用，即受到一个大小不变、方向始终与速度方向垂直（指向圆心）的合外力。
描述匀速圆周运动的物理量
注意：向心力是效果力，由性质力提供，受力分析时不分析
各物理量之间的关系
同一皮带（铰链、齿轮）上的各点线速度大小相同，齿轮传动同一转体上各点角速度、周期、转速相同。
v＝ EQ \F(s,t) ＝ EQ \F(2πr,T)
ω＝ EQ \F(θ,t)
ω＝ EQ \F(2π,T)
n＝ EQ \F(1,T)
ω＝2πn
n
T
v＝ωr
铁三角
O
Oʹ
a
b
【例19】（上海高考）在如图所示的传动装置中，内轮a和外轮b的转轴分别过各自圆心O、Oʹ且垂直纸面。轮a通过摩擦带动轮b做无相对滑动的转动，则两轮（ ）
（A）转动方向相同，周期相等（B）转动方向相反，周期相等
（C）转动方向相同，周期不等（D）转动方向相反，周期不等
【例20】（进才中学）变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度档，图是某一种变速自行车齿轮转动结构的示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿。那么该车可变换________种不同档位。当A与D轮组合时，两轮边缘上的AD两点的加速度之比________。
【例21】（不定项选择）（崇明一模）如图，某风力发电机的叶片，某时刻叶片 A、B、C 三点中（ ）
A．B 和 C 的角速度相同B．A 和 B 的线速度相同
C．A 和 C 的线速度相同D．A 和 C 的向心加速度相同
r1
r2
【例22】（多选）如图，为某一皮带传动装置。主动轮的半径为 r1，从动轮的半径为 r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为 n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是 （ ）
A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为 EQ \f(r1, r2) nD．从动轮的转速为 EQ \f(r2, r1) N
【例23】（松江一中）一电动车在水平面内以恒定速率沿图示轨迹行驶，在a、b、c位置所受向心力大小分别为Fa、Fb、Fc则（ ）
A. B. C. D.
【例24】（测分子速率）（育才中学）如图所示为蔡特曼和柯氏改进后测定分子速度大小的装置简图。银蒸汽分子从小炉O的细缝中逸出沿虚线通过圆筒上的细缝S3进入圆筒C并落在玻璃板G上。已知圆筒C的直径为d，转速为n，银分子在玻璃板G上的落点与b之间的弧长为s。则银分子的最大速率为（ ）
A. B. C. D.
b
ω
C
真空
炉
S2
S3
S1
e
O
G
小炉
炉
【变式训练】用如图所示的装置可以测量气体分子速率的大小。在小炉中金属银熔化并蒸发，银原子束通过小炉的小孔逸出，又通过狭缝S1、S2和S3进入圆筒C内的真空区域。若圆筒C的直径为d且绕轴O以角速度ω旋转，某银原子落在玻璃板G上的位置到b点的弧长为s，则该银原子的速率v＝____________（已知eq \f(d,v) 【例25】（上师大附中）如图所示，可视为质点的物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则物体A所受的力有（ ）
A. 重力、支持力 B. 重力、向心力
C. 重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D. 重力、支持力、向心力、摩擦力
【例26】如图，洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，则此时（ ）
A．衣物受到重力、筒壁的弹力、摩擦力和向心力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对衣物的弹力随转速增大而增大
圆周运动基本解题思路
在匀速圆周运动中，F合即作为向心力，由牛顿第二定律可知：F合＝ma向＝m EQ \F(v2,r) ＝mω2r
即可求得相关物理量。
考点七：竖直平面内的圆周运动及临界问题
1.绳杆模型
【例27】如图所示，半径为的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速，若大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同。下列说法中不正确的是（ ）
A．如果，则小球能够上升的最大高度等于
B．如果，则小球能够上升的最大高度等于
C．如果，则小球能够上升的最大高度小于
D．如果，则小球能够上升的最大高度等于
【例28】（多选）如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）
（A）小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
（B）小球过最高点时的最小速度为 EQ \R(gR)
（C）小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反
（D）小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所受重力方向相反
【变式训练】如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【例29】设图中圆周轨道半径R，一切摩擦不计，为保证过山车能沿圆轨道安全经过最高点B，求：
（1）B点的速度至少多大？（重力加速度为g）
（2）A点的高度至少多少？
2.拱形桥和凹形桥模型及临界问题
【例30】如图，汽车以速度 v 通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说法正确的是（ ）
A．汽车受重力、支持力、向心力
B．汽丰受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
C．汽车的向心力是支持力
D．汽车的重力和支持力的合力提供向心力
【例31】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【变式训练】（行知中学）如图所示，一辆质量为1吨的汽车静止在一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部（），求：
（1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大；
（2）如果汽车以10m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大；
（3）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零.
P
r
【例32】如图，飞机由俯冲转为拉升的一段轨迹可看成一段圆弧，飞机做俯冲拉升运动时，在最低点附近做半径 r＝180 m 的圆周运动，如果飞行员的质量为 60 kg，飞机经过最低点 P 时的速度为 120 m/s，g 取 10 m/s2，则这时飞行员对座椅的压力大小为_______________N，方向_________。
3.秋千模型
【例33】（徐汇二模）如图，两个小球分别被两根长度不同的细绳悬于等高的悬点，现将细绳拉至水平后由静止释放小球，当两小球通过最低点时，两球一定有相同的（ ）
（A）速度（B）角速度
（C）加速度（D）机械能
【例34】（进才中学）如图所示，轻绳的一端系一个小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点固定一颗钉子，向右使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球。则当悬线碰到钉子的瞬间前后，小球的瞬时速度________，小球的加速度________（选填“保持不变”、“突然变大”或“突然变小”）。
考点八：水平面内的圆周运动（圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型）
1.基础运动模型
【例35】（格致中学期中）用一根长为l的细绳拴住小球，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，绳与竖直方向的夹角为，则小球的运动周期是（ ）
A. B.
C. D.
【变式训练】如图，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．角速度相同B．周期不同
C．线速度大小相同D．向心力大小相同
【例36】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g.求转台转动的角速度．
【例37】如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ ）
（A） EQ \R(\F(μg,R)) （B） EQ \R(μg) （C） EQ \R(\F(g,R)) （D） EQ \R(\F(g,μR))
【例38】铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面倾角为 θ，如图，弯道处的圆弧半径为 R，若质量为 m 的火车转弯时速度大于 EQ \r(gRtanθ) ，则（ ）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．外轨对内侧车轮轮缘有挤压
D．车轮对内外侧均没有挤压
A
B
O
【例39】（宝山一模）如图所示，在倾斜的环形赛道上有若干辆小车正在行驶，假设最前面的小车做匀速圆周运动，则它所受的合外力（ ）
（A）是一个恒力，方向沿OA方向
（B）是一个恒力，方向沿OB方向
（C）是一个变力，此时方向沿OA方向
（D）是一个变力，此时方向沿OB方向
【例40】图示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为
C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
【例41】质量为m的飞机，以速率 v 在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于（ ）
A．mgB．m EQ \r(g2＋\f(v4,R2)) C．m EQ \f(v2,R) D．m EQ \r (\f(v4,R2)—g2)
2.水平面内的圆盘临界模型、离心现象
离心现象：
受力特点：
（1）.当Fn=mω2r时,物体做圆周运动。
（2）.当Fn=0时,物体沿切线方向飞出。
（3）.当Fn（4）.当Fn>mω2r时,物体将逐渐靠近圆心,做近心运动。
P
O
【例42】（浦东二模）如图所示，小物体P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，下列关于小物体所受摩擦力f的叙述正确的是（ ）
（A）圆盘匀速转动时，摩擦力f等于零
（B）圆盘转动时，摩擦力f方向与物体的运动方向相反
（C）当物体P到轴O距离一定时，摩擦力f的大小跟圆盘转动的角速度成正比
（D）当圆盘匀速转动时，摩擦力f的大小跟物体P到轴O的距离成正比
【例43】（静安二模）如图，“离心转盘游戏”中，设游客与转盘间的滑动摩擦系数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转盘旋转的时候，更容易发生侧滑向外偏离圆周轨道的是（ ）
（A）质量大的游客（B）质量小的游客
（C）离转盘中心近的游客（D）离转盘中心远的游客
【变式训练】“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图所示，质量为m的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O相距r，转盘的半径为R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.
(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向；
(2)使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；
(3)当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动，试求角速度ωm的大小．
r
B
A
【例44】【多选】如图所示，两个相同小球A、B分别拴在细绳的两端，绳子穿过一根光滑管子，B球在水平面上作半径为r的匀速圆周运动，A球静止不动，则（ ）
（A）B球受到绳的拉力等于A球受到绳的拉力
（B）若A球静止在较高位置时，B球角速度较小
（C）若A球静止在较低位置时，B球角速度较小
（D）B球角速度改变时，A球可以不升高也不降低
【变式训练】如图，在光滑水平板上做匀速圆周运动的物体 m，通过板中间的小孔与砝码 M 相连，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、支持力和向心力的作用
B．小球圆周运动半径越大，角速度越小
C．小球圆周运动线速度越大，周期越小
D．假如砝码重力突然变小，小球圆周运动的半径也随之变小
a
b
d
c
【例45】如图，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动。衣物经过洗衣机上a、b、c、d四个位置中，脱水效果最好的位置应该是（ ）
A．aB．bC．cD．d
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝eq \r(vx2＋vy2)
由tanθ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)得
t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v0t
竖直y＝eq \f(1,2)gt2
合位移x合＝eq \r(x2＋y2)
由tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)得
t＝eq \f(2v0tan θ,g)
在运动起点同时分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得
t＝eq \f(v0tan θ,g)，d＝eq \f(v02sin θtan θ,2g)
分解平行于斜面的速度v
由vy＝gt得t＝eq \f(v0tan θ,g)
物理量
定义
公式、单位
线速度v
质点做匀速圆周运动时，通过的圆弧长度与所用时间的比值，方向为圆弧切线方向。
①v＝ EQ \F(s,t) ＝ EQ \F(2πr,T)
②单位：m/s
角速度ω
半径扫过的角度与所需时间之比。
①ω＝ EQ \F(θ,t) ＝ EQ \F(2π,T)
②单位：rad/s（读作弧度每秒）
周期T和转速n
运动一周所用时间叫做周期；
一秒中内完成的圈数叫做转速。
①T＝ EQ \F(2πr,v) ＝ EQ \F(2π,ω) ，单位：s
②转速n转速与周期之间的关系为：n＝ EQ \F(1,T) 。单位：r/s（读作转每秒）
向心加速度a向
描述速度方向变化快慢的物理量，方向指向圆心，时刻在变。
①a向＝ EQ \F(v2,r) ＝ω2r＝（ EQ \F(2π,T) ）2r
②单位：m/s2
向心力F向
向心力是根据力的效果命名的，只改变线速度的方向，不改变其大小。
①F向＝m EQ \F(v2,r) ＝mω2r＝m（ EQ \F(2π,T) ）2r
②单位：N
轻绳模型
轻杆模型
常见模型
受力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FT＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
模型关键
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
(2)小球通过最高点的速度至少为eq \r(gr)
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
拱形桥模型
凹形桥模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向上，也可能等于零
弹力向上
受力示意图
力学方程
临界特征
FN＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)
模型关键
①最高点:，失重；
②，汽车脱离，做平抛运动。
①最低点：，超重；
②，v越大，FN越大。
运动模型
圆锥摆模型
mg
θ
l
T
圆锥筒、圆碗
和圆筒模型
mg
θ(
l
FN
mg
θ
R
FN
转弯模型
①口诀：“谁远谁先飞”；
②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
；
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条件：
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：；
③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
临界条件：
隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB
整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB
AB相对圆盘滑动的临界条
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）；
②轻绳出现拉力临界条件：；
此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB
消掉T：fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2
③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB永不滑动，除非绳断；
④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→从B侧飞出；
2）当mBrBAB相对圆盘滑动的临界条
临界条件：
①
②