【培优分级练】北师大版数学九年级上册 第05课《特殊平行四边形解答题（重点）》培优三阶练（含解析）

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第05课 特殊平行四边形 解答题（重点20+16+8道）课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、解答题1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：（1）∠BAD，∠ABC的度数；（2）AB，AC的长．2．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．4．如图所示，是四边形的的平分线，，交于．(1)求证：四边形是菱形；(2)如果，，求菱形的面积．5．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．7．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．8．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．（1）求证：□ABCD是矩形；（2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．11．已知：如图，在中，AB=AC，，垂足为点D，AN是外角的平分线，，垂足为点E，连接DE交AC于点．(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．(3)在（2）的条件下，若，求正方形ADCE周长．12．如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，求的度数．13．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：；（2）求证：；14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF，连接DE，BF．(1)求证：四边形FBED是平行四边形；(2)已知AO=6，∠ADB=30°，求AD的长．15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE．(1)若∠ADB=40°，求∠E的度数．(2)若AB=3，CE=5，求AE的长．16．如图，在中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求的面积．17．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．18．如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是延长线上一点，连接，，，，．（1）求证：；（2）若点G为的中点，连接，求证：．19．如图，在中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB．分别交AC、BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE.（1）求证：四边形AEPQ为菱形：（2）当点P在线段EF上的什么位置时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半?请说明理20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．培优第二阶——拓展培优练一、解答题1．在中，，分别是，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，则四边形的面积为__________．2．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C与点A重合，EF为折痕，点D的对称点为D′，连接CE．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB＝3，BC＝9，求四边形ABCD′的面积．3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．4．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．（1）如图1，求证：AE⊥AC；（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形．6．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是　 　，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足　 　条件时，四边形EFGH是菱形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？7．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点．（1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明．（2）若，，为线段上的任意一点，于，于，试求的值，并说明理由．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是　 　．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出△BPE周长的最小值．10．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．(1)求证：CE＝BF；(2)若AB＝4，求GF的值．11．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．12．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接．(1)求证：矩形是正方形；(2)探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．13．如图，正方形中，E为边上一点，作交于F．（1）求的度数；（2）若，请求出y关于x的关系式．14．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．16．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．培优第三阶——中考沙场点兵一、解答题1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，中，，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）求证：2．（2018·贵州毕节·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．3．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．4．（2019·四川内江·中考真题）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．（1）求证：≌；（2）若，请求出的长．5．（2015·广西梧州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．7．（2022·湖南永州·中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，）8．（2022·山东威海·中考真题）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积．