四川省自贡市富顺第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省自贡市富顺第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共48分）
1. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
答案：C
3. 将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，如图，则的大小为（ ）
A. 80°B. 100°C. 120°D. 不能确定
答案：B
4. 如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（ ）
A. 3B. C. D.
答案：A
5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
6. 已知一元二次方程，根据下列表格中的对应值：
可判断方程的一个解的范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
7. 函数与在同一坐标系内的图象是图中的（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
8. 一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
9. 某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
答案：A
10. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A. 2B. C. D.
答案：C
11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）

A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ②③
答案：B
12. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
答案：B
二、填空题（共24分）
13. 点关于原点的对称点是，则______．
答案：
14. 抛物线的对称轴是______．
答案：直线
15. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
答案：且
16. 将二次函数的图象绕着顶点旋转后得到的新图象的解析式是___________．
答案：
17. 已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为_____．
答案：7
18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是______．（只填写番号）
①；
②若，则；
③是一元二次方程；
④方程有一个解是．
答案：①③④
三、解答题（共78分）
19. 解方程：
答案：，
解：，，，
，
，
解得：，．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，
（1）画出将向下平移4个单位长度得到；
（2）画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
答案：（1）画图见解析
（2）画图见解析，点的坐标
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
∴点的坐标．
21. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0.
（1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
答案：（1）a＝0，x2＝－1；（2）见解析.
（1）因为x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解，
所以把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得，
1＋a＋a－1＝0，解得a＝0
∵ x1＋x2＝－a，∴ 1＋x2＝0，∴ x2＝－1
（2）∵ △=a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0，
∴无论a何值，此方程都有实数根.
22. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？
答案：元
解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
故每件工艺品售价应为元．
23. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．

（1）求与的函数关系式及的取值范围；
（2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？
（3）长为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少？
答案：（1）
（2）要围成面积为的花圃，的长为9米．
（3），最大面积为：．
【小问1详解】
解：根据题目数量关系得，，
根据题意，，
∴，
∴．
【小问2详解】
将代入得，
整理得：，
∴，
∵，则不符合题意舍去，
∴要围成面积为的花圃，的长为9米．
【小问3详解】
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
∴当时，面积最大，
此时，
最大面积为：；
24. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：

（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
答案：（1）；
（2）水面宽度增加米
【小问1详解】
解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点，，
把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵水面下降1米，到处，
∴点D的纵坐标为，
当时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米．
25. 已知关于x的方程
（1）求证此方程总有实数根
（2）若方程的两个实数根都为整数，求k的值．
答案：（1）详见解析．
（2）或或或．
【小问1详解】
证明：当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当时，方程为一元二次方程，
，即，
当k取除以外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
综上可得，不论k取何值，此方程总有实数根．
【小问2详解】
方程的两个实数根都为整数，
且方程的两个解之和也为整数，
即是整数，
即是整数，
或或或．
26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）抛物线解析式为，，
（2）或或
（3）
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
【小问2详解】
∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
【小问3详解】
解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
…
3.09
3.10
3.11
3.12
…
…
0.11
…