新高考数学二轮复习重难点突破专题01 圆锥曲线中的弦长问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．设椭圆长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆的标准方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得结果.
【详解】
设椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆的标准方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 的中垂线交x轴于M点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
当l： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与椭圆联立可得： SKIPIF 1 < 0 ， 然后求得 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，建立 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,
当l： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与椭圆联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程为：
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（ ）
A．5B．6C． SKIPIF 1 < 0 D．7
【答案】C
【分析】
求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.
【详解】
由9x2+25y2=225得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理的应用.
4．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l过左焦点 SKIPIF 1 < 0 且交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的周长是 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
先利用等面积法可得： SKIPIF 1 < 0 ，求解出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后根据弦长公式 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
设内切圆半径为r，由题意得 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.
二、多选题
5．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则（ ）
A．若抛物线上存在一点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
C．若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】
由抛物线的定义求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可判断A选项的正误；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的方程，求得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离和 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
对于B选项，如下图所示：
抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，由图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误；
对于C选项，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，由B选项可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的焦点弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，C选项错误；
对于D选项，抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则该抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.
三、解答题
6．如图， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）先求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组分别求出A，B，P的纵坐标，将 SKIPIF 1 < 0 表示为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数式，结合基本不等式即可得结果.
【详解】
解：（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵有两个不同的交点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 之间，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
关键点点睛：
（1）直线弦长公式的应用；
（2）将所求量表示为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，利用基本不等式求最值.
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与椭圆相交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段 SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 方程，代入椭圆方程得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程.
【详解】
(1)由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0
(2)由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题是椭圆与直线相交弦长问题，是高考解析几何中的常见题型.
注意点点睛：
①在设直线时要注意直线斜率是否存在，做必要的交代；
②代入消元后要交代 SKIPIF 1 < 0 的符号，确定交点是否存在及存在时的个数；
③所得解回代检验合理性，以确保答案的正确性.
8．已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与抛物线方程联立，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线的方程联立，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值，利用抛物线的定义可求得 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】
（1）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且该直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的焦点弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 不可能与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 SKIPIF 1 < 0 ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
9．已知圆上 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线段 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 在圆上运动时，线段 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
（2）若直线l的方程为y＝x－1，与点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求弦 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用相关点法即可求解.
（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：
（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解.
（2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解.
（3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，可得椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即有椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦的端点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
思路点睛：
求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.
11．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）由圆 SKIPIF 1 < 0 求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离小于半径即可求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，利用弦长的一半、弦心距、圆的半径满足勾股定理可求出圆的半径，再次利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与M相交所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：有关圆的弦长的两种求法
（1）几何法：直线被圆截得的半弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，弦心距 SKIPIF 1 < 0 和圆的半径 SKIPIF 1 < 0 构成直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，由根与系数的关系可求得弦长 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点.
（1）若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）由双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，代入即可得解；
（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.
【详解】
（1）由题意，双曲线的焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
13．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】（1）5；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与抛物线，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理表示出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出定值.
【详解】
（1）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 SKIPIF 1 < 0 形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．已知椭圆M： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左右顶点分别为A，B．经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出 SKIPIF 1 < 0 可得结果；
（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；
（Ⅲ）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，利用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，变形后利用基本不等式可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）因为椭圆的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以斜率为1，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 异号，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用 SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点与上顶点，动直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求此时 SKIPIF 1 < 0 的长度.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）4或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，以及 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
（2）将直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，求出交点 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，根据 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上求出点 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知定直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知，
点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的长度为4或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是求出 SKIPIF 1 < 0 点，根据对称性可知，确定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，考查了计算求解能力.
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）首先根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程组即可得到答案.
（2）首先设出直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程即可得到答案.
【详解】
（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
其判别式 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.
17．如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ．当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求使 SKIPIF 1 < 0 取最小值时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（Ⅰ）由离心率及 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而写出椭圆的方程；
（Ⅱ）进行分类讨论，①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不满足题意；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线CD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，分别将直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的表达式，然后利用弦长公式求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，然后利用基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，不满足条件；
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线CD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ≥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，上式取等号，所以直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
易错点点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力和的分析计算能力，属于中档题.
18．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 被抛物线 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 为8．
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于零时，求过点 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线相切的圆的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；
（2）设所求圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程.
【详解】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当直线l的斜率不存在时，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不满足，舍去；
当直线l的斜率存在时，设方程为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
由抛物线定义得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
因此l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）取 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为(3，2)，
所以 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
设所求圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，该圆的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该圆与准线 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当圆心为 SKIPIF 1 < 0 时，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，当圆心为 SKIPIF 1 < 0 时，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键.
19．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆里面，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
变形为 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
并且有椭圆对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由①式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，可得， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
化简为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.
20．如图所示，已知圆 SKIPIF 1 < 0 上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，实数 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用椭圆的定义可知，曲线 SKIPIF 1 < 0 为椭圆，确定焦点的位置，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，结合点 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上可得出曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可计算出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出结论.
【详解】
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由垂直平分线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为长轴长的椭圆，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由于四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则点 SKIPIF 1 < 0 不能在 SKIPIF 1 < 0 轴上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由于曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 去掉长轴端点后所形成的曲线，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，此时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 无公共点，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
【点睛】
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）当△ SKIPIF 1 < 0 面积等于 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，结合韦达定理，可求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；
（2）易知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，可表示出 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，及点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合 SKIPIF 1 < 0 ，可求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
【详解】
（1）因为直线l过 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理，有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意，可知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理，有 SKIPIF 1 < 0 ，
O到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ；（2）利用 SKIPIF 1 < 0 ；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
23．如图，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程;
（2）记抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）-3.
【分析】
(1) 设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,方程联立得到 SKIPIF 1 < 0 ，由直线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，由条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出答案.
(2) 由直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合（1）中的 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】
(1) 设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
由抛物线的性质可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】
关键点睛：本题考查抛物线过焦点的弦长和直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键是利用过焦点的弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，方程联立韦达定理代入即可，由直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，同理得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用韦达定理的结果即可，属于中档题.
24．设椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （a，b>0）过M（2， SKIPIF 1 < 0 ） ，N( SKIPIF 1 < 0 ，1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）根据椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （a，b>0）过M（2， SKIPIF 1 < 0 ） ，N( SKIPIF 1 < 0 ，1)两点，直接代入方程解方程组即可.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理运算 SKIPIF 1 < 0 ，同时满足 SKIPIF 1 < 0 ，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
（1）因为椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （a，b>0）过M（2， SKIPIF 1 < 0 ） ，N( SKIPIF 1 < 0 ，1)两点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设该圆的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则△= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 ，需使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则所求的圆为 SKIPIF 1 < 0 ，此时圆的切线 SKIPIF 1 < 0 都满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而当切线的斜率不存在时切线为 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个交点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， 存在圆心在原点的圆 SKIPIF 1 < 0 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取”=”.
② 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
③ 当AB的斜率不存在时， 两个交点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， |AB |的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 SKIPIF 1 < 0 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
25．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），
步骤1：设圆心是 SKIPIF 1 < 0 ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．
所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点 SKIPIF 1 < 0 到圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，按上述方法折纸.
（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；
（2）求经过 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 的直线被椭圆截得的弦长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；
（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.
【详解】
（1）如图，以FO所在的直线为x 轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以P点轨迹以F，O为左右焦点，长轴长 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，不妨令过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于C，D且倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消元得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
四、填空题
26．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为1的直线，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．若弦 SKIPIF 1 < 0 的长为6，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与抛物线方程可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入弦长公式，利用线段 SKIPIF 1 < 0 的长度，求解 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 直线的斜率为1，
则可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ；（2）利用 SKIPIF 1 < 0 ；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
27．已知抛物线C : y2=2px(p>0)，直线l ：y = 2x+ b经过抛物线C的焦点，且与C相交于A、B 两点．若|AB| = 5，则p = ___．
【答案】2
【分析】
法1：首先利用直线过焦点，得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示 SKIPIF 1 < 0 ，计算求得 SKIPIF 1 < 0 ；法2：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，再利用弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
法1：由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
法2：设直线的切斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
【点睛】
结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ；④弦长 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角）；⑤以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与准线相切；⑥焦点 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 在准线上射影的张角为 SKIPIF 1 < 0 .
28．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为过焦点 SKIPIF 1 < 0 的弦，过 SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线的切线，两切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有________．
①若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为-1，则弦 SKIPIF 1 < 0 ；
②若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为-1，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③点 SKIPIF 1 < 0 恒在平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 上；
④若点 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】①③④
【分析】
设PA的方程 SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 联立，利用判别式求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得PA的方程，同理可得PB的方程,联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方程求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可知④正确；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 联立，当 SKIPIF 1 < 0 时，利用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可知②错误，③正确；当 SKIPIF 1 < 0 时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长 SKIPIF 1 < 0 ，可知①正确．
【详解】
设PA方程 SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，同理得PB方程 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以交点P SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确；
根据题意直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率必存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以③正确；
当t=-1时， SKIPIF 1 < 0 ，所以②错误，
当t=-1时，根据抛物线的定义可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以①正确．
故答案为：①③④
【点睛】
关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是解题关键.
五、双空题
29．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程是______；若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据焦半径公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；再联立直线 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可解出 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的焦半径公式可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，意在考查学生转化与化归的能力以及数学运算能力，属于基础题．