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北师大版（2024）九年级上册2 视图精品复习练习题
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这是一份北师大版（2024）九年级上册2 视图精品复习练习题，文件包含专题19视图5个知识点2种题型2种中考考法原卷版docx、专题19视图5个知识点2种题型2种中考考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.视图和三种视图的有关概念（重点）
知识点2.圆柱、圆锥、球、三棱柱的三种视图（重点）
知识点3.三种视图的画法的基本规则（重点）（难点）
知识点4.由三种视图确定几何体的形状（难点）
知识点5.由俯视图画主视图、左视图（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.推断几何体中小正方体的个数
题型2.与三种视图相关的计算
【方法三】 仿真实战法
考法1.几何体的三种视图的画法
考法2.由三种视图描述几何体
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
了解视图及三种视图的概念。
会画圆柱、圆锥、球、直棱柱及其简单组合体的三种视图，能判断简单物体的视图。
会根据视图描述简单的几何体，知道三种视图在现实生活中的应用。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.视图和三种视图的有关概念（重点）
视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
（3）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，
如图(1)所示.
（4）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
注意：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
【例1】（2023•镇海区一模）如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：这个几何体的左视图如下：
故选：B．
【变式】（2022秋•鄄城县期末）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
知识点2.圆柱、圆锥、球、三棱柱的三种视图（重点）
【例2】（2023•嘉鱼县模拟）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：选项A的俯视图是三角形（三角形内部有一段与三个顶点相连），选项B、C、D的俯视图均为圆．
故选：A．
【变式1】（2023•城区二模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．长方体B．正方体
C．三棱柱D．圆柱
【答案】B
【解答】解：长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，但大小不一样，
因此选项A不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，
因此选项B符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，
因此选项C不符合题意；
圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，
因此选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】（2023•淮安区一模）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A．长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；
C．圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D．三棱柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意；
故选：B．
知识点3.三种视图的画法的基本规则（重点）（难点）
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
注意：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
【例3】（2023•滕州市校级开学）一个由8个小立方块组成的立体图形如图所示，分别画出从它的正面、左面和上面看到的图形．
【解答】解：如图：
．
【变式1】（2023•光泽县校级开学）下列立体图形从上面、正面和左面看到的形状分别是什么？画一画．
【解答】解：
【变式2】（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
知识点4.由三种视图确定几何体的形状（难点）
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
【例4】（2023•揭阳开学）用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是，从右面看到的图形是，这个立体图形的形状是下面的图（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵从上面和正面看到的图形都是，
∴B和C不符合题意，
∵从右面看到的图形是，
∴这个立体图形的形状是．
故选：D．
【变式1】（2022秋•金凤区校级期末）一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，这个几何体是由（ ）个小立方块搭成的．
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解答】解：由俯视图易得最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有2个小立方块，那么共有4+2＝6个小立方块．
故选：A．
【变式2】（2023•黄冈三模）如图的三视图对应的物体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
知识点5.由俯视图画主视图、左视图（难点）
【例5】（2023·四川·九年级专题练习）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．
【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．
【变式1】（2023·河北唐山·模拟预测）如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体中的数字表示在该位置上小立体个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为主视图中该列小正方形数字中的最大数字，据此判断即可．
【详解】由俯视图 ，可知主视图有2列，且第一列有3行，第二列有2行，
故 ，满足要求，
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的三视图．理解俯视图、主视图的关系是解答本题的关键，
【变式2】（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，然后结合图形作出左视图即可．
【详解】解：从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，
该几何体的左视图是：
故选：D．
【点睛】题目主要考查几何体的俯视图及左视图，熟练掌握三视图的作法是解题关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ．
【答案】甲和乙
【分析】根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案．
【详解】解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1．
∴左视图相同的是：甲和乙．
故答案为：甲和乙．
【点睛】本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
【变式4】（2023春·九年级单元测试）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ．
【答案】4
【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；
【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图，
所以这个几何体的左视图的面积为4．
故答案为4
【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图．
【变式5】（2022春·九年级课时练习）如图是由小正方体搭成的一个几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．
【详解】如图所示：
．
【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
【变式6】（2022春·九年级课时练习）由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的从上面看如下图，格中的数字表示该位置的小立方块的个数．
(1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体的从正面和左面看到的图形．
(2)根据以上图形；这个组合几何体的表面积为_________个平方单位．（包括底面积）
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）从正面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；
（2）上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而可得出表面积．
【详解】（1）解：从正面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1，
图形分别如下：
（2）．
∴这个组合几何体的表面积为个平方单位．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图及几何体的表面积的计算，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，在计算表面积时容易出错，要一个面一个面的进行查找，避免遗漏．
【方法二】实例探索法
题型1.推断几何体中小正方体的个数
一、单选题
1．（2023·全国·九年级专题练习）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案．
【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，
下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小正方体的个数最多是7个，
故选:B．
【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图是解题的关键．
2．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，根据三视图，它是由（ ）个正方体组合而成的几何体
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】在俯视图中，标出小正方形的个数，可得结论．
【详解】解：由俯视图可知，小正方形的个数=2+1+1=4个．
故选：B．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握三视图的定义．
3．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】根据题意，观察图形，从三视图可知底层有6个小正方体；从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，问题随之得解．
【详解】从三视图可知底层有6个小正方体，
从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；
从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；
即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，
∴第二层有2个小方块，
那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（块）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了物体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
4．（2023春·辽宁铁岭·九年级统考开学考试）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
二、填空题
5．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
【答案】9
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得：
底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+1=9，
故答案为：9.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
6．（2023春·湖南永州·九年级校考阶段练习）在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，从三个不同方向看到这堆货箱的形状图如图所示，则这堆货箱的个数是 ．
【答案】5
【分析】根据三视图确定这堆货箱的层数及每层的个数即可得到答案.
【详解】由三视图得：这堆货箱共2层，最底层有4个，最上层有1个，共有5个，
故答案为：5.
【点睛】此题考查几何体的三视图，此类题要求学生有一定的空间想象能力.
三、解答题
7．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示．
（1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形
（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）16
【分析】（1）从左面看共4列，从左向右依次为5,5,3,2个小正方形，从上面看共6列，从左向右依次为4,4,4,3,2,1个小正方形；
（2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此即可求解.
【详解】（1）如图：
（2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16，
故答案为：16.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关键.
8．（2018秋·九年级单元测试）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色不含底面
该几何体中有多少小正方体？
画出主视图．
求出涂上颜色部分的总面积．
【答案】（1）14个；（2）见解析；（3）33cm2
【详解】试题分析：（1）该几何体中正方体的个数为最底层的9个，加上第二层的4个，再加上第三层的1个；
（2）主视图从上往下三行正方形的个数依次为1，2，3；
（3）涂上颜色部分的总面积可分上面，前面，后面，左面，右面，相加即可．
试题解析：（1）该几何体中正方体的个数为9+4+1=14个；
（2）；
（3）先算侧面﹣﹣底层12个小面 中层8个 上层4个再算上面﹣﹣上层1个 中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，也就是一个，所以中层是4减1个）底层（9﹣4）=5个总共33个小面．
点睛：此题主要考查几何体三视图的画法及有关计算；有规律的找到正方体的个数和计算露出部分的总面积是解决本题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）用小立方体搭一个几何体，是它的主视图和俯视图如图．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：由主视图可知，它自下而上共有3行，第一行3块，第二行2块，第三行1块，
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一、二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可，
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有5块，第二列有4块，第三列有1块，共10块．最多时第一列中有9块，第二列有6块，第三列有1块，共16块.
故答案为这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
题型2.与三种视图相关的计算
1．（2022春·九年级单元测试）如图所示的分别是从三个方向看某几何体得到的图形．
(1)判断这个几何体的形状；
(2)根据图中数据（单位：），求它的表面积（结果保留）．
【答案】(1)圆柱体
(2)
【分析】（1）根据圆柱体三视图的特征直接判断即可；
（2）从题中读出该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，由此计算表面积即可．
【详解】（1）解：由主视图和左视图可知，该图形只有一个面，且为柱状体，由俯视图可知该图形为圆柱体；
（2）解：由题意，该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，
∴侧面积=，底面积=，
∴表面积．
【点睛】本题考查圆柱体的三视图识别，以及表面积计算，计算表面积时要注意上下两个底面，不要漏算是解题关键．
2．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．
【答案】
【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，
∵底面直径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即这条线路的最短路径为．
【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位：）
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高；
（2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，
因此，，
故答案为：，；
（2）解： ，
即这个几何体的侧面积为．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状．
4．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积．
（2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯．
【答案】（1）65π；（2）a2+a
【分析】（1）根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积；
（2）根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而求得俯视图的面积．
【详解】（1）由三视图可知，原几何体为圆锥，
S侧＝πr•l＝π×5×13＝65π．
答：这个几何体的侧面积是65π．
（2）∵S主＝a2，S左＝a2+a=a（a+1），
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴S俯＝a（a+1）=a2+a．
【点睛】本题考查了三视图，关键会由三视图还原几何体．
5．（2022秋·九年级单元测试）下图是一个立体图形的二视图，根据图示的数据求出这个立体图形的体积
【答案】
【分析】根据二视图可得该立体图形为圆锥，再根据圆锥的体积公式计算即可．
【详解】解：二视图可得该立体图形为圆锥，圆锥的底面直径为，高为，
体积为：．
【点睛】由二视图确定立体图形的形状和相关数据是解题的关键，本题体现了数形结合的思想．
6．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）某工件的三视图如图所示，求此工件的全面积．
【答案】工件的全面积为．
【分析】由三视图可知，该工件为底面半径为10cm，高为30cm的圆锥体，然后由勾股定理得到该圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积和圆锥的底面积相加为圆锥的全面积．
【详解】解：由三视图可知，该工件为底面半径为，高为的圆锥体，
这圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，
圆锥的底面积为，
此工件的全面积为．
【点睛】本题主要考查几何物体三视图及圆锥的侧面积求法．三视图判断几何体的形状是难点，这就要求掌握几种常见几何体的三视图，并建立三视图与实物的对应关系．
7．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）（1）解方程：；
（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
【答案】（1）或，（2）60
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】（1），
，
，
或
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，
∴几何体的体积是60．
【点睛】考查解一元二次方程，几何体的三视图，掌握一元二次方程的解法，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．
8．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，．
(1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________．
(2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________．
(3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________．
(4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据左视图和主视图高平齐，即可求得左视图的周长
（2）由主视图可知，左视图可知，交于O，可知，进而可求得
（3）在中可求得的长
（4）由于，，即可得四边形面积为：
【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐，
∴左视图的周长为：，
故答案为：
（2）∵由主视图可知，左视图可知，设交于O，可知，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：
（3）由（2）可知：，
故答案为：
（4）由（2）可知：，
故答案为：
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体三种视图的特征，掌握三视图的特点是解决问题的关键
【方法三】 仿真实战法
考法1.几何体的三种视图的画法
1.（2023•内蒙古）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：从正方体搭成的几何体左侧观察得到的平面图形即是左视图．
只有B选项符合条件．
故选：B．
2.（2023•青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D
3.（2023•青海）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
C．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，
所以该几何体的主视图是
故选：D．
【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．
考法2.由三种视图描述几何体
5.（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，
由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，
由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，
综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，
所以选项C中的组合体符合题意，
故选：C．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，看的图形为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图，是解题的关键．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
3．（2023·海南·统考中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
4．（2023春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有1个正方形，第二层有1个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）图是由个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据其主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定每列每层上小正方体的个数，由此即可解答本题．
【详解】解：根据主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定第一层有2个，第二层有1个，共计有3个小正方体，
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，仔细观察己知信息，综合利用三视图的信息是解题的关键．
6．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．
【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．
7．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）下图是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图，它共用多少个小正方块摆成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由正视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成，
故选：．
【点睛】此题考查了三视图，解题的关键是对三视图掌握程度和灵活运用能力，对空间想象能力得培养．
8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
9．（2023·全国·九年级专题练习）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18B．19C．20D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【详解】解：∵由主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，
∴n的最大值为6+6+9=21.
故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
10．（2023春·九年级单元测试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ）
A．4个或5个B．5个或6个C．6个或7个D．7个或8个
【答案】B
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．
故选：B．
【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
二、填空题
11．（2023·浙江·一模）某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于 ．
【答案】
【分析】首先求出圆柱底面圆的半径，然后利用圆柱的侧面积公式求解即可．
【详解】∵，
∴圆柱底面圆的半径为2，
∴该圆柱体的侧面积等于．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式．
12．（2022春·九年级单元测试）如图由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是，则该几何体从上面和左面看到的图形面积分别是 ， ．
【答案】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看的到的视图是俯视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，
俯视图的面积为，左视图的面积为，
故答案为：，．
【点睛】考查简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前往后观察物体得到的图形；俯视图是在水平面上从上向下观察物体得到的图形，左视图是在几何体左侧观察物体得到的图形.
13．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）如图所示是某工件的三视图，此工件是 形，它的体积是 ．（结果保留）
【答案】 圆锥 /立方厘米
【分析】由三视图可知，该几何体为圆锥，根据，计算求解即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
圆锥地面的直径为，圆锥的高为，
∴，
故答案为：圆锥，．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，圆锥的体积．解题的关键在于识别几何体的形状．
14．（2022春·九年级单元测试）如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．
【答案】主
【分析】分别画出几何体的三视图，然后比较，哪个的面最少则面积最小．
【详解】解：如图一、二、三，分别是几何体的主视图、左视图和俯视图，
主视图有3个正方形组成，左视图、俯视图都有4个正方形组成；
因为几何体是由一些相同的小立方体搭成的，
所以面积最小的是主视图．
故答案为：主．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，考查了学生的空间想象能力．
15．（2023·广东广州·统考二模）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是 ．
【答案】三棱柱
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱，
故答案为：三棱柱．
【点睛】本题考查了由三视图还原几何体．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
16．（2022春·九年级单元测试）如图是一个上下底密封纸盒（底面为正六边形）的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 ．（结果可保留根号）
【答案】/
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．
【详解】解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
其高为，底面边长为，
其侧面积为，
密封纸盒的底面积为：，
这个密封纸盒的表面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
17．（2023·江苏无锡·统考二模）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和4，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为 ．
【答案】
【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积即可．
【详解】解：由三视图知几何体为圆柱，
且底面圆的半径是1，高是4，
∴这个几何体的体积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由三视图求体积，掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征是关键．
18．（2022春·九年级单元测试）已知一个由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则该几何体最多可以有 个小正方体．
【答案】7
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
【详解】解：由俯视图可得最底层有4个正方体，由主视图第二层最多有3个正方体，那么最少有个立方体．
故答案是：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最多个数．
三、解答题
19．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）诚诚和同学们研究几何体的视图问题．
(1)图1中的几何体是由若干个相同的小立方体搭成的，请画出该几何体的主视图；
(2)图2是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，请画出这个几何体的左视图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据主视图的定义画出图形即可．
（2）根据左视图的定义画出图形即可．
【详解】（1）解：主视图如图所示：
（2）解：左视图如图所示，
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
20．（2021秋·福建漳州·九年级统考期中）如图所示为一几何体的三视图：
(1)这个几何体是 ；
(2)若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)三棱柱
(2)
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱；
（2）侧面积：．
【点睛】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．
21．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）值日生小王准备制作一些无盖纸盒，收纳班级讲台上的粉笔．
(1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．
(2)小王把折叠成的6个相同的正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①在图3网格内画出图2的左视图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加多少个正方体纸盆？
【答案】(1)①③④
(2)①见解析；②3个
【分析】（1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解；
（2）①从左面看，一共有二层，第一层有两个，第二层左边有一个，据此画出左视图即可
②根据题意，在第二层最多可以添加3个正方体纸盒
【详解】（1）解：①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④
（2）①图2的左视图如下图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以在第二层再添加3个正方体．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，画三视图，掌握正方体的表面展开图的模型以及三视图的画法是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．
22．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【答案】(1)见解析
(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，
（2）（平方米）
（元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)
（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ．
（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？
【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克．
【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得；
（2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得；
（3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得．
【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，
搭建第②个几何体的小立方体的个数为，
搭建第③个几何体的小立方体的个数为，
归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为，
故答案为：30；
（2）第②个几何体的三视图如下：
由题意，每个小正方形的面积为，
则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；
第③个几何体的三视图如下：
则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；
（3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为，
则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为，
因此，共需要油漆的克数为（克），
答：共需要992克油漆．
【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键．
24．（2022秋·九年级单元测试）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，
∴，即，
解得或（舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，
∴图1中一共包含个长方体，
故答案为：；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
25．（2021·浙江·九年级专题练习）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?
【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米.
【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；
（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，
故答案为：2
II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，
故答案为：2
III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可.
【详解】(1)画图
(2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；
Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；
2个小正方体;
Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为平方厘米；
若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为平方厘米；
综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.
26．（2023春·九年级单元测试）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．
（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；
（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
【答案】（1）画图见解析；（2）3．
【分析】（1）从正面看，有列，从左往右的正方体的个数分别为 从而可画出主视图，从左边看，有列，从左往右的正方体的个数分别为从而可画出左视图；
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，从而可得答案．
【详解】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示：
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，
由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，
所以添加的正方体应按如下图的方式添加，
所以最多可以再添加个小正方体．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握作简单组合体的三视图是解题的关键．
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.视图和三种视图的有关概念（重点）
知识点2.圆柱、圆锥、球、三棱柱的三种视图（重点）
知识点3.三种视图的画法的基本规则（重点）（难点）
知识点4.由三种视图确定几何体的形状（难点）
知识点5.由俯视图画主视图、左视图（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.推断几何体中小正方体的个数
题型2.与三种视图相关的计算
【方法三】 仿真实战法
考法1.几何体的三种视图的画法
考法2.由三种视图描述几何体
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
了解视图及三种视图的概念。
会画圆柱、圆锥、球、直棱柱及其简单组合体的三种视图，能判断简单物体的视图。
会根据视图描述简单的几何体，知道三种视图在现实生活中的应用。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.视图和三种视图的有关概念（重点）
视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
（3）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，
如图(1)所示.
（4）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
注意：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
【例1】（2023•镇海区一模）如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：这个几何体的左视图如下：
故选：B．
【变式】（2022秋•鄄城县期末）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
知识点2.圆柱、圆锥、球、三棱柱的三种视图（重点）
【例2】（2023•嘉鱼县模拟）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：选项A的俯视图是三角形（三角形内部有一段与三个顶点相连），选项B、C、D的俯视图均为圆．
故选：A．
【变式1】（2023•城区二模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．长方体B．正方体
C．三棱柱D．圆柱
【答案】B
【解答】解：长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，但大小不一样，
因此选项A不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，
因此选项B符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，
因此选项C不符合题意；
圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，
因此选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】（2023•淮安区一模）下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A．长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；
C．圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D．三棱柱的主视图是长方形，因此选项D不符合题意；
故选：B．
知识点3.三种视图的画法的基本规则（重点）（难点）
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
注意：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
【例3】（2023•滕州市校级开学）一个由8个小立方块组成的立体图形如图所示，分别画出从它的正面、左面和上面看到的图形．
【解答】解：如图：
．
【变式1】（2023•光泽县校级开学）下列立体图形从上面、正面和左面看到的形状分别是什么？画一画．
【解答】解：
【变式2】（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
知识点4.由三种视图确定几何体的形状（难点）
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
【例4】（2023•揭阳开学）用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是，从右面看到的图形是，这个立体图形的形状是下面的图（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵从上面和正面看到的图形都是，
∴B和C不符合题意，
∵从右面看到的图形是，
∴这个立体图形的形状是．
故选：D．
【变式1】（2022秋•金凤区校级期末）一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，这个几何体是由（ ）个小立方块搭成的．
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解答】解：由俯视图易得最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有2个小立方块，那么共有4+2＝6个小立方块．
故选：A．
【变式2】（2023•黄冈三模）如图的三视图对应的物体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
知识点5.由俯视图画主视图、左视图（难点）
【例5】（2023·四川·九年级专题练习）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．
【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．
【变式1】（2023·河北唐山·模拟预测）如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体中的数字表示在该位置上小立体个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为主视图中该列小正方形数字中的最大数字，据此判断即可．
【详解】由俯视图 ，可知主视图有2列，且第一列有3行，第二列有2行，
故 ，满足要求，
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的三视图．理解俯视图、主视图的关系是解答本题的关键，
【变式2】（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，然后结合图形作出左视图即可．
【详解】解：从该几何体的俯视图中得到：该几何体有两层，两列组成，
该几何体的左视图是：
故选：D．
【点睛】题目主要考查几何体的俯视图及左视图，熟练掌握三视图的作法是解题关键．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ．
【答案】甲和乙
【分析】根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案．
【详解】解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1．
∴左视图相同的是：甲和乙．
故答案为：甲和乙．
【点睛】本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
【变式4】（2023春·九年级单元测试）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ．
【答案】4
【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；
【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图，
所以这个几何体的左视图的面积为4．
故答案为4
【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图．
【变式5】（2022春·九年级课时练习）如图是由小正方体搭成的一个几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．
【详解】如图所示：
．
【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
【变式6】（2022春·九年级课时练习）由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的从上面看如下图，格中的数字表示该位置的小立方块的个数．
(1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体的从正面和左面看到的图形．
(2)根据以上图形；这个组合几何体的表面积为_________个平方单位．（包括底面积）
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）从正面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；
（2）上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而可得出表面积．
【详解】（1）解：从正面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1，
图形分别如下：
（2）．
∴这个组合几何体的表面积为个平方单位．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图及几何体的表面积的计算，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，在计算表面积时容易出错，要一个面一个面的进行查找，避免遗漏．
【方法二】实例探索法
题型1.推断几何体中小正方体的个数
一、单选题
1．（2023·全国·九年级专题练习）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案．
【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，
下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小正方体的个数最多是7个，
故选:B．
【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图是解题的关键．
2．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，根据三视图，它是由（ ）个正方体组合而成的几何体
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】在俯视图中，标出小正方形的个数，可得结论．
【详解】解：由俯视图可知，小正方形的个数=2+1+1=4个．
故选：B．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握三视图的定义．
3．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】根据题意，观察图形，从三视图可知底层有6个小正方体；从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，问题随之得解．
【详解】从三视图可知底层有6个小正方体，
从主视图看有两层，结合俯视图，可知在第2、3列有两层（从左往右观察）；
从左视图看有两层，结合俯视图，可知在第2行有两层（从左往右观察）；
即在第二层的第2行的第2、3列有小方块，
∴第二层有2个小方块，
那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（块）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了物体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
4．（2023春·辽宁铁岭·九年级统考开学考试）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
二、填空题
5．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
【答案】9
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得：
底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+1=9，
故答案为：9.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
6．（2023春·湖南永州·九年级校考阶段练习）在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，从三个不同方向看到这堆货箱的形状图如图所示，则这堆货箱的个数是 ．
【答案】5
【分析】根据三视图确定这堆货箱的层数及每层的个数即可得到答案.
【详解】由三视图得：这堆货箱共2层，最底层有4个，最上层有1个，共有5个，
故答案为：5.
【点睛】此题考查几何体的三视图，此类题要求学生有一定的空间想象能力.
三、解答题
7．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示．
（1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形
（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）16
【分析】（1）从左面看共4列，从左向右依次为5,5,3,2个小正方形，从上面看共6列，从左向右依次为4,4,4,3,2,1个小正方形；
（2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此即可求解.
【详解】（1）如图：
（2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16，
故答案为：16.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关键.
8．（2018秋·九年级单元测试）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色不含底面
该几何体中有多少小正方体？
画出主视图．
求出涂上颜色部分的总面积．
【答案】（1）14个；（2）见解析；（3）33cm2
【详解】试题分析：（1）该几何体中正方体的个数为最底层的9个，加上第二层的4个，再加上第三层的1个；
（2）主视图从上往下三行正方形的个数依次为1，2，3；
（3）涂上颜色部分的总面积可分上面，前面，后面，左面，右面，相加即可．
试题解析：（1）该几何体中正方体的个数为9+4+1=14个；
（2）；
（3）先算侧面﹣﹣底层12个小面 中层8个 上层4个再算上面﹣﹣上层1个 中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，也就是一个，所以中层是4减1个）底层（9﹣4）=5个总共33个小面．
点睛：此题主要考查几何体三视图的画法及有关计算；有规律的找到正方体的个数和计算露出部分的总面积是解决本题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）用小立方体搭一个几何体，是它的主视图和俯视图如图．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：由主视图可知，它自下而上共有3行，第一行3块，第二行2块，第三行1块，
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一、二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可，
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有5块，第二列有4块，第三列有1块，共10块．最多时第一列中有9块，第二列有6块，第三列有1块，共16块.
故答案为这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
题型2.与三种视图相关的计算
1．（2022春·九年级单元测试）如图所示的分别是从三个方向看某几何体得到的图形．
(1)判断这个几何体的形状；
(2)根据图中数据（单位：），求它的表面积（结果保留）．
【答案】(1)圆柱体
(2)
【分析】（1）根据圆柱体三视图的特征直接判断即可；
（2）从题中读出该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，由此计算表面积即可．
【详解】（1）解：由主视图和左视图可知，该图形只有一个面，且为柱状体，由俯视图可知该图形为圆柱体；
（2）解：由题意，该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，
∴侧面积=，底面积=，
∴表面积．
【点睛】本题考查圆柱体的三视图识别，以及表面积计算，计算表面积时要注意上下两个底面，不要漏算是解题关键．
2．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．
【答案】
【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，
∵底面直径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即这条线路的最短路径为．
【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位：）
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高；
（2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，
因此，，
故答案为：，；
（2）解： ，
即这个几何体的侧面积为．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状．
4．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积．
（2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯．
【答案】（1）65π；（2）a2+a
【分析】（1）根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积；
（2）根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而求得俯视图的面积．
【详解】（1）由三视图可知，原几何体为圆锥，
S侧＝πr•l＝π×5×13＝65π．
答：这个几何体的侧面积是65π．
（2）∵S主＝a2，S左＝a2+a=a（a+1），
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴S俯＝a（a+1）=a2+a．
【点睛】本题考查了三视图，关键会由三视图还原几何体．
5．（2022秋·九年级单元测试）下图是一个立体图形的二视图，根据图示的数据求出这个立体图形的体积
【答案】
【分析】根据二视图可得该立体图形为圆锥，再根据圆锥的体积公式计算即可．
【详解】解：二视图可得该立体图形为圆锥，圆锥的底面直径为，高为，
体积为：．
【点睛】由二视图确定立体图形的形状和相关数据是解题的关键，本题体现了数形结合的思想．
6．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）某工件的三视图如图所示，求此工件的全面积．
【答案】工件的全面积为．
【分析】由三视图可知，该工件为底面半径为10cm，高为30cm的圆锥体，然后由勾股定理得到该圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积和圆锥的底面积相加为圆锥的全面积．
【详解】解：由三视图可知，该工件为底面半径为，高为的圆锥体，
这圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，
圆锥的底面积为，
此工件的全面积为．
【点睛】本题主要考查几何物体三视图及圆锥的侧面积求法．三视图判断几何体的形状是难点，这就要求掌握几种常见几何体的三视图，并建立三视图与实物的对应关系．
7．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）（1）解方程：；
（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
【答案】（1）或，（2）60
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】（1），
，
，
或
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，
∴几何体的体积是60．
【点睛】考查解一元二次方程，几何体的三视图，掌握一元二次方程的解法，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．
8．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，．
(1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________．
(2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________．
(3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________．
(4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据左视图和主视图高平齐，即可求得左视图的周长
（2）由主视图可知，左视图可知，交于O，可知，进而可求得
（3）在中可求得的长
（4）由于，，即可得四边形面积为：
【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐，
∴左视图的周长为：，
故答案为：
（2）∵由主视图可知，左视图可知，设交于O，可知，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：
（3）由（2）可知：，
故答案为：
（4）由（2）可知：，
故答案为：
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体三种视图的特征，掌握三视图的特点是解决问题的关键
【方法三】 仿真实战法
考法1.几何体的三种视图的画法
1.（2023•内蒙古）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：从正方体搭成的几何体左侧观察得到的平面图形即是左视图．
只有B选项符合条件．
故选：B．
2.（2023•青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D
3.（2023•青海）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
C．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，
所以该几何体的主视图是
故选：D．
【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．
考法2.由三种视图描述几何体
5.（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，
由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，
由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，
综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，
所以选项C中的组合体符合题意，
故选：C．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，看的图形为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图，是解题的关键．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
3．（2023·海南·统考中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
4．（2023春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有1个正方形，第二层有1个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）图是由个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据其主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定每列每层上小正方体的个数，由此即可解答本题．
【详解】解：根据主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定第一层有2个，第二层有1个，共计有3个小正方体，
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，仔细观察己知信息，综合利用三视图的信息是解题的关键．
6．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．
【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．
7．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）下图是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图，它共用多少个小正方块摆成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由正视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成，
故选：．
【点睛】此题考查了三视图，解题的关键是对三视图掌握程度和灵活运用能力，对空间想象能力得培养．
8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
9．（2023·全国·九年级专题练习）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18B．19C．20D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【详解】解：∵由主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，
∴n的最大值为6+6+9=21.
故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
10．（2023春·九年级单元测试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ）
A．4个或5个B．5个或6个C．6个或7个D．7个或8个
【答案】B
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．
故选：B．
【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
二、填空题
11．（2023·浙江·一模）某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于 ．
【答案】
【分析】首先求出圆柱底面圆的半径，然后利用圆柱的侧面积公式求解即可．
【详解】∵，
∴圆柱底面圆的半径为2，
∴该圆柱体的侧面积等于．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式．
12．（2022春·九年级单元测试）如图由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是，则该几何体从上面和左面看到的图形面积分别是 ， ．
【答案】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看的到的视图是俯视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，
俯视图的面积为，左视图的面积为，
故答案为：，．
【点睛】考查简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前往后观察物体得到的图形；俯视图是在水平面上从上向下观察物体得到的图形，左视图是在几何体左侧观察物体得到的图形.
13．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）如图所示是某工件的三视图，此工件是 形，它的体积是 ．（结果保留）
【答案】 圆锥 /立方厘米
【分析】由三视图可知，该几何体为圆锥，根据，计算求解即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
圆锥地面的直径为，圆锥的高为，
∴，
故答案为：圆锥，．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，圆锥的体积．解题的关键在于识别几何体的形状．
14．（2022春·九年级单元测试）如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．
【答案】主
【分析】分别画出几何体的三视图，然后比较，哪个的面最少则面积最小．
【详解】解：如图一、二、三，分别是几何体的主视图、左视图和俯视图，
主视图有3个正方形组成，左视图、俯视图都有4个正方形组成；
因为几何体是由一些相同的小立方体搭成的，
所以面积最小的是主视图．
故答案为：主．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，考查了学生的空间想象能力．
15．（2023·广东广州·统考二模）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是 ．
【答案】三棱柱
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱，
故答案为：三棱柱．
【点睛】本题考查了由三视图还原几何体．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
16．（2022春·九年级单元测试）如图是一个上下底密封纸盒（底面为正六边形）的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 ．（结果可保留根号）
【答案】/
【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．
【详解】解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
其高为，底面边长为，
其侧面积为，
密封纸盒的底面积为：，
这个密封纸盒的表面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
17．（2023·江苏无锡·统考二模）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和4，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为 ．
【答案】
【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积即可．
【详解】解：由三视图知几何体为圆柱，
且底面圆的半径是1，高是4，
∴这个几何体的体积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由三视图求体积，掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征是关键．
18．（2022春·九年级单元测试）已知一个由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则该几何体最多可以有 个小正方体．
【答案】7
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
【详解】解：由俯视图可得最底层有4个正方体，由主视图第二层最多有3个正方体，那么最少有个立方体．
故答案是：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最多个数．
三、解答题
19．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）诚诚和同学们研究几何体的视图问题．
(1)图1中的几何体是由若干个相同的小立方体搭成的，请画出该几何体的主视图；
(2)图2是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，请画出这个几何体的左视图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据主视图的定义画出图形即可．
（2）根据左视图的定义画出图形即可．
【详解】（1）解：主视图如图所示：
（2）解：左视图如图所示，
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
20．（2021秋·福建漳州·九年级统考期中）如图所示为一几何体的三视图：
(1)这个几何体是 ；
(2)若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1)三棱柱
(2)
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱；
（2）侧面积：．
【点睛】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．
21．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）值日生小王准备制作一些无盖纸盒，收纳班级讲台上的粉笔．
(1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．
(2)小王把折叠成的6个相同的正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①在图3网格内画出图2的左视图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加多少个正方体纸盆？
【答案】(1)①③④
(2)①见解析；②3个
【分析】（1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解；
（2）①从左面看，一共有二层，第一层有两个，第二层左边有一个，据此画出左视图即可
②根据题意，在第二层最多可以添加3个正方体纸盒
【详解】（1）解：①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④
（2）①图2的左视图如下图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以在第二层再添加3个正方体．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，画三视图，掌握正方体的表面展开图的模型以及三视图的画法是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．
22．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【答案】(1)见解析
(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，
（2）（平方米）
（元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)
（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ．
（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．
（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？
【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克．
【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得；
（2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得；
（3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得．
【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，
搭建第②个几何体的小立方体的个数为，
搭建第③个几何体的小立方体的个数为，
归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为，
故答案为：30；
（2）第②个几何体的三视图如下：
由题意，每个小正方形的面积为，
则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；
第③个几何体的三视图如下：
则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；
（3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为，
则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为，
因此，共需要油漆的克数为（克），
答：共需要992克油漆．
【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键．
24．（2022秋·九年级单元测试）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，
∴，即，
解得或（舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，
∴图1中一共包含个长方体，
故答案为：；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
25．（2021·浙江·九年级专题练习）在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?
【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米.
【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；
（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，
故答案为：2
II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，
故答案为：2
III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可.
【详解】(1)画图
(2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；
Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；
2个小正方体;
Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为平方厘米；
若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为平方厘米；
综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.
26．（2023春·九年级单元测试）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．
（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；
（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
【答案】（1）画图见解析；（2）3．
【分析】（1）从正面看，有列，从左往右的正方体的个数分别为 从而可画出主视图，从左边看，有列，从左往右的正方体的个数分别为从而可画出左视图；
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，从而可得答案．
【详解】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示：
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，
由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，
所以添加的正方体应按如下图的方式添加，
所以最多可以再添加个小正方体．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握作简单组合体的三视图是解题的关键．
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