高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.3函数的奇偶性与周期性(练)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.3函数的奇偶性与周期性(练)原卷版+解析，共22页。试卷主要包含了【多选题】等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖南高三月考）定义函数则下列命题中正确的是（ ）
A．不是周期函数B．是奇函数
C．的图象存在对称轴D．是周期函数，且有最小正周期
5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则的图像关于点对称
B．若对，有，则的图像关于直线对称
C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数
D．若，则的图像关于点对称
6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（ ）
A．0B．C．D．
7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数B．是周期为的周期函数
C．为奇函数D．为奇函数
8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对，”的函数___________.
9．（2021·全国高三二模（理））已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．
10．（2021·上海高三二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
练提升TIDHNEG
1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为的函数的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是（ ）
A．B．
C．是周期函数D．存在单调递增区间
2．（2021·天津高三二模）已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且，当时，，则f(101)+f(105)的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（2021·上海高三二模）若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：
①是偶函数；
②对任意的x∈R都有；
③在上单调递增；
④反函数存在且在上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，，则下列选项正确的是（ ）
A． 在上为减函数B．在上
C．在上为增函数D．在上
6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数对任意都有成立，，则下列的点一定在函数图象上的是（ ）
A． B．
C． D．
7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点B．当时，
C．不等式的解集是D．，都有
8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.
练真题TIDHNEG
1. （2020·天津高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
3．（2020·海南省高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +⋯+f(50)=( )
A. −50 B. 0 C. 2 D. 50
5.（2019·全国高考真题（文））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
专题3.3 函数的奇偶性与周期性
练基础
1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
化简“”和“函数为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
，所以，
函数为奇函数，
所以，所以.
所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.
故选：C
2．（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案
【详解】
解：由图可知，当时，，
取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，
当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,
故选：C
3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.
【详解】
A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
B.在上单调递减，故错误；
C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；
D.因为，所以函数是偶函数，故错误；
故选： C．
4．（2021·湖南高三月考）定义函数则下列命题中正确的是（ ）
A．不是周期函数B．是奇函数
C．的图象存在对称轴D．是周期函数，且有最小正周期
【答案】C
【解析】
当为有理数时恒有，所以是周期函数，且无最小正周期，又因为无论是有理数还是无理数总有，所以函数为偶函数，图象关于轴对称．
【详解】
当为有理数时，，
，
任何一个有理数都是的周期，
是周期函数，且无最小正周期，
选项，错误，
若为有理数，则也为有理数，
，
若为无理数，则也为无理数，
，
综上，总有，
函数为偶函数，图象关于轴对称，
选项B错误，选项C正确，
故选：C
5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则的图像关于点对称
B．若对，有，则的图像关于直线对称
C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数
D．若，则的图像关于点对称
【答案】ACD
【解析】
四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.
【详解】
对A，是奇函数，故图象关于原点对称，
将的图象向右平移1个单位得的图象，
故的图象关于点（1，0）对称，正确；
对B，若对，有，
得，所以是一个周期为2的周期函数，
不能说明其图象关于直线对称，错误.；
对C，若函数的图象关于直线对称，
则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对D，由得，，
的图象关于（1，1）对称，正确.
故选：ACD.
6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数在区间上是增函数,则满足的的取值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】BC
【解析】
根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．
【详解】
由题意，解得，只有BC满足．
故选：BC．
7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数B．是周期为的周期函数
C．为奇函数D．为奇函数
【答案】BD
【解析】
AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.
【详解】
因为函数的定义域为，且与都为奇函数，
所以，，
所以，，
所以，即，故B正确A错误；
因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；
因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.
故选：BD.
8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对，”的函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
分析可知函数的定义域为，且该函数为奇函数，由此可得结果.
【详解】
由题意可知，函数的定义域为，且该函数为奇函数，可取.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（2021·全国高三二模（理））已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．
【答案】1
【解析】
根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而.
【详解】
函数关于点对称，则，
又为上的奇函数，则，
因此函数的周期为4，
因此.
故答案为：1.
10．（2021·上海高三二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
【答案】
【解析】
通过计算可得．
【详解】
因为是奇函数，所以，
即，所以．
故答案为：．
练提升TIDHNEG
1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为的函数的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是（ ）
A．B．
C．是周期函数D．存在单调递增区间
【答案】C
【解析】
通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解.
【详解】
定义域为R的函数的图象沿轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，
∴的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如，
由，则为奇函数，故选项A错误；
由，可得函数图象关于对称，故选项B错误；
由时，不存在单调递增区间，故选项D错误；
由已知设图象的一条对称抽为直线，一个对称中心为，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的一个周期，故选项C正确.
故选：C
2．（2021·天津高三二模）已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.
【详解】
，
即：
又是定义在上的减函数
又为奇函数
，即：.
故选：B.
3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且，当时，，则f(101)+f(105)的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【解析】
根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由求得函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．
【详解】
解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0，
又由x∈[0，1]时，，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有，
又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，
则，
故有f(101)+f(105)=3，
故选：A．
4．（2021·上海高三二模）若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：
①是偶函数；
②对任意的x∈R都有；
③在上单调递增；
④反函数存在且在上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.
【详解】
对于①，由是上的奇函数，得，∴，所以是偶函数，故①正确；
对于②，由是上的奇函数，得，而不一定成立，所以对任意的，不一定有，故②错误；
对于③，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，且，因此，利用复合函数的单调性，知在上单调递增，故③正确.
对于④，由已知得是上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数存在且在上单调递增，故④正确；
故选：C
5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，，则下列选项正确的是（ ）
A． 在上为减函数B．在上
C．在上为增函数D．在上
【答案】CD
【解析】
根据题意，分析可得，结合函数的解析式可得当时函数的解析式，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数为奇函数，则有，即，
又由为偶函数，则，则有，
即有，
当，时，，
若，则，
则，
则当时，有，则为增函数且；
故在上为增函数，且；
故选：．
6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数对任意都有成立，，则下列的点一定在函数图象上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
根据任意满足，得到是奇函数判断.
【详解】
因为任意满足，
所以是奇函数，
又，所以令，则，
得，
所以点，且点与也一定在的图象上，
故选：ABC．
7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点B．当时，
C．不等式的解集是D．，都有
【答案】BCD
【解析】
根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．
【详解】
对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；
对B，设，则，则，则B对；
对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；
对D，，都有
，则D对．
故选：BCD．
8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【解析】
根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】
由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】
利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解.
【详解】
解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.
故选：CD.
10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.
【答案】7
【解析】
由题设可知的周期为2，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.
【详解】
由题意知：的周期为2，当时，，
∴、的图象如下：
即与共有7个交点，
故答案为：7.
【点睛】
结论点睛：有的周期为.
练真题TIDHNEG
1. （2020·天津高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
2.（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
3．（2020·海南省高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
4.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +⋯+f(50)=( )
A. −50 B. 0 C. 2 D. 50
【答案】C
【解析】
因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，所以f(1+x)=−f(x−1)∴f(3+x)=−f(x+1)=f(x−1)∴T=4,因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，因为f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C.
5.（2019·全国高考真题（文））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
6.（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【解析】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．