新高考数学二轮复习强化讲与练专题06 导数与函数的零点问题（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2021·北京·高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰 有2个零点；
②存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有1个零点；
③存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点；
④存在正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .证明：
（1） SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点；
（2） SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(注： SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 函数零点个数的判断与证明
【核心知识】
解函数零点问题的一般思路
(1)对函数求导．
(2)分析函数的单调性，极值情况．
(3)结合函数性质画函数的草图．
(4)依据函数草图确定函数零点情况．
【典例分析】
典例1.（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
典例2. （2022·吉林长春·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域；
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数．证明：
（1） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一极大值点；
（2） SKIPIF 1 < 0 有且仅有2个零点．
【规律方法】
1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数.
2.常用方法：
（1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
考向二 根据函数零点的情况求参数取值范围
【核心知识】
利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【典例分析】
典例4. （2022·青海玉树·高二期末（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
参考数据： SKIPIF 1 < 0
典例5.（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有零点，求实数a的取值范围．
典例6. （2022·辽宁·高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当a＝1时，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数t的取值范围．
【总结提升】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
考向三 与零点相关的不等式恒成立或证明问题
【核心知识】
1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.
3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【典例分析】
典例7. （2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的实根 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例8.【多选题】（2022·山东·青岛二中高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ,则以下结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例9.（贵州省六盘水市2021-2022学年高二下期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不相同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 .
典例10. （辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
典例11.（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 存在两个正实数根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），证明： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
典例12. （2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点， 求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【规律方法】
1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立，不失为一种好的方法.