北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题1.4运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】学案(学生版+解析)

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专题1.4 运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27805" 【题型1 正方体中的最短路径】  PAGEREF _Toc27805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc26913" 【题型2 长方体中的最短路径】  PAGEREF _Toc26913 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16589" 【题型3 圆柱中的最短路径】  PAGEREF _Toc16589 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21523" 【题型4 圆锥中的最短路径】  PAGEREF _Toc21523 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1430" 【题型5 台阶中的最短路径】  PAGEREF _Toc1430 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc16508" 【题型6 由垂线段最短求最短路径】  PAGEREF _Toc16508 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11563" 【题型7 由将军饮马求最短路径】  PAGEREF _Toc11563 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11240" 【题型8 不规则图形中求最短路径】  PAGEREF _Toc11240 \h 9【题型1 正方体中的最短路径】【例1】（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B点最少要花多长时间？  【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（    ）A．12 B．13 C．14 D．17【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）dm．A．15 B．9 C．313 D．510【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．【题型2 长方体中的最短路径】【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）  A．3+213cm B．97cm C．85cm D．109cm 【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 cm．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）  A．1029cm B．1037cm C．50cm D．45cm【题型3 圆柱中的最短路径】【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC=6，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（    ）A．4 B．4π C．8 D．10【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高BC=3cm，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．【题型4 圆锥中的最短路径】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.（1）扇形的圆心角θ为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）v  A．30 cm B．303 cm C．60 cm D．20π cm【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　）A． B．2 C．3 D．4【题型5 台阶中的最短路径】【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ）A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ）A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，34 m和14 m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ）A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 ．【题型6 由垂线段最短求最短路径】【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为6km、8km，A，B两村的距离为10km，那么这条水泥路的最短距离为多少？【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）如图A，B，C为三个村庄，A，B两村沿河而建且相距17千米，A，C相距52千米，B，C相距13千米，C村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（    ）万元A．6 B．1522 C．4.5 D．7.5【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=______，S△EBC=______，S四边形AECD=______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．知识运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求出AP的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+16−x2+81的最小值097>85∴第三种情况最短．故选：D．【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．【答案】216n2+9【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，AA'=8n米，A'B=6米，由勾股定理得，AB=AA'2+A'B2=(8n)2+62=216n2+9（米）；故答案为：216n2+9．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 cm．【答案】313【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为AC的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，∴蚂蚁的爬行的最短路径为AC的长，∴AB=6+3=9（cm），∴AC=AB2+BC2=92+62=313，∴蚂蚁的爬行的最短路径为313 cm，故答案：313．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）  A．1029cm B．1037cm C．50cm D．45cm【答案】C【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E，从正面和右侧面沿直线爬到点E，从左侧面和上面沿直线爬到点E，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答．【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E，如图所示：  此时BC=40cm，CD=20cm，则EC=ED+DC=30cm，∴BE=BC2+CE2=50cm；当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点E，如图所示：  此时AB=20cm,AD=40cm，则AE=AD+DE=50cm，∴BE=AB2+AE2=1029cm；从左侧面和上面沿直线爬到点E，如图所示：  此时AB=20cm,AD=40cm，则BD=AB+DA=60cm，∴BE=DB2+DE2=1037cm；∵50