天津市蓟州区第一中学2025届高三上学期第一次学情调研数学试题（原卷版）

这是一份天津市蓟州区第一中学2025届高三上学期第一次学情调研数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）
1. 已知集合，或x>5，则（ ）
A. 或B.
C. D. 或x>5
2. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 下列结论错误的是（ ）
A. 若随机变量满足，则
B. 数据的第60百分位数为9
C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关
4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A B. C. D.
6. 已知函数，且，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ）
A. 8πB. 9πC. 10πD. 11π
8. 下列命题正确的个数为（ ）
①长方体中，， ，则异面直线与所成角的余弦值为；
②对于命题：，，则命题的否定：，；
③ “ ”是“”的充分不必要条件；
④已知∠BAC=5π6，，，且，则的值为.
A. 0B. 1C. 2D. 3
9. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；
②时，函数在上单调递增；
③函数的值域是；
④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸相应位置上）
10. 已知，且复数是纯虚数，则________.
11. 二项式的展开式中的常数项为________．
12. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.
13. 已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则__________．
14. 若，则的最小值为___________.
15. 已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求B的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
（3）已知，且α为锐角，求的值.
17. 如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM长；若不存在，说明理由.
19. 已知常数,函数.
(1)讨论f(x)在区间上的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点,且,求取值范围.
20. 已知函数．（注：是自然对数底数）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．