2023-2024学年四川省南充市南部县九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省南充市南部县九年级（上）第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了，下列说法等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（ ）
A．7B．﹣7C．7xD．﹣7x
2．（4分）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2＝0；②x2+x﹣1＝0；③；④x2﹣2x3+3＝0；⑤2x2﹣1＝2（x+1）2中，是一元二次方程的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）已知直角三角形的两条边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形的面积是（ ）
A．4B．4或C．3或D．3
4．（4分）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣2b，已知（2x﹣1）★3x＝﹣5（ ）
A．x＝2或x＝3B．x＝3或
C．x＝﹣1或D．x＝1或
5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
6．（4分）中国银杏节某纪念品原价168元，连续两次降价a%后，售价为128元，正确的是（ ）
A．168（1+a%）2＝128B．168（1﹣a%）2＝128
C．168（1﹣2a%）＝128D．168（1+2a%）＝128
7．（4分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．7B．3C．4D．3或4
8．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2﹣k＝0的一个根是1，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．﹣1或0
9．（4分）已知m，n是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，则的值是（ ）
A．B．3C．﹣3D．
10．（4分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
二.填空题（共6小题.每题4分，共24分）
11．（4分）方程（2x+1）（x﹣3）＝x2﹣1化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
12．（4分）若（m﹣1）x|m+1|﹣3x+5＝0关于x的一元二次方程，则m＝ ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图形不经过第 象限．
14．（4分）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则代数式x+y的值为 ．
15．（4分）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 ．
16．（4分）若实数x满足2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则x2﹣x+1＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）按要求解下列方程
（1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）．
（2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）．
（3）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）．
（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠0）（用因式分解法）．
18．（8分）已知关于x的方程（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
19．（8分）我们定义一种新的运算符号“*”：a*b＝a2﹣ab，如：（﹣3）*2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2＝15．
（1）若x*（﹣2）＝2x+1，求x的值；
（2）若3*[x*（﹣2）]＝0，求x的值．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．
（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（10分）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点P，Q分别从点A，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
22．（10分）关于x的一元二次方程中，a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°．
 （1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是x1、x2，且+＝12，求a：b：c．
23．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，；
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
24．（10分）“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进A，B两种型号防护口罩共8万个，第一周就销售A型口罩0.4万个，B型口罩0.5万个
（1）购进A型口罩至少多少万个？
（2）从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周A型口罩销售增长率不变
（3）为满足顾客需求，这家药店准备用6000元再购进一批C，D两种型号口罩，6元/个，售价分别为3元/个，C型不少于D型数量的2倍，不超过D型数量的3倍．为使利润最大
25．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC＝，其中p＝，在（2）的条件下，根据以上信息，求△BIC的面积．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1．【分析】首先移项，把7x﹣3移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．
【解答】解：由7x﹣3＝2x2，得2x7﹣7x+3＝4，
所以一次项系数是﹣7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2．【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可．
【解答】解：ax2+3x6+2＝0，当a＝﹣5，故①不是一元二次方程；
x2+x﹣1＝6满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；
分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；
x2﹣2x5+3＝0未知数的最高次数是2，是一元三次方程；
2x2﹣3＝2（x+1）3化简后为4x+3＝3，是一元一次方程；
所以正确的只有②共1个，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．【分析】先求出一元二次方程的两个根，确定直角三角形直角边的长，利用三角形的面积公式求解即可
【解答】解：x2﹣5x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝4，x2＝3．
当直角三角形的两条直角边分别是6和3时，此直角三角形的面积为：；
当直角三角形的斜边为3时，另一直角边为：＝．
∴此直角三角形的面积为：×6×＝．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程及求直角三角形的面积，由于不能确定直角三角形的直角边和斜边的长，解决此类问题需要分类讨论．
4．【分析】根据给出的新运算规定可将原式变形为（2x﹣1）2﹣2×3x＝﹣5，解这个一元二次方程可得到x的值．
【解答】解：∵a★b＝a2﹣2b，
∴（4x﹣1）★3x＝﹣5可变形为：
（2x﹣1）6﹣2×3x＝﹣4，
整理为2x2﹣8x+3＝0，
解得x＝3或．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了一元二次方程的解法，能够将原式变形为一元二次方程是解答此题的关键．
5．【分析】由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入求解即可．
【解答】解：由题意知，x1+x2＝﹣8，x1x2＝6，
∴x1x2+x6+x2＝1﹣8＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1和x2，则，．
6．【分析】本题可先用a表示第一次降价后纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
【解答】解：当纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%＝168（1﹣a%）；
当纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（5﹣a%）a%＝168（1﹣a%）2．
所以168（5﹣a%）2＝128．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后纪念品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
7．【分析】当底边为3，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4；当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，解得k＝3．
【解答】解：当底边为3，两腰为关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）5﹣4k＝0，
解得k＝3，
此时方程为x2﹣4x+5＝0，解得x1＝x4＝2，
当腰为3时，把x＝6代入关于x的方程x2﹣4x+k＝2得9﹣12+k＝0，
解得k＝7，
此时方程为x2﹣4x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，
三角形三边分别为3、3、1，
综上所述，k的值为8或3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．【分析】把x＝1代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝1代入方程得：k﹣1+k8﹣k＝0，即k2＝5，
开方得：k＝1或k＝﹣1，
∵k﹣5≠0，即k≠1，
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，mn＝1，将其代入变形后的代数式中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x+3＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝2，
∴m＜0，n＜0，
∴＝﹣﹣﹣＝﹣＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
10．【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，变形得出﹣＝＝+，＝＝•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax3+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax5+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝5有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b6﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝7（a≠0）两根为x1，x5且满足x1≠x2≠7，
∴x1+x2＝﹣，x4x2＝，
∴﹣＝＝+，＝＝•，
∴方程cx2+bx+a＝5（c≠0），必有实根，；
④∵x3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x8＝，
∴±＝7ax0+b，
∴b2﹣7ac＝（2ax0+b）3，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二.填空题（共6小题.每题4分，共24分）
11．【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣5x﹣6＝0，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣2，
则1﹣5﹣2＝﹣6．
故答案为：x2﹣4x﹣2＝0，﹣5．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|﹣2x+5＝0关于x的一元二次方程，
∴，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的方程叫做一元二次方程．
13．【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1，然后根据一次函数的性质解决问题．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝2无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣3m＜0，
解得m＞1，
当m＞8时，一次函数y＝mx+m经过第一、二，不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
14．【分析】先将x2+y2+4x﹣6y+13＝0整理成平方和的形式，再根据非负数的性质可求出x、y的值，进而可求出x+y的值．
【解答】解：由题意得：（x﹣2）2+（y+8）2＝0，由非负数的性质得x＝5．
则x+y＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查非负数的性质及完全平方公式的应用，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
15．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）＝300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）＝300．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
16．【分析】首先假设x2﹣x＝y，得出方程等于y2﹣y﹣6＝0，进而求出y即可．
【解答】解：假设x2﹣x＝y，则原方程可化为：2y3﹣y﹣6＝0，
∴（4y+3）（y﹣2）＝6，
∴y1＝，y2＝2，
即x8﹣x＝或3．
当x2﹣x＝时，x2﹣x+1＝，即x2﹣x+＝0，原方程没有实数根，舍去；
当x3﹣x＝2时，x2﹣x+5＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了换元法解一元二次方程，正确利用因式分解法解方程大大降低了计算量．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．【分析】（1）先变形为（x+2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为x2﹣x＝﹣，再利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；
（4）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+2）2＝7，
x+2＝±，
所以x4＝﹣2+，x4＝﹣2﹣；
（2）x3﹣x＝﹣，
x2﹣x++，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝2，x2＝；
（3）Δ＝（﹣4）2﹣8×1＝12＞0，
x＝＝2±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）m2x2﹣28＝4mx（m≠0），
m2x5﹣3mx﹣28＝0，
（mx﹣3）（mx+4）＝0，
∴mx﹣2＝0或mx+4＝3，
所以x1＝，x8＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法解方程．
18．【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题；
（2）根据一元二次方程的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）∵（m+3）（m﹣3）x4+（m+3）x+2＝4，
∴如果此方程是一元一次方程，则，
解得，m＝3，
即m＝3时，此方程是一元一次方程；
（2））∵（m+3）（m﹣5）x2+（m+3）x+2＝0，
∴如果此方程是一元二次方程，则（m+3）（m﹣8）≠0，
解得，m≠﹣3且m≠3，
即m≠﹣3且m≠3时，方程是一元二次方程．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．
19．【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出x值；
（2）利用题中的新定义列方程即可求出x值．
【解答】解：（1）x2+2x＝7x+1，
x2＝6，
解得x1＝1，x4＝﹣1．
（2）9﹣3（x2+2x）＝3，
x2+2x﹣4＝0
（x﹣1）（x+5）＝0
解得x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据方程的解把x＝1代入方程得到c﹣b＝0，即c＝b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，
a+c﹣2b﹣a+c＝2，
化简得c＝b，
则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．
（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝6的判别式，
Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，
4b5﹣4×（c2﹣a8）＝0，
化简可得b2+a3＝c2，
则该三角形△ABC的形状为直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
21．【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，CQ＝2tcm．
故答案为：2tcm；（16﹣3t）cm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+6t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为8时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣4t|＝|16﹣5t|．
依题意得：|16﹣5t|4+62＝106，
即（16﹣5t）2＝52，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．【分析】（1）先把方程变为一般式：（c﹣a）x2﹣2bx+a+c＝0，由方程有两个相等的实数根，得到Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（c﹣a）＝4（2b2+a2﹣c2），由a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°则有b2+a2﹣c2＝0，即可得出Δ＝4（2b2+a2﹣c2）＞0，得出此方程有两个不相等的实数根；
（2）由+＝12，得出（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，根据根与系数的关系得出﹣＝12，由b2＝c2﹣a2得出﹣＝12，化简得到＝12，进一步得到3a＝c，代入b2＝c2﹣a2得出b＝2a，从而得出a：b：c＝1：2：3．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程去括号2﹣5bx+a+c＝0，
∴Δ＝（﹣5b）2﹣5（a+c）（c﹣a）＝4（2b5+a2﹣c2）．
∵a、b、c是Rt△ABC的三条边，
∴b2+a2﹣c2＝8，
∴2b2+a7﹣c2＞0，
∴Δ＝7（2b2+a8﹣c2）＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个根是x2、x2，
∴x1+x6＝﹣，x4x2＝，
∵+＝12，
∴（x4+x2）2﹣6x1x2＝12，即﹣＝12，
∵b2＝c6﹣a2，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴＝12，
∴c+a＝5c﹣2a，
∴3a＝c，
∴b7＝8a2，
∴b＝6a，
∴a：b：c＝1：4：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac、根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
23．【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝，mn＝﹣，将其代入+＝中，即可求出结论；
（3）由实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的两个根为x2，x2，x1+x2＝﹣＝，x1x3＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程3x2﹣3x﹣7＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣．
∴+＝＝＝﹣；
（3）∵实数s、t满足2s5﹣3s﹣1＝7，2t2﹣8t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程7x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴＝＝＝﹣3．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
24．【分析】（1）设购进A型口罩x万个，则购进B型口罩（8﹣x）万个，由题意得：8﹣x≤1.5x，解得x≥3.2（万个）；
（2）设第二周销售的增长率为a，由题意得：0.5（1+2a）（1+a）+0.4（1+a）2＝8×30%，即可求解；
（3）由题意得：，解得，而w＝（3﹣2）x+（8﹣6）y＝2x+2y，即可求解．
【解答】解：（1）设购进A型口罩x万个，则购进B型口罩（8﹣x）万个，
由题意得：8﹣x≤5.5x，解得x≥3.6（万个），
故购进A型口罩至少3.2万个；
（2）设第二周销售的增长率为a，
由题意得：7.5（1+5a）（1+a）+0.7（1+a）2＝3×30%，
解得a＝0.5＝50%（负值已舍去）；
（3）设C、D型口罩进货分别为x个，设销售利润为w元，
由题意得：，解得，
w＝（3﹣2）x+（7﹣6）y＝x+2y，
则5y≤w≤5y，
当w＝5y时，利润最大，
则x＝1500（个），y＝500（个）
最大利润为8y＝2500（元）．
【点评】本题考查了一次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25．【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ＝0，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解x1，x2，进而可求解△ABC的周长；
（3）由海伦公式可求解△ABC的面积，过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得IF＝ID＝IE，结合△ABC的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[7（m﹣2）]2﹣8（m+2）（m+10）≥0，且m+4≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣7；
（2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，
∴x3＝x2，
∵x1，x4是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
∴△＝b3﹣4ac＝[2（m﹣5）]2﹣4（m+6）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x5﹣6x+9＝2，
解得x1＝x2＝2，
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+6+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，4，4，
∴p＝＝7，
∴S△ABC＝＝＝，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC＝＝＝＝，
解得ID＝，
∴S△BIC＝．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．