新高考数学一轮复习教案第8章第3节 第1课时 系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（含解析）

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知识点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
3．谨记常用结论
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
(1)当F＝0时，圆过原点．
(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案：D
2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
3．(易错题)方程x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
答案：B
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
答案：A
5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a2＋4＝r2，,－1－a2＋16＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,r2＝20，))所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20.
答案：(x－1)2＋y2＝20
6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．
解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，
连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，
则kBC＝eq \f(1,2)，则BC的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－4)，
整理得x－2y＝0，
由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
即圆心坐标为C(2,1)，
又由r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝eq \r(4－22＋2－12)＝eq \r(5)，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
知识点二 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
4．谨记常用结论
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重温经典]
1．(教材改编题)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq \r(2)，
∴eq \f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤ eq \r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
故选C.
3．(教材改编题)圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝eq \r(3)x截得的线段长为( )
A．2 B.eq \r(3)
C．1 D.eq \r(2)
解析：选C 圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝eq \r(3)x的距离为d＝eq \f(|\r(3)|,\r(3＋1))＝eq \f(\r(3),2)，弦长为2·eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝1，故选C.
4．(易错题)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为( )
A．x＋eq \r(3)y－2＝0 B．x＋eq \r(3)y－4＝0
C．x－eq \r(2)y＋4＝0 D．x－eq \r(3)y＋2＝0
解析：选D 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－eq \r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq \r(3)＝0， ∴eq \f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(\r(3),3).
∴切线方程为y－eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq \r(3)y＋2＝0.
5．(教材改编题)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝( )
A．－1或1 B．1或5
C．－1或3 D．3或5
解析：选B 由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为eq \r(3).所以圆心到直线的距离为eq \r(\r(3)2－12)＝eq \f(|－1－2＋a|,\r(2))，解得a＝1或5.故选B.
6．已知直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为 (－1,1)，则直线l的方程为__________．
解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝eq \f(2－1,0＋1)＝1.
又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，
所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，
因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
知识点三 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
2．谨记常用结论
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r12．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C 由题意得C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，则两圆心之间的距离为|C1C2|＝eq \r(m＋12＋－2－m2)＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.
3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选B 两圆方程作差得x＝2，
当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，
即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，
则|AB|＝2－(－2)＝4，故选B.
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选D 圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.
∴两圆心的距离d＝eq \r(－1－22＋－1－12)＝eq \r(13)，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．
5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝eq \f(1,a)，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.
答案：1
6．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
解析：两圆的圆心距d＝eq \r(－42＋a2)，由两圆相切，得eq \r(－42＋a2)＝5＋1或eq \r(－42＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内
相离
相切
相交
图形
量
化
方程
观点
Δeq \a\vs4\al(<)0
Δ＝0
Δeq \a\vs4\al(>)0
几何
观点
d>r
deq \a\vs4\al(＝)r
d相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|