新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.13 对数与对数函数（2份打包，原卷版+解析版）

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1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①负数和零没有对数；
②lga1＝0，lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
③ SKIPIF 1 < 0 ＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【题型1 对数的运算】
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
【例1】（2022•遵义开学）已知lg2＝a，lg3＝b，则lg475＝（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022春•银川校级期末）已知3a＝5b且，则a的值为（ ）
A．lg315B．lg515C．lg345D．lg545
【变式1-2】（2022春•西青区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则lg818＝（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春•渝中区校级期末）化简的值为（ ）
A．﹣lg62B．﹣lg63C．lg63D．﹣1
【题型2 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例2】（2022•潍坊二模）已知函数f（x）＝lga（x﹣b）（a＞0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．a+b＜0B．ab＜﹣1C．0＜ab＜1D．lga|b|＞0
【变式2-1】（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）的图像关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2021秋•南山区校级月考）如图所示，曲线是对数函数f（x）＝lgax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
【变式2-3】（2021秋•荔城区校级月考）如图，直线x＝m（m＞1）依次与曲线y＝lgax、y＝lgbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．1＜b≤2a﹣1B．b＞2a﹣1C．1＜b≤2aD．b＞2a
【题型3 比较大小】
对数值的比较大小有4种常见类型：
(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；
(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论；
(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较.
【例3】（2022•响水县校级开学）已知a＝lg32，，c＝lg3π，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
【变式3-1】（2022•安徽开学）已知a＝lg293，b＝lg504，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【变式3-2】（2022•靖远县开学）已知a＝20.4，b＝lg23，c＝lg0.30.4，则（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【变式3-3】（2022春•咸宁期末）已知a＝ln2，b＝ln3，c＝lg32，则（ ）
A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【题型4 解对数不等式】
对数不等式有两种类型：
(1) lgax>lgab，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2) lgax>b，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解.
【例4】（2022春•楚雄州期末）已知函数f（x）的图象与的图象关于x轴对称，则不等式f（3x）＜f（2x+1）的解集为（ ）
A．（0，+∞）B．（0，1）C．D．（﹣∞，1）
【变式4-1】（2020秋•成都月考）已知函数f（x）＝|lgx|，若f（a）＝f（b）且a＜b，则不等式lgax+lgb（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（，+∞）D．（，1）
【变式4-2】（2021秋•衢州期末）已知函数f（x）（x∈R，且x≠1）的图象关于点（1，0）对称，当x＞1时f（x）＝lga（x﹣1），且f（3）＝﹣1，则不等式f（x）＞1的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（2021•烟台一模）已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f（﹣x）＝0，当x＞0时，f（x）＝lg2x，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A．（2，+∞）B．（1，+∞）
C．（，0）∪（2，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【题型5 与对数函数有关的复合函数问题】
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
【例5】（2021秋•忻州校级期中）已知函数f（x）＝lg2．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）在定义域内是增函数．
【变式5-1】（2021秋•西固区校级期末）已知函数f（x）＝lg（x﹣1），g（x）＝lg（4﹣x）．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域．
（2）求不等式f（x）＞g（x）成立时，实数x的取值范围．
【变式5-2】（2020春•丽江期末）已知函数f（x）＝lg4（ax2+2x+3）．
（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【变式5-3】（2021秋•涡阳县期末）已知函数f（x）＝lga（a＞0且a≠1）的图象经过点P（，2）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；
（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．
【题型6 指数函数、对数函数的综合问题】
【例6】（2020秋•上高县校级期末）已知函数f（x）＝lga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a＝2时，不等式f（x）﹣lg2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．
【变式6-1】（2021秋•大理市校级期末）已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）（x+a）的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）a．
【变式6-2】（2021•信阳模拟）已知函数f（x）＝lg2（2x+1）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）若g（x）＝lg2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．
【变式6-3】（2021春•红谷滩新区校级期末）函数y＝f（x）图象与函数y＝ax﹣1（a＞1）图象关于直线y＝x对称
（1）求f（x）解析式
（2）若f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值域为，求实数p范围．y＝lgax
a>1
0图象
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0(5)当x>1时，y<0；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数