[数学]海南省2024届高三下学期高考全真模拟卷试题(七)(解析版)

这是一份[数学]海南省2024届高三下学期高考全真模拟卷试题(七)(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由向量，，得，，
由，得，
所以.
故选：A.
2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，集合，而，则，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
3. 《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，为底面圆的一条直径，且，则直角圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，直角圆锥的母线长，而圆锥底面圆半径为1，
所以直角圆锥的侧面积为.
故选：C.
4. 已知函数，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数的图象关于轴对称，
则，
可得，所以，可得，
当时，，
因为定义域为x∈R，，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
当时，，
定义域为，定义域关于原点对称，
，
偶函数，图象关于轴对称，
综上所述，若函数图象关于轴对称，则；
又当时，，是偶函数，图象关于轴对称，
则“函数的图象关于轴对称”是“”的必要不充分条件.故选：B.
5. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，
，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由以为直径的圆过椭圆的右焦点，得，即，
而，则，又，
由，得，
则，即，因此，
整理得，解得，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
6. 将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（ ）
A. 20种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，
与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法，
所以不同填法种数是.
故选：B.
7. 已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】设中点为E，由正三角形面积公式可知，
由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线，
而，
因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上，
由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时，
即满足条件的点P只有一个.
故选：A.
8. 若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】设公切线与函数,的图象分别切于点，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为，所以，
所以公切线方程为，即，
因为函数与的图象有且只有一条公切线，
所以，由 得,
代入，
则，
整理得，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，，
则当时，
函数与的图象有且只有一条公切线，
即，解得.
故选：B.
二、选择题（本题其3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的一个对称中心
C. 的单调递增区间为
D. 在上恰有3个零点
【答案】AC
【解析】对于A，由题设可得，故其最小正周期为，
故A正确.
对于B，，故不是的一个对称中心，
故B错误.
对于C，令，解得，
故的单调递增区间为，
故C正确.
对于D， 由可得，
而时，，故即或，
故D错误.
故选：AC.
10. 已知数列an满足：①；②，，，，则称数列an为“类平方数列”，若数列bn满足：①数列bn不是“类平方数列”；②将数列bn中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列bn为“变换类平方数列”，则（ ）
A. 已知数列，则数列an为“类平方数列”
B. 已知数列an为：3，5，6，11，则数列an为“变换类平方数列”
C. 已知数列an的前顶和为，则数列an为“类平方数列”
D. 已知，.则数列an为“变换类平方数列”
【答案】CD
【解析】对于A，，，当时，不是正整数的平方，数列an不为“类平方数列”，A错误；
对于B，，当时，，
即无论为数列的第几项，都不可能为正整数的平方，数列an不为“变换类平方数列”，B错误；
对于C，当时，，
而满足上式，则，当时，，
数列an为“类平方数列”，C正确；
对于D，数列的4项依次为，将此数列调整为时，
有，因此数列an为“变换类平方数列”，D正确.
故选：CD.
11. 某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（ ）
A. 若，，则甲最终获胜的概率为
B. 若，，记决赛进行了局，则
C. 若，，记决赛进行了局，则
D. 若比时对甲更有利，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，
所以甲获胜的概率为，A正确.
对于B，因为，，
由已知的取值有，
，，
所以，
所以，B正确.
对于C，因为，，
又的可能取值有，
所以，
，
，
所以，C错误；
对于D，当时，甲获胜的概率为，
当时，甲获胜的概率为，
若比时对甲更有利，则，
所以，
所以，又，
所以，D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分、共15分）
12. 已知复数满足，则______
【答案】
【解析】由，得，，
所以.
13. 已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，若的面积为，则______.
【答案】
【解析】由已知，直线的方程为，设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，可得，
且，，
于是，
，所以.
14. 已知中，，则______，的最大值为______.
【答案】
【解析】在中，由，得，
即，则，而，
于是，解得，所以；
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值；
（2）若，求函数的极值.
解：（1）函数，求导得，
则，
依题意，，所以.
（2）当时，函数的定义域为，
求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
16. 某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关；
（2）店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下（已知）：
经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明.
附：（i）在经验回归方程中，.
（ii）相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好.
（iii），其中.
解：（1）零假设为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别独立，
由已知，
又，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此，可以认为成立，即认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别无关.
（2）因为经验回归方程为，
所以，，
又，
所以，
，
所以，
所以该经验回归方程的拟合效果非常好.
17. 已知首项为1的数列的前项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
（1）证明：由，得，
即，
两边同加，得，则，因此数列为常数列，
所以数列为等差数列.
（2）解：由（1）知，，则，，
当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，点在平面内的射影恰为点，直线，交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：连接，过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，
因为点在平面内的射影恰为点，
所以平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，平面，
所以，所以.
（2）解：因为，，
所以，所以，
又由已知可得平面，平面，
所以，
如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，
所以，
设平面的法向量为，则，故，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
又向量为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则.
19. 已知双曲线：的虚轴长为2，过的右焦点且不与轴垂直的直线与的右支交于，两点，且当直线的倾斜角为时，.
（1）求的标准方程；
（2）过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若直线，的交点恒在轴上，求的值.
解：（1）因为双曲线的虚轴长为，
所以，故，
设双曲线的半焦距为，
则，
因为直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点，
故直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式Δ=2mc2-4m2-a2=4m2a2+4a2>0，
设，
则，且，
所以，
所以当直线的倾斜角为时，即时，，
由已知，解得或，又，
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）联立，化简可得，
方程的判别式Δ=23m2-4m2-2=8m2+8>0，
设，
则，且，
设，，
由已知，设，
则，
所以，所以，
所以，
所以，
故，
所以.
认为自助餐更有性价比
认为团购套餐更有性价比
男性顾客
40
20
女性顾客
30
40
（天）
（用餐人数）
32
52
73
95
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828