高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.5 已知三角函数值求角练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.5 已知三角函数值求角练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知sin(π+θ)csθ=-12,则tan 2θ=( )
A.34B.43C.43或34D.12
2.函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2
3.若点Msin2 021π3,cs2 023π3在角α的终边上,则cs 2α=( )
A.2B.-2C.12D.-12
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,cs2A2=b+c2c,则△ABC的形状一定是( )
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
5.若函数f(x)=cs 2x+sin2x+π6在(0,α)上恰有2个零点,则α的取值范围为( )
A.5π6,4π3B.5π6,4π3
C.5π3,8π3D.5π3,8π3
6.已知函数f(x)=sin 2ωx-cs 2ωx+1(0<ω<1),将f(x)的图象先向左平移π4个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于π4,0对称,则ω为( )
A.14B.12C.23D.34
7.如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 m到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为30°,则铁塔AB的高度是( )
A.50 mB.30 mC.25 mD.15 m
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<1)的部分图象如图所示,下列结论正确的是( )
A.φ=-π4
B.将f(x)的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=2sinπ4x的图象
C.f(x)的图象关于直线x=-1对称
D.若|x1-x2|<4,则|f(x1)-f(x2)|<4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列式子等于csx-π6的是( )
A.csx-5π6B.sinx-2π3
C.3csx+sinx2D.2cs2π12-x2-1
10.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,且PO为此山的高,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h,且cs∠AOB=-338,则( )
A.此山的高PO=3 km
B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C.PA=2 km
D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20111111
11.已知函数f(x)=3sin 2ωx+cs 2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象,则( )
A.g(x)在π4,π2上单调递增
B.π4,0是g(x)的一个对称中心
C.g(x)是奇函数
D.g(x)在区间π6,2π3上的值域为[0,2]
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B+sin C=2sin A,( )
A.若A=π3,c=1,则a=1
B.若A=π3,c=1,则△ABC的面积为π
C.若b=2,则A的最大值为π3
D.若b=2,则△ABC周长的取值范围为(4,12)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知sinα-π4=23,则sin 2α= .
14.若f(x)=2sin(x+φ)-cs x为奇函数,则φ= .(填写符合要求的一个值)
15.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则角B的取值范围是 .
16.某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为 .(只需写出一种方案)
图1
①C,D两点间的距离;②C,E两点间的距离;③由点C观察点A的仰角α;④由点D观察点A的仰角β;⑤∠ACE和∠AEC;⑥∠ADE和∠AED.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=2π3,b=2c.
(1)求tan B;
(2)求sin2C+π6.
18.(12分)从①2a-3c3b=csCcsB,②sinA-3sinCsinB+sinC=b-ca,③asin Bsin C-bcs Acs C=32b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 ,求角B的大小.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)已知函数f(x)=23sin xcs x-cs 2x(x∈R).
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)设α∈0,π3,且f(α)=65,求sin 2α的值.
20.(12分)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离;
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.
21.(12分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin C=sin C+3cs C,A=π3.
(1)求c;
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断该三角形是否存在?若存在,求出三角形的面积;若不存在,请说明理由.
①BC边上的中线长为22,②AB边上的中线长为7,③三角形的周长为6.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
22.(12分)已知四边形ABCD,A,B,C,D四点共圆,AB=5,BC=2,cs∠ABC=-45.
(1)若sin∠ACD=55,求AD的长;
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
参考答案与解析
1.B 解析 因为sin(π+θ)csθ=-12,所以tan θ=12,
所以tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×121-122=43.
2.C 解析 f(x)=2sinx3+π4,故函数f(x)的最小正周期T=2π13=6π,函数f(x)的最大值为2.故选C.
3.C 解析 因为sin2 021π3=sin5π3=-sinπ3=-32,cs2 023π3=csπ3=12,即M-32,12,
所以cs α=-32,则cs 2α=2cs2α-1=12.
4.B 解析 因为cs2A2=b+c2c,所以1+csA2=sinB+sinC2sinC=sinB2sinC+12,所以cs A=sinBsinC,即cs Asin C=sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,所以sin Acs C=0,因为sin A≠0,所以cs C=0,因为C∈(0,π),所以C=π2,即△ABC是直角三角形.
5.B 解析 由题意,函数f(x)=cs 2x+sin2x+π6=3sin2x+π3,因为0又由f(x)在(0,α)上恰有2个零点,
所以2π<2α+π3≤3π,解得5π6<α≤4π3,
所以α的取值范围为5π6,4π3.
6.A 解析 f(x)=2sin2ωx-π4+1,f(x)的图象先向左平移π4个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)=2sin2ωx+π4-π4=2sin2ωx+2ω-14π的图象,
故gπ4=2sin2ωπ4+2ω-14π=2sin4ω-14π=0,
所以4ω-14π=kπ,k∈Z,ω=k+14,k∈Z,
由于0<ω<1,所以ω=14.
7.B 解析 设塔高AB的高度为h m,在Rt△ABC中,
因为∠ACB=45°,所以BC=h.
在Rt△ABD中,因为∠ADB=30°,所以BD=3h.
在△BCD中,∠BCD=60°,BC=h,BD=3h,
根据余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcs 60°,
即(3h)2=h2+602-2h×60×12,
解得h=30或h=-60(舍去).
8.D 解析 由图可知A=2,函数f(x)的最小正周期为T=4×(5-3)=8,则ω=2πT=π4,f(5)=2sin5π4+φ=-2,得sin5π4+φ=-1,所以5π4+φ=3π2+2kπ(k∈Z),得φ=π4+2kπ(k∈Z),因为|φ|<1,得φ=π4,
所以f(x)=2sinπ4x+π4,故A项错误;
若要得到函数y=2sinπ4x的图象,需将f(x)的图象向右平移1个单位长度,故B项错误;
f(-1)=2sin-π4+π4=0,故C项错误;
f(x)的最小正周期为T=8,所以若|x1-x2|<4=T2,
则|f(x1)-f(x2)|<4,故D项正确.
9.CD 解析 csx-5π6=csx+π6-π=-csx+π6≠csx-π6,故A不正确;
sinx-2π3=sinx-π6−π2=-csx-π6≠csx-π6,故B不正确;
3csx+sinx2=32cs x+12sin x=csx-π6,故C正确;
2cs2π12-x2-1=csπ6-x=csx-π6,故D正确.
10.BCD 解析 由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,设OP=x km,OP⊥OA,OP⊥OB,则OA=3x km,OB=x km.因为AB=7.5×160×20=52 km,所以由余弦定理可知cs∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB=4x2-25423x2=-338,解得x=1(负值舍去),从而PA=2 km.因为sin∠AOB=378,
所以由等面积法可得O到AB的距离h=11120 km,
则最大仰角的正切值为POℎ=20111111.
又AO>BO,所以最小仰角为30°.
11.AB 解析 因为f(x)=3sin 2ωx+cs 2ωx(ω>0),所以f(x)=232sin 2ωx+12cs 2ωx=2sin2ωx+π6,
因为函数f(x)=3sin 2ωx+cs 2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,所以12·2π2ω=π2,所以ω=1,
所以f(x)=2sin2x+π6,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位长度,得到g(x)=2sin2x-π3+π6=2sin2x-π2=-2cs 2x的图象,即g(x)=-2cs 2x的图象,
对于A,当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,因为y=cs x在π2,π上单调递减,所以g(x)在π4,π2上单调递增,故A正确;
对于B,gπ4=-2cs2×π4=-2csπ2=0,故π4,0是g(x)的一个对称中心,故B正确;
对于C,g(x)为偶函数,故C错误;
对于D,因为x∈π6,2π3,所以2x∈π3,4π3,所以cs 2x∈-1,12,所以g(x)∈[-1,2],故D错误.
12.ACD 解析 因为sin B+sin C=2sin A,所以b+c=2a.
对于A和B,若c=1,则b=2a-1,cs A=b2+c2-a22bc=3a2-4a+24a-2=12,解得a=1,△ABC的面积S=12bcsin A=34,A正确,B错误;
对于C,若b=2,
则c=2a-2,cs A=b2+c2-a22bc=3a2-8a+88a-8=38a-1+1a-1+2-1≥382(a-1)·1a-1+2-1=12,当且仅当a=2时,等号成立,所以A的最大值为π3,C正确;
对于D,若b=2,则根据三边长度关系可得a+c>b,a+b>c,即a+2a-2>2,a+2>2a-2,解得43△ABC的周长为a+b+c=3a,则4<3a<12,故△ABC周长的取值范围为(4,12),D正确.
13.59 解析 sinα-π4=-sinπ4-α=23,
所以sinπ4-α=-23,
所以sin 2α=csπ2-2α=cs2π4-α=1-2sin2π4-α=1-2×-232=59.
14.π6(答案不唯一,符合题意均可) 解析 f(x)=2sin(x+φ)-cs x=2(sin xcs φ+cs xsin φ)-cs x=2cs φsin x+(2sin φ-1)cs x,因为f(x)为奇函数,且定义域为R,所以f(0)=0.所以2sin φ-1=0,即sin φ=12,所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6,k∈Z,所以φ的值可以是π6.
15.0,π3 解析 因为2sin B=sin A+sin C,由正弦定理得b=a+c2,由余弦定理得cs B=a2+c2-b22ac,将b=a+c2代入整理得cs B=38ac+ca−14,因为ac+ca≥2,当且仅当a=c时取“=”号,所以cs B=38ac+ca−14≥12,又因为016.①③④或②③⑤ 解析 经分析可知,若选①③④,在△ACD中,∠ACD=π2-α,∠ADC=π2+β,∠CAD=α-β,
所以ACsinπ2+β=CDsin(α-β),所以AC=csβsin(α-β)·CD,
所以AB=AC·sin α=csβsinαsin(α-β)·CD,其中各个量均已知.
若选②③⑤,
已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π-∠ACE-∠AEC,
由ACsin∠AEC=CEsin∠CAE=CEsin(∠ACE+∠AEC),
所以AC=sin∠AECsin(∠ACE+∠AEC)·CE,所以AB=ACsin α=sin∠AEC·sinαsin(∠ACE+∠AEC)·CE,其中各个量均已知.
其他选择方案均不可求得AB长.
17.解 (1)∵A=2π3,b=2c,A+B+C=π,由正弦定理得sin B=2sin C,∴sin B=2sinπ3-B,化简得2sin B=3cs B,即tan B=32.
(2)由tan B=32,∴B是锐角,且sin B=217.
∵sin B=2sin C,∴sin C=2114.
又b=2c,∴C∴sin 2C=5314,cs 2C=1114.∴sin2C+π6=sin 2Ccsπ6+cs 2Csinπ6=5314×32+1114×12=1314.
18.解 若选①:2a-3c3b=csCcsB,2sinA-3sinC3sinB=csCcsB,2sin Acs B=3sin(B+C)=3sin(π-A)=3sin A,sin A≠0,∴cs B=32,又0若选②:sinA-3sinCsinB+sinC=b-ca,由正弦定理得a-3cb+c=b-ca,整理得b2=a2+c2-3ac,由余弦定理得cs B=32,又0若选③:asin Bsin C-bcs Acs C=32b,sin Asin Bsin C-sin Bcs Acs C=32sin B,
-cs(A+C)=cs B=32,又019.解 (1)∵f(x)=23sin xcs x-cs 2x=3sin 2x-cs 2x=2sin2x-π6,由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,可得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,又x∈[0,π],∴0≤x≤π3,5π6≤x≤π,
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为0,π3,5π6,π.
(2)∵f(α)=2sin2α-π6=65,可得sin2α-π6=35,
∵α∈0,π3,则-π6<2α-π6<π2,
∴cs2α-π6=1-sin22α-π6=45,
因此sin 2α=sin2α-π6+π6=32sin2α-π6+12cs2α-π6=4+3310.
20.解 (1)在△ABC中,AB=60,BC=303-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)·cs 120°=5 400,AC=306,
故小岛A到小岛C的距离是306海里.
(2)根据正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,
∴306sin120°=60sin∠ACB,解得sin∠ACB=22.
在△ABC中,∵∠ABC=120°,∴∠ACB为锐角,
∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°.
由75°-15°=60°,得游船应该沿北偏东60°的方向航行.
21.解 (1)由bsin C=sin C+3cs C得csin B=2sinC+π3,
又A=π3,A+B+C=π,所以csin B=2sin(π-B)=2sin B,
而0(2)选①,
(方法一)设BC边上的中线为AD,则AD=22,
由cs∠ADB=-cs∠ADC,得AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+CD2-AC22AD·CD,即12+a24-4=-12+a24-b2,即a2=2b2+6,由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A得a2=b2-2b+4,即b2+2b+2=0,
该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.
(方法二)设BC边上的中线为AD,则AD=12(AB+AC),两边平方得AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2),
即12=14×4+2×2b×12+b2,即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,
故符合条件的三角形不存在.
(方法三)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.
故C点坐标为bcsπ3,bsinπ3,即12b,32b,B点坐标为(2,0),
所以BC边的中点坐标为1+14b,34b,由BC边上的中线长为22得1+14b2+34b2=222,整理得b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.
选②,
设AB边上的中线为CF,则CF=7.在△ACF中,由余弦定理得CF2=AF2+AC2-2AC·AFcs A,即7=1+AC2-2×1×ACcsπ3,整理得AC2-AC-6=0,解得AC=3或AC=-2(舍去),故△ABC的面积S=12AC·ABsin A=12×3×2×32=332.
选③,
依题意得AB+BC+CA=6,由(1)知AB=2,所以BC+CA=4,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+CA2-2AB·CAcs A,所以CB2=22+CA2-2×2×12CA,即CB2=4+CA2-2CA,所以(4-CA)2=4+CA2-2CA,解得BC=CA=2,所以△ABC的面积S=12AC·ABsin A=12×2×2×32=3.
22.解 (1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=52+22-2×5×2×-45=45,得AC=35.
因为cs∠ABC=-45,0<∠ABC<π,所以sin∠ABC=35.因为A,B,C,D四点共圆,所以∠ABC与∠ADC互补,
所以sin∠ADC=35,cs∠ADC=45,
在△ACD中,由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠ADC,
所以AD=AC·sin∠ACDsin∠ADC=35×5535=5.
(2)因为四边形ABCD的周长为DC+DA+BC+BA=DC+DA+7,在△ACD中,由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cs∠ADC,
即45=DA2+DC2-85DA·DC=(DA+DC)2-185DA·DC≥(DA+DC)2-185DA+DC22=110(DA+DC)2,
所以(DA+DC)2≤450,所以DA+DC≤152,
当且仅当DA=DC=1522时,(DA+DC)max=152,
所以四边形ABCD周长的最大值为152+7.