2024-2025学年浙江省杭州市高一（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市高一（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={0,1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，B={x|x2−5x+6=0}，则∁U(A∪B)=( )
A. {0,1,5}B. {0,4,5}C. {2,3,5}D. {2,3,4}
2.ac2>bc2是a>b的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示，函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f[g(2)]的值为( )
A. 3 B. 0
C. 1 D. 2
4.下列函数中是奇函数的为( )
A. y=x−1B. y=x2C. y=|x|D. y=x
5.在同一坐标系内，函数y=xm(x>0)和y=mx+1m的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为G(x)=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[−1.2]=−2，[1.2]=1.定义符号函数sgn(x)=1,x>00,x=0−1,x<0，则sgn[G(π)]+G[sgn(π)]=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.已知a>0，b>0，若a+4b=4ab，则a+b的最小值是( )
A. 2B. 2+1C. 94D. 52
8.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合A={x|x=m²+n²,m,n∈Z}，则( )
A. 1∈AB. 2∈AC. 3∈AD. 4∈A
10.下列说法中正确的是( )
A. 若a>b，则ac2+1>bc2+1
B. 若−2C. 若a>b>0，m>0，则maD. 若a>b，c>d，则ac>bd
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为xx≤−2或x≥3，则下列说法正确的是( )
A. a<0
B. ax+c>0的解集为xx>6
C. 8a+4b+3c<0
D. cx2+bx+a<0的解集为x−12三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.命题“∃x∈R，x2+x−1<0“的否定是 ．
13.已知集合A={x|x>1}，集合B={x|014.为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛．高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为 ．
15.函数y=x2+5 x2+1的最小值是______．
16.已知定义域为[1−3a,a+1]的奇函数f(x)=x3+bx2+x，则f(3x+b)+f(x+a)≥0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2m18.(本小题12分)
(1)已知x>3，求4x−3+x的最小值；
(2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x+3y的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xx2+1．
(1)判断f(x)的奇偶性，并根据定义证明；
(2)判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调性，并根据定义证明．
20.(本小题12分)
学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的图象，当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，顶点为A，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50)．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使得学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−4x.现已画出函数f(x)在y轴右侧的图象，如图所示．
(Ⅰ)画出函数f(x)在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f(x)在R上的单调区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在R上的解析式；
(Ⅲ)解不等式xf(x)<0．
22.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，给定函数f(x)=x2+x−6x+1．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)已知函数g(x)同时满足：①g(x+1)−1是奇函数；②当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意的x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.D
5.B
6.D
7.C
8.A
9.ABD
10.AC
11.AD
12.∀x∈R，x2+x−1≥0
13.(1,3)
14.20
15.4
16.−14,23
17.解：因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=ϕ时，2m≥m−1，解得：m≥−1；
当B≠ϕ时，2m综上可得：m≤−2或m≥−1．
故m的取值范围为：{m|m≤−2或m≥−1}．
18.解：(1)∵x>3，∴x−3>0，∴4x−3+x=4x−3+(x−3)+3≥2 43−x×(3−x)+3=4+3=7，
当且仅当43−x=3−x，即x=5时取等号，
∴4x−3+x的最小值为7．
(2)∵x，y∈R+，x+y=4，可得x4+y4=1，
∴1x+3y=14(x+y)(1x+3y)=1+14(yx+3xy)≥1+2×14 yx⋅3xy=1+ 32．
当且仅当y= 3x，即x=2( 3−1)，y=2(3− 3)时取“=”号．
即1x+3y的最小值为1+ 32．
19.解：(1)f(x)为奇函数．
证明：∵f(x)=xx2+1的定义域为R，
且f(−x)=−x(−x)2+1=−x1+x2=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减．
证明：在区间1,+∞内任取x1，x2，且1≤x1则x2−x1>0，x2x1−1>0，
∴f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1
=(x2−x1)(x1x2−1)(1+x12)(1+x22)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减．
20.解：(1)当x∈(0,12]时，设y=a(x−10)2+c，
过点(12,78)，(4,62)，
代入得4a+c=7836a+c=62,
解得a=−12,c=80，则y=−12(x−10)2+80，
当x∈[12,40]时，设y=kx+b，过点(12,78)、(40,50)，
得12k+b=7840k+b=50，解得k=−1，b=90，故y=−x+90，
则y=−12(x−10)2+80,x∈(0,12]−x+90,x∈(12,40]．
(2)当x∈(0,12]，令−12(x−10)2+80>62，
解得4当x∈(12,40]，令−x+90>62，
解得12∴4则老师在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
21.解：(I)根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；
结合图象可得函数f(x)的单调增区间[−2,0]，(2,+∞)，减区间(−∞,−2)，(0,2)；
(II)因为x≥0时，f(x)=x2−4x，
根据偶函数的对称性可知，当x<0时f(x)=x2+4x，
故f(x)=x2−4x,x≥0x2+4x,x<0；
(III)由xf(x)<0可得x>0f(x)<0或x<0f(x)>0，
结合图象可得，0故不等式的解集为{x|022.解：(1)f(x)=x2+x−6x+1=(x+1)2−(x+1)−6x+1=x−6x+1，
设f(x)的对称中心为(a,b)，
由题意得函数y=f(x+a)−b为奇函数，
则f(−x+a)−b=−f(x+a)−b为奇函数，
则f(−x+a)−b=−f(x+a)+b，
即(x+a)−6x+a+1+(−x+a)−6−x+a+1−2b=0，
整理得(a−b)x2−[(a−b)(a+1)2−6(a+1)]=0，
∴a−b=(a−b)(a+1)2−6(a+1)=0，解得a=−1，b=−1，
∴函数f(x)的对称中心为(−1,−1)．
(2)∵对任意的x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2)，
∴函数g(x)的值域是函数f(x)的值域的子集，
∵函数f(x)=x−6x+1在[1,5]上是增函数，
∴f(x)的值域为[−2,4]，
设函数g(x)的值域为集合A，
∵函数g(x+1)−1是奇函数，∴函数g(x)关于(1,1)对称，
∵g(1)=1，∴函数g(x)恒过定点(1,1)，
当m2≤0，即m≤0，g(x)在[0,1]上递增，则函数g(x)在(1,2]上是增函数，
∴函数g(x)在[0,2]上递增，
又g(0)=m，g(2)=2−g(0)=2−m，
∴g(x)的值域为[m,2−m]，即A=[m,2−m]，
又A=[m,2−m]⊆[−2,4]，
∴m≥22−m≥−2m≤4，解得2≤m≤4，
当0∴此时g(x)min=min{g(2),g(m2)}，g(x)max=max{g(0),g(2−m2)}，
要使A⊆[−2,4]，
只需要g(2)=2−g(0)=2−m≥−2g(m2)=−m24+m≥−2g(0)=m≤4g(2−m2)=2−g(m2)=m24−m+2≤40解得0综上所求，实数m的取值范围是[−2,4]． x
1
2
3
f(x)
2
3
0