2024-2025学年北京市海淀区中学国人民大附属中学数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中学国人民大附属中学数学九上开学统考试题【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）计算（ab2）2的结果是（ ）
A．a2b4B．ab4C．a2b2D．a4b2
2、（4分）已知点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为( )
A．B．C．D．无法确定
3、（4分）下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点
C．太阳从西边升起来了
D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
4、（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2=2xB．2x2+3=0C．x2+4x－1=0D．x2－8x+16=0
5、（4分）用科学记数法表示，结果为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）为了了解某地八年级男生的身高情况，从当地某学校选取了60名男生统计身高情况，60名男生的身高(单位：cm)分组情况如下表所示，则表中a，b的值分别为( )
A．18,6B．0.3,6
C．18,0.1D．0.3,0.1
7、（4分）将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．-3a2b2 B．-3ab C．-3a2b D．-3a3b3
8、（4分）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.
10、（4分）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且，则PB＋PC的最小值为___________．
11、（4分）如图，在菱形中，，菱形的面积为24，则菱形周长为________
12、（4分）不等式1﹣2x≥3的解是_____．
13、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC上一点（不与B、C重合），点P在边CD上运动，M、N分别是AE、PE的中点，线段MN长度的最大值是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）对于实数a，b，定义运算“*”，a*b＝例如4*1．因为4＞1，所以4*1＝41－4×1＝8，若x1、x1是一元二次方程x1－9x＋10＝0的两个根，则x1*x1＝__．
15、（8分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E点作EF∥DC交BC的延长线于点F．
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)求四边形CDEF的周长．
16、（8分）如图，△ABC中，D是BC上的一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
17、（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：△ABF是等腰三角形．
18、（10分）因式分解：2
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，是中边中点，，于，于，若，则__________．
20、（4分）长方形的长是宽的2倍，对角线长是5cm，则这个长方形的长是______．
21、（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是_____．
22、（4分）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__．
23、（4分）某公司有一名经理和10名雇员共11名员工，他们的月工资情况(单位：元)如下：30000，2350，2350，2250，2250，2250，2250，2150，2050，1950，1850.上述数据的平均数是__________，中位数是________．通过上面得到的结果不难看出：用_________(填“平均数”或“中位数”)更能准确地反映出该公司全体员工的月人均收入水平．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）为了了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，获得如图中不完整的统计图，其中，，，表示 一次充电后行驶的里程数分别为，，，.
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
电动汽车一次充电后行驶里程数的条形统计图
电动汽车一次充电后行驶里程数的扇形统计图
（2）求扇形统计图中表示一次充电后行驶路为的扇形圆心角的度数；
（3）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程多少？
25、（10分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．
26、（12分）已知一次函数的图象过点，．
（1）求此函数的表达式；
（2）若点在此函数的图象上，求的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据积的乘方的运算法则计算即可得出答案．
【详解】

故选：A．
本题主要考查积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
2、B
【解析】
分析：根据反比例函数的系数k的取值范围，判断出函数的图像，由图像的性质可得解.
详解：∵反比例函数
∴函数的图像在一三象限，在每一个象限，y随x增大而减小
∵-3＜-1
∴y1＜y2.
故选B.
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，关键是利用反比例函数的系数k确定函数的图像与性质.
3、A
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是不可能事件，故B不符合题意；
C、是不可能事件，故C不符合题意；
D、是必然事件，故D不符合题意；
故选A．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、B
【解析】
根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
【详解】
解：A、△=（-2）2-4×1×0=4＞0，此方程有两不相等实数根；
B、△=0-4×2×3=-24＜0，此方程没有实数根；
C、△=16-4×1×（-1）=20＞0，此方程有两不相等实数根；
D、原方程配方得（x-4）2=0，此方程有两相等的根．
故选：B．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5、B
【解析】
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
﹣0.000 001 4=﹣1.4×10﹣1．
故选B．
本题考查了用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6、C
【解析】
解：因为a=61×1．3=18，
所以第四组的人数是：61﹣11﹣26﹣18=6，
所以b==1.1，
故选C．
本题考查频数（率）分布表．
7、A
【解析】
在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
8、C
【解析】
首先得出的取值范围，进而得出-1的取值范围．
【详解】
∵，
∴，
故，
故选C.
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积=S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
10、
【解析】
过点A作于点E，根据菱形的性质可推出，过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线MN的对称点H，连接CH交MN于点G，连接BH交直线MN于点K，连接PH，根据轴对称可得CH=2CG=2，根据两点之间线段最短的性质，PB+PC的最小值为BH的长，根据勾股定理计算即可；
【详解】
过点A作于点E，如图，
∵边长为4的菱形ABCD中，，
∴AB=AC=4，
∴在中，
，
∴，
∵，
∴，
过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线MN的对称点H，连接CH交MN于点G，连接BH交直线MN于点K，连接PH，如图，
则，，
∴四边形CGPF是矩形，
∴CG=PF，
∵，
∴，
∴PF=1，
∴CG=PF=1，
根据抽对称的性质可得，
CG=GH，PH=PC，
∴CH=2CG=2，
根据两点之间线段最短的性质，得，
，
即，
∴PB+PC的最小值为BH的长，
∵，，
∴，
∴在中，
，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为：．
本题主要考查了菱形的性质，准确分析轴对称的最短路线知识点是解题的关键．
11、20
【解析】
根据菱形面积公式可求BD的长，根据勾股定理可求菱形边长，即可求周长．
【详解】
解：∵S菱形ABCD=AC×BD，
∴24=×8×BD，
∴BD=6，
∵ABCD是菱形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，AC⊥BD，
∴，
∴菱形ABCD的周长为4×5=20.
本题考查了菱形的性质，利用菱形的面积公式求BD的长是本题的关键．
12、x≤﹣1.
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得.
【详解】
∵﹣2x≥3﹣1，∴﹣2x≥2，则x≤﹣1，故答案为：x≤﹣1.
此题考查解一元一次不等式，难度不大
13、5
【解析】
由条件可先求得MN=AP，则可确定出当P点运动到点C时，PA有最大值，即可求得MN的最大值
【详解】
∵M为AE中点，N为EP中点
∴MN为△AEP的中位线，
∴MN= AP
若要MN最大，则AP最大．
P在CD上运动，当P运动至点C时PA最大，
此时PA=CA是矩形ABCD的对角线
AC==10,
MN的最大值= AC=5
故答案为5
此题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，解题关键在于先求出MN=AP
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、4
【解析】
试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.
试题解析：
x1－7x＋11＝0，(x－4)(x－3)＝0，
x－4＝0或x－3＝0，∴x1＝4，x1＝3或x1＝3，x1＝4.
当x1＝4，x1＝3时，x1*x1＝41－4×3＝4，
当x1＝3，x1＝4时，x1*x1＝3×4－41＝－4，∴x1*x1的值为4或－4.
点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
15、 (1)证明见解析；(2)四边形CDEF的周长为2+2．
【解析】
（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，进而求出答案．
【详解】
（1）证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
为的中点，等边的边长是2，
，，，
，
四边形的周长．
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
16、84
【解析】
根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：在△ABD中，
∵BD2+AD2=62+82=100=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴△ADC也是直角三角形
∴DC2+AD2=AC2，即DC2=AC2－AD2=172－82=225，
∴DC=15 .
∴BC=BD+DC=6+15=21，
∴S△ABC==84 .
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
17、详见解析.
【解析】
根据已知条件易证△ADE≌△FCE，由全等三角形的性质可得AE=EF，已知BE⊥AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明△ABF是等腰三角形
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC．
在△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，
∵BE⊥AE，
∴△ABF是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证得AE=EF是解决问题的关键.
18、2（a-b）2
【解析】
先提公因式在利用公式法进行因式分解即可.
【详解】
解：原式=2（a2-2ab+b2）
=2（a-b）2
本题考查的是因式分解，能够熟练运用多种方法进行因式分解是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ED＝BC，FD＝BC，那么ED＝FD，又∠EDF＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△EDF是等边三角形，从而得出ED＝FD＝EF＝4，进而求出BC．
【详解】
解：∵D是△ABC中BC边中点，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
∴ED＝BC，FD＝BC，
∴ED＝FD，
又∠EDF＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴ED＝FD＝EF＝4，
∴BC＝2ED＝1．
故答案为1．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质，判定△EDF是等边三角形是解题的关键．
20、
【解析】
设矩形的宽是a，则长是2a，再根据勾股定理求出a的值即可．
【详解】
解：设矩形的宽是a，则长是2a，
对角线的长是5cm，
，
解得，
这个矩形的长，
故答案是：．
考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21、（3，1）
【解析】
关于y轴对称的点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
由题意得点C（－3，1）的对应点C′的坐标是（3，1）．
考点：关于y轴对称的点的坐标
本题属于基础题，只需学生熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的特征，即可完成.
22、50°．
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案为50°．
本题考查平行四边形的性质．
23、4700 2250 中位数
【解析】
分析：
根据“平均数”、“中位数”的定义和计算方法进行计算判断即可.
详解：
（1）这组数据的平均数为：
（30000+2350+2350+2250+2250+2250+2250+2150+2050+1950+1850）÷11
=4700（元）；
（2）由题中数据可知，这组数据按从大到小的顺序排列后，排在最中间的一个数是2250元，
∴这组数据的中位数是：2250；
（3）∵这组数据中多数数据更接近中位数2250，且都与平均数相差较多，
∴用“中位数”更能反映出该公司全体员工的月人均收入水平.
综上所述：本题答案为：（1）4700；（2）2250；（3）中位数.
点睛：熟记“平均数、中位数的定义和计算方法”是正确解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）总共有辆.类有10辆，图略；（2）72°；（3）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为千米.
【解析】
（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出这次被抽检的电动汽车总量，再分别减去B、C、D等级的辆数，得到A等级的辆数，即可补全条形图；
（2）用D等级的辆数除以汽车总量，得到其所占的百分比，再乘以360°得到扇形圆心角的度数；
（3）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
【详解】
解：（1）这次被抽检的电动汽车共有30÷30%=100（辆）．
A等级汽车数量为：100-（30+40+20）=10（辆）．
条形图补充如下：
（2）D等级对应的圆心角度数为.
（3）.
答：这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为千米.
本题考查条形统计图、扇形统计图和加权平均数的定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25、1、2、2
【解析】
解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后求出整数解即可．
【详解】
解：解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x＜1，
∴不等式组的解集是1≤x＜1．
∴不等式组的所有整数解是1、2、2．
解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解．
26、（1）y=x+3；（2）a=4；
【解析】
（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（a，6）代入一次函数解析式中可求出a的值；
【详解】
（1）把A（0，3），B（-4，0）代入y=kx+b得 ，解得 ．
所以一次函数解析式为y=x+3；
（2）把（a，6）代入y=x+3得a+3=6，解得a=4；
此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分组
147.5～157.5
157.5～167.5
167.5～177.5
177.5～187.5
频数
10
26
a
频率
0.3
b