北师大版（2024）2 用配方法求解一元二次方程优质课第二课时教学设计

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第2课时 用配方法求解复杂的一元二次方程
教学目标
1.通过学习用配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能；
2.通过学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重难点
重点：会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
难点：能在灵活运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程中，体会其中的化归思想.
教学过程
导入新课
1.试一试: 把下列各式配成完全平方式：
（1）x2- 12x+ ＝(x- )2 ；（2）x2+3x+ ＝(x+ )2；
（3）x2- bax+ ＝(x- )2 ；（4）x2- x+25＝(x- )2.
答案：(1）142，14；（2）322 ，32；（3）b2a2, b2a；(4)10,5
2.用配方法解方程:
(1)x2-2x＝8; (2)x2+6x+8＝0.
答案：(1) x1＝4，x2＝－2;(2) x1＝-2，x2＝－4.
探究新知
议一议：请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别？
①x2＋6x＋8＝0； ②3x2＋18x＋24＝0.
探讨方程②应如何去解呢？
两个方程之间的区别是方程②的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形
式，联系是当方程②两边同时除以3以后就得到方程①，这两个方程是同解方程.学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.
例1 解方程3x2＋8x－3＝0.
解：方程两边都除以3，得x2＋83x－1＝0，移项，得x2＋83x＝1，配方，得x2＋83x＋432＝1＋432，即x＋432＝259，所以x＋43＝±53，解得x1＝13，x2＝－3.
在使用配方法的过程中，若二次项的系数不为1时，首先需要将二次项系数化为1（即方程两边同除以a）,再根据配方法的步骤进行求解,让学生充分掌握用配方法解一元二次方程的基本思路.
问题解决：
幼儿园某矩形教室内铺地毯问题：幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解:设四周未铺地毯的条形区域的宽度都为x m,整理得方程4x2 -26x+22 ＝0 .方程两边都除以4，得x2-132x+112＝0，移项，得x2- 132x＝-112，配方，得x2-132x+1342＝-112+1342,即x−1342＝ 8116,所以x−134＝±94，x1＝112（大于5舍去），x2＝1.
注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.
配方法的应用：
例2.通过对实数的学习,我们知道x2≥0,根据完全平方公式: (a±b)2＝ a2± 2ab+b2,可知完全平方式的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以这样处理:
解:原式＝2(x2+4x)-3 ＝2(x2+2x·2+22-22)-3 ＝2(x+2)2-11.
∵ 2(x+2)2≥0, ∴ 2(x+2)2-11≥-11,
故当x＝-2时,2x2+8x-3的值最小,为-11.
请根据上面的解题思路,解答下列问题:
(1)求多项式3x2-6x+2的最小值是多少,并写出对应的x的值;
(2)求多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值.
解：(1)3x2-6x+2＝3(x2-2x)+2＝3(x2-2x+1-1)+2＝3(x-1)2-1,
∵ 无论x取什么数,(x-1)2≥0，∴ (x-1)2的最小值为0,此时x＝1,
∴ 3(x-1)2-1的最小值为-1,则当x＝1时,原多项式的最小值是-1.
(2)x2+2x+y2-4y+9＝x2+2x+1+y2-4y +4+4＝(x+1)2+(y-2)2+4,
∵ (x+1)2≥0，(y-2)2≥0,
∴ 当(x+1)2＝0,(y-2)2＝0时,多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值为4.
课堂练习
1.若方程4x2-(m-2)x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为( )
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
2.用配方法解方程3x2-6x+1＝0,则方程可变形为（ ）
A.(x-3)2＝13 B.3(x-1)2＝13 C.(3x-1)2＝1 D.(x-1)2＝23
3.下列配方法有错误的是（ ）
A.x2-4x-1＝0化为(x-2)2＝5 B.x2+6x+8＝0化为(x+3)2＝1
C.2x2-7x-6＝0化为x−742＝ 9716 D.3x2-4x+2＝0化为(3x+2)2＝2
4.若一元二次方程−x2+bx−5＝0配方后为(x−3)2＝k，则b,k的值分别是（ ）
A.6，4 B.6，5 C.-6,5 D.-6,4
5.用配方法解下列方程:
（1)3x2-6x+2＝0； (2)-x2+4x+12＝0.
参考答案
1.B 2.D 3.D 4.A
5.解：（1)3x2-6x+2＝0, 两边同除以3,得x2-2x+23＝0,移项,得x2-2x＝-23 ,配方,得x2-2x+12＝-23+12,即(x-1)2＝13，开平方,得x-1＝±33.即x1＝1+33, x2＝1-33.
(2)-x2+4x+12＝0两边同除以-1,得x2-4x-12＝0，移项,得x2-4x＝12，配方,得x2-4x+22＝12+22，即（x−2)2＝16，开平方,得x-2＝±4，即 x1＝6,x2＝-2.
课堂小结
1.配方法解一元二次方程：ax2+bx+c＝0(a≠1)
2.用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
系数化为1→移项→配方→开方→解
布置作业
课本习题2.4 知识技能 1 问题解决 2，3
板书设计
2 用配方法求解一元二次方程
第2课时 用配方法求解复杂的一元二次方程
1.配方法解一元二次方程：
ax2+bx+c＝0(a≠1)
2.用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
系数化为1→移项→配方→开方→解.