上海市2022_2023学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份上海市2022_2023学年高一数学上学期期末试题含解析，共11页。试卷主要包含了满分，试题答案全部做在答题纸上， 化简， 已知，试用表示为______等内容，欢迎下载使用。

考试说明：1.满分：100分；考试时间：60分钟命题人：蒋茂明审卷人：张林
2.试题答案全部做在答题纸上.
一、填空题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若一个幂函数的图像过点，则该函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数为，代入点的坐标即可求出结果.
【详解】设幂函数为，则，即，所以该函数的表达式为，
故答案为：.
2. 终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
【答案】
【解析】
【分析】写出终边落在直线上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．
【详解】∵角的终边在直线上，
∴角的终边在一、三象限的角平分线上，
∴．
故答案为：．
3. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两角差的正弦函数的公式，化简运算，即可求解.
【详解】由题意，根据两角差的正弦函数的公式，
可得.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数的公式的化简、运算，其中解答中熟记两角和与差的三角恒等变换的公式是简单的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4. 已知，试用表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.
【详解】因为，所以，可得，
.
故答案为：.
5. 函数的定义域为，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得对都有，然后分、两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以对都有，
当时成立，
当时有，解得，
综上可得，
故答案为：
6. 若扇形的周长为16，问当圆心角为______时，扇形面积最大？
【答案】2
【解析】
【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案.
【详解】设该扇形弧长为、半径为、圆心角为，
因为扇形的周长为16，所以，
所以，
所以当时最大，此时，
故答案为：2.
7. 已知角的终边上一点，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义，求得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由角的终边上一点，则
当时，，，即；
当时，，，即.
故答案为：.
8. 奇函数在上是严格减函数，且，则的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数性质，结合函数的单调性，可得函数与零的大小关系，可得答案.
【详解】由奇函数在上是严格减函数，则在上是严格减函数，
由，则奇函数，且当时，，当时，，
即不等式的解集为.
故答案为：
9. 在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】将化简得，运用均值不等式得，所以，由二次函数的性质求得的解析式，再求出的最大值，得解.
【详解】由，当且仅当时取等号，得，
于是也在处取得最小值3，则,解得，即，
所以在区间上的最大值为．
故填：4.
【点睛】本题考查双勾函数和二次函数的最值问题，关键在将双勾函数化简运用均值不等式求最值和二次函数运用配方法求最值，属于中档题.
10. 已知的外接圆半径是2，，，边长______.
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理列方程可求出.
【详解】因为的外接圆半径是2，，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
，化简得，
解得或，
故答案为：2或4
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11. 下列命题中真命题是（）
A. 第一象限的角为锐角B. 钝角是第二象限的角
C. 小于的角是锐角D. 终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可.
【详解】对于选项A，若，则为第一象限角，但不锐角，A错误；
对于选项B，若为钝角，则，所以为第二象限角，B正确；
对于选项C，若，则，但不是锐角，C错误；
对于选项D，终边在轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误；
故选：B.
12. 关于幂函数及其图象，有下列四个命题：其中正确的命题个数是（）
①其图象一定不通过第四象限；②当时，函数是增函数；
③当时，其图象关于直线对称；④的图象与的图象至少有两个交点.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的性质可判断①，举例可判断②③④.
【详解】对于①，因为时，幂函数，所以其图象一定不通过第四象限，故正确；
对于②，当时，如时，在上不是增函数，故错误；
对于③，当时，如时，在其图象不关于直线对称，故错误；
对于④，当时，与联立解得，其图象交点为，
只有1个交点，故错误.
故选：B.
13. 在△中，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.
考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.
14. 已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断.
【详解】由图知，的定义域为，的定义域为，
令时，或，且，
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
因为为偶函数，为奇函数，所以，
则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
对于选项A，因为是奇函数，图象关于原点对称，故A错误；
对于选项B，因为是奇函数，图象关于原点对称，故B错误；
对于选项C，当时，，，所以，故C错误；
对于选项D，由图知，当时，，当时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确.
故选：D.
三、解答题（本大题共4题，满分44分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，，
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再由，得，从而可求出实数取值范围；
（2）由，列出关于的不等式，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
，
，
因为，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
因为，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围为
16. 已知.
（1）求：的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式可得结果.
（2）由差角公式、完全平方公式可得结果.
【小问1详解】
∴的值为.
【小问2详解】
∵
∴
又∵
∴
17. 某居民小区的自来水蓄水池足够大，现存有40吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入8吨水，同时蓄水池又向居民不间断地供水，小时的供水总量为吨.
（1）设蓄水池中的水量，当为何值，蓄水池中的水量最小，最小水量是多少？
（2）若蓄水池中水量少于10吨时，就会出现供水紧张现象，试问在24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象？
【答案】（1）当时，蓄水池中水量最小，最小水量为8吨；
（2）4小时.
【解析】
【分析】（1）由题意得到的解析式，然后可得答案；
（2）解出不等式可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，
所以当，即时，蓄水池中水量最小，为8吨.
【小问2详解】
由可得，
所以，即，；
则在24小时内，有4小时会出现供水紧张现象.
18. 已知关于的函数为上的偶函数，且在上的最大值为10.
（1）求函数的解析式.
（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数性质，结合二次函数求最值，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论的思想，可得答案；
（3）利用换元法整理不等式，根据基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
∵在为偶函数，∴，则可得，解得，
即，∵在上的最大值为10，即，∴，
∴.
【小问2详解】
不等式可化简为为在恒成立.
当时，不符合题意，则时，只需满足且即可，
即，解得
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
令，不等式可在上恒成立，
由，当且仅当，即时等号成立，
故.