高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系导学案，共18页。

从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等．
问题 你知道竹竿有多长吗？
知识点1 一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．
1．方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？
[提示] 不一定，a≠0时为一元二次方程，a＝0，b≠0时为一元一次方程．
知识点2 一元二次方程的解法
知识点3 一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac．当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
知识点4 一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca．
重要推论
(1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．
(2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0．
2．利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
[提示] 先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用公式法解一元二次方程3x2＝－2x＋3时，
a＝3，b＝－2，c＝3，再代入公式即可．( )
(2)方程x2－2＝0的解是x＝2．( )
(3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为标准形式，再求a，b，c的值．
(2)方程x2－2＝0的解是x＝±2．
(3)当a＝0时，方程不满足条件．
2．解一元二次方程x(x－2)＝x－2时，小明得出方程的根是x＝1，则被小明漏掉的一个根是x＝________．
2 [方程整理为x(x－2)－(x－2)＝0，因式分解得(x－2)(x－1)＝0，所以x－2＝0或x－1＝0，解得x1＝2，x2＝1，所以被小明漏掉的一个根是x＝2．]
3．若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________．
3，10 [由一元二次方程根与系数的关系，可得2+-5=-b，2×-5=-c，解得b=3，c=10．]
类型1 一元二次方程的解法
用配方法解一元二次方程
【例1】 利用配方法解方程4x2＋8x＋1＝0．
[解] 移项，得4x2＋8x＝－1．
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－14，
配方，得x2＋2x＋12＝12－14，
即(x＋1)2＝34，
∴x＋1＝±32，
∴x1＝－1＋32，x2＝－1－32，
∴原一元二次方程的解集是-1+32，-1-32．
用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项：把常数项移到方程的右边．
(2)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数．
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式．
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是降次，得到一元一次方程．
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
[跟进训练]
1．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝23x；
(2)2x2－5x＋2＝0．
[解] (1)移项，得x2－23x＝－3．
配方，得x2－23x＋(3)2＝－3＋(3)2，
即(x－3)2＝0．∴x1＝x2＝3，
∴原一元二次方程的解集是{3}．
(2)移项，得2x2－5x＝－2．
二次项系数化为1，得x2－52x＝－1．
配方，得x2－52x＋542＝－1＋542．
∴x-542＝916．∴x－54＝±34．
∴x1＝3+54＝2，x2＝-3+54＝12，
∴原一元二次方程的解集是2，12．
用公式法和因式分解法解一元二次方程
【例2】 求下列方程的解集．
(1)5x2－3x＝x＋1；
(2)2x2＋5x＝－2．
[解] (1)原方程可化为5x2－4x－1＝0，
所以a＝5，b＝－4，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0，
所以方程有两个不相等的实根，
x＝-b±b2-4ac2a＝--4±362×5＝4±610，
即x1＝1，x2＝－15．
所以原一元二次方程的解集为-15，1．
(2)整理得2x2＋5x＋2＝0，
因式分解得(2x＋1)(x＋2)＝0，
可得2x＋1＝0或x＋2＝0，
解得x1＝－12，x2＝－2，
所以方程的解集为-12，-2．
用公式法解一元二次方程的步骤
(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值．
(2)求出b2－4ac的值．
(3)若b2－4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2－4ac<0，则方程无实根．
[跟进训练]
2．求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝22x；
(2)3x2＋2x－5＝0．
[解] (1)将方程化为一般形式为x2－22x＋3＝0．∵a＝1，b＝－22，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－22)2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是∅．
(2)将方程因式分解得(3x＋5)(x－1)＝0，
∴3x＋5＝0或x－1＝0，解得x1＝－53，x2＝1，
∴方程的解集为-53，1．
类型2 一元二次方程的根的判别式的应用
【例3】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2．
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，
∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，
∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
使用根的判别式解决问题时的注意点
(1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”“有实根”“有两个相等的实根”“有两个不等的实根”四种情况，注意与判别式的对应关系．
(2)利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错．
[跟进训练]
3．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1有实数根，则m的取值范围是( )
A．m≤3且m≠2 B．m<3
C．m≤3D．m<3且m≠2
A [∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1，即(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，
∴m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，
解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选A．]
类型3 一元二次方程根与系数的关系
【例4】 已知方程x2＋x－3＝0的两个根为x1，x2，求下列各式的值：
1x12x2+x22x1；
(2)|x1－x2|．
[思路导引] 先由一元二次方程根与系数的关系写出x1＋x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1＋x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值．
[解] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－1，x1x2＝－3．
1x12x2+x22x1＝x1x2(x1＋x2)＝－3×(－1)＝3．
(2)|x1－x2|＝x1-x22＝x1+x22-4x1x2＝-12-4×-3＝13．
1．根与系数关系的应用前提
应用根与系数的关系时，首先确定判别式的值是否大于或等于0，判别式的值非负是应用根与系数关系的前提．
2．与一元二次方程两根有关的几个常用变形
1x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x2．
(2)1x1+1x2＝x1+x2x1x2．
(3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2．
(4)|x1－x2|＝x1+x22-4x1x2．
(5)x2x1+x1x2＝x12+x22x1x2＝x1+x22-2x1x2x1x2．
[跟进训练]
4．已知方程x2－3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，求下列各式的值：
(1)1x1+1x2；
2x12+x22；
(3)|x1－x2|．
[解] 因为x2－3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，结合根与系数的关系，可得x1+x2=3，x1·x2=-1．
(1)1x1+1x2＝x1+x2x1·x2＝－3．
2x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9＋2＝11．
(3)|x1－x2|＝x1-x22＝x1+x22-4x1x2＝9+4＝13．
1．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是( )
A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21
C．(x－8)2＝11D．(x－4)2＝11
D [∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝-5，∴x2－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D．]
2．已知关于x的方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0的解集为非空集合，则k的取值范围是( )
A．34，2∪(2，＋∞)B．34，2∪(2，＋∞)
C．34，+∞D．34，+∞
D [当k－2＝0，即k＝2时，原方程为5x＋1＝0，
解得x＝－15，故k＝2符合题意．
当k－2≠0，即k≠2时，Δ＝(2k＋1)2－4×(k－2)2×1＝20k－15≥0，解得k≥34且k≠2．
综上所述，k≥34．故选D．]
3．已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是( )
A．x2－6x＋8＝0B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0D．x2＋x－20＝0
D [设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－ba，4×(－5)＝ca，即ba＝1，ca＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．]
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12-x22＝10，则a＝________．
214 [由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝a．由x12-x22＝10，得(x1＋x2)(x1－x2)＝10．
∵x1＋x2＝5，∴x1－x2＝2，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，解得a＝214．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解一元二次方程有哪几种方法？
[提示] (1)直接开平方法．(2)配方法．(3)公式法．(4)因式分解法．
2．一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时要注意什么问题？
[提示] 前提条件是：(1)a≠0．(2)Δ≥0．
在应用时应注意恒等变形和整体代入．
课时分层作业(十一) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是( )
A．－2 B．2 C．0 D．－2或2
A [由已知得k2－4＝0且k－2≠0，解得k＝－2．]
2．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞)B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)D．(－∞，1)
D [∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4m>0，解得m<1．故选D．]
3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4B．－4
C．3D．－3
A [由题知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4．]
4．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“和谐”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A．a＝cB．a＝b
C．b＝cD．a＝b＝c
A [∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0．又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，∴a＝c．]
5．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是( )
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
AB [当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝54，此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝-42－4×2×3＝－8＜0，
所以此时方程无实数根，D错误．故选AB．]
二、填空题
6．不解方程，则关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集为________．
∅ [因为Δ＝[－(2m＋1)]2－4×2(m2＋1)＝-4m2＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0，所以方程的解集为∅．]
7．若16x2＋1＋k(k为单项式)是一个完全平方式，则满足条件的k为________．
±8x或64x4 [16x2＋1＋k是完全平方式，则满足条件的单项式k是±8x或64x4．]
8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β＝－1，则m的值是________．
3 [一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝(2m＋3)2－4m2＞0，解得m＞－34．α＋β＝－2m－3，αβ＝m2，
则1α+1β＝α+βαβ＝-2m-3m2＝－1，即m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，因为m＞－34，
所以只有m＝3符合题意．]
三、解答题
9．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
[解] (1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4．
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，
解得m＝0；
当x＝3时，
把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－83．
综上，m＝0或m＝－83．
10．(多选)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为( )
A．－9 B．－5 C．5 D．9
BD [设方程的两根为x1，x2，
由题意，得x12+x22＝45．
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45．
因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，
所以a2－2×2a＝45．
解得a1＝－5，a2＝9．
又因为Δ＝a2－8a，
当a＝－5时，Δ＞0，此时方程有两实数根．
当a＝9时，Δ＞0，此时方程有两实数根．]
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程12x2＋bx＋c－12a＝0的解集只有一个元素，且方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰但不等边三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
C [因为方程12x2＋bx＋c－12a＝0的解集只有一个元素，所以Δ＝(b)2－4×12×c-12a＝0，即a＋b＝2c． ①
又因为方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，
所以a＝b． ②
由①②可得a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．]
12．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
{－1，3} [把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x．
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3．
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．]
13．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2，当x12-x22＝0时，m的值为________．
14 [由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤14．
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m－1)，x1x2＝m2．
由x12-x22＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＝0．
若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12．因为12＞14，可知m＝12不合题意，舍去；
若x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝14．
故当x12-x22＝0时，m＝14．]
14．一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．
[解] x2－2x－54＝0，移项得x2－2x＝54，
配方得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94，
开方得x－1＝±32，
解得x1＝52，x2＝－12．
①把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0中，
得522－52(k＋2)＋94＝0，
解得k＝75；
②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0中，
得-122＋12(k＋2)＋94＝0，
解得k＝－7．
当k＝75或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或75．
15．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0，
解得y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．
上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；
(2)若实数x满足x2＋1x2－3x－3x＝2，求x＋1x的值．
[解] (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，解得a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，
∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，
∴x＝±3．
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3．
(2)设x＋1x＝y，
则原方程可化为：y2－2－3y＝2，
即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得y＝－1或y＝4，
即x＋1x＝－1(方程无解，舍去)或x＋1x＝4，
故x＋1x＝4．学习任务
1．理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(数学抽象、数学运算)
2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(逻辑推理)
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(数学运算)
直接开
平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝-b±b2-4ac2a求解
因式分
解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n