2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【导学案】，共18页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
3.了解椭圆的简单应用.
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其几何性质
【必备知识 精归纳】
1.椭圆的定义
满足下列两个条件:
(1)在同一个平面内动点P和两个定点F1,F2;
(2)|PF1|+|PF2|为定值,且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,动点P的轨迹为椭圆.
点睛(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
2.椭圆的标准方程和几何性质
点睛(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.
(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越圆;e越接近1,椭圆越扁平.
【常用结论】
1.已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.
2.过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为2b2a.
3.椭圆离心率e=1-b2a2.
4.若P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
5.设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)点P为椭圆4x2+y2=16上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若PF1=3,则PF2=( )
A.13B.1C.7D.5
【解析】选D.椭圆方程为x24+y216=1,
由椭圆定义可知,PF1+PF2=2a=8,
又|PF1|=3,故PF2=5.
2.(教材变式)椭圆x225+y29=1的长半轴长a=( )
A.11B.7C.5D.2
【解析】选C.由椭圆标准方程知,长半轴长a=5.
3.(结论1)椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则△F1AB的周长为( )
A.12B.16C.20D.24
【解析】选C.△F1AB的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.
因为在椭圆x225+y216=1中,a2=25,即a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20.
4.(教材提升)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,PF1+PF2=10,且离心率为55,则椭圆C的标准方程为( )
A.x225+y210=1B.x225+y220=1
C.x230+y220=1D.x245+y230=1
【解析】选B.根据椭圆定义可得
PF1+PF2=2a=10,所以a=5,
由离心率e=ca=55,所以c=5,
所以b2=a2-c2=25-5=20,
所以椭圆C的标准方程为x225+y220=1.
5.(结论3)已知椭圆C:x24+y2=λ(λ>0),则该椭圆的离心率e=( )
A.33B.12C.32D.52
【解析】选C.e=1-b2a2=1-λ4λ=34=32.
6.(忽略隐含条件)若方程x25-k+y2k-3=1表示椭圆,则k的取值范围是 .
【解析】由已知得5-k>0,k-3>0,5-k≠k-3.
解得3答案:(3,4)∪(4,5)
题型一 椭圆定义的应用
[典例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13B.12C.9D.6
【解析】选C.设M(x,y),则|MF1|·|MF2|=3+53x3-53x=9-59x2≤9,当x=0时取等号,故所求最大值为9.
(2)已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2=( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解析】选C.由题意,椭圆方程x29+y22=1,
可得a=3,b=2,c=a2-b2=7,
所以焦点F1(-7,0),F2(7,0),
又由椭圆的定义,可得MF1+MF2=2a=6,
因为|MF1|=4,所以MF2=2,
在△F1MF2中,由余弦定理可得F1F22=
MF12+MF22-2MF1MF2cs∠F1MF2,
所以(27)2=42+22-2×4×2cs∠F1MF2,
解得cs∠F1MF2=-12,
又由∠F1MF2∈(0,π),所以∠F1MF2=120°.
【方法提炼】
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【对点训练】
1.已知F1(0,-5),F2(0,5)分别为椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆C上的一点P满足·=0,且sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则a的值为( )
A.3B.2C.1D.12
【解析】选A.由·=0,得PF1⊥PF2,
由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2.
又sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则PF1=2PF2,
所以椭圆C的离心率
e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2=5PF23PF2=53.
又c=5,所以a=3.
2.(2023·滨州模拟) 短轴长为25,离心率e=23的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为 .
【解析】因为短轴长为25,离心率e=23,
所以b=5,e=ca=23,
又a2=b2+c2,解得a=3,
所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.
答案:12
【加练备选】
(多选题)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-1A.椭圆C的离心率为32
B.存在m,使△FAB为直角三角形
C.存在m,使△FAB的周长最大
D.当m=0时,四边形FBEA的面积最大
【解析】选BD.如图,
对于A,由椭圆方程可得,a=2,b=3,则c=1,椭圆C的离心率为e=12,故错误;
对于B,当m=0时,可以得出∠AFE=π3,
当m=1时,得tan∠AFE=34<1=tanπ4,
根据椭圆的对称性可知存在m,
使△FAB为直角三角形,故正确;
对于C,由椭圆的定义得,
△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|,
因为|AE|+|BE|≥|AB|,
所以|AB|-|AE|-|BE|≤0,
当AB过点E时取等号,
所以|AB|+|AF|+|BF|
=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a,
即直线x=m过椭圆的右焦点E时,
△FAB的周长最大,
此时直线AB的方程为x=m=1,
但是-1使△FAB的周长最大,故错误;
对于D,|FE|为定值2,
根据椭圆的对称性可知,
当m=0时,|AB|最大,
则四边形FBEA的面积最大,故正确.
题型二 椭圆的标准方程
角度1 定义法求椭圆的标准方程
[典例2](1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是( )
A.x225+y29=1(y≠0) B.y225+x29=1(y≠0)
C.x216+y29=1(y≠0)D.y216+x29=1(y≠0)
【解析】选A.由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B,C不共线).设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b=3.由A,B,C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225+y29=1(y≠0).
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A.x264-y248=1B.x248+y264=1
C.x248-y264=1D.x264+y248=1
【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r.因为圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,
所以动圆的圆心M的轨迹方程为x264+y248=1.
角度2 待定系数法求椭圆的方程
[典例3]过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(k<9),将点(3,-5)的坐标代入可得(-5)225-k+(3)29-k=1,
解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
方法二:(定义法)椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
答案: y220+x24=1
【一题多变】
本例改为:已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-32,52),(3,-5),则椭圆的方程为 .
【解析】设椭圆的方程为
mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由(-32) 2m+(52) 2n=1,3m+5n=1,解得m=16,n=110,
所以椭圆的方程为y210+x26=1.
答案:y210+x26=1.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
(3)椭圆系方程:①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k②与x2a2+y2b2=1有共同的离心率的椭圆系为x2a2+y2b2=λ或y2a2+x2b2=λ(λ>0).
【对点训练】
1.已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点.若△AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为( )
A.x24+y23=1B.x29+y26=1
C.x216+y24=1D.x216+y29=1
【解析】选B.如图所示,因为△ABF2是边长为4的等边三角形,
所以|AF2|=4,|AF1|=12|AB|=2,
所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3.
又因为|F1F2|=2c=|AF2|2-|AF1|2=23,
所以c=3,则b2=a2-c2=6,
故椭圆C的方程为x29+y26=1.
2.(多选题)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是( )
A.x225+y29=1B.x225+y216=1
C.x218+y29=1D.x216+y29=1
【解析】选AC.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,
设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点P,
使得∠F1PF2=90°,则需∠F1BF2≥90°,
所以BF12+BF22≤F1F22,
即a2+a2≤4c2,因为c2=a2-b2,
所以2a2≤4a2-4b2,
则a2≥2b2,所以选项AC满足.
3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),其关于直线y=bx的对称点Q在椭圆上,则离心率e= ,S△F O Q= .
【解析】设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点
F(1,0)关于直线y=bx对称得yx-1=-1b,y2=b·x+12,
解得x=1-b21+b2,y=2b1+b2,代入椭圆C的方程得
(1-b2)2a2(1+b2)2+4b2b2(1+b2)2=1,
结合a2=b2+1,解得a=2,b=1,
则椭圆的离心率e=ca=22,
S△F O Q=12|OF|·|2b1+b2|=12×1×21+12=12.
答案:22 12
4.已知A-1,0,B是圆C:x-12+y2=8上一动点,线段AB的垂直平分线交BC于P,则动点P的轨迹方程为 .
【解析】如图所示,圆C:x-12+y2=8的圆心坐标为C(1,0),半径r=CB=22,
因为P是线段AB的垂直平分线上的点,
所以PA=PB,
则AP+PC=CB=22>2,
根据椭圆的定义可知,
点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆,
其中a=2,c=1,则有b=a2-c2=1,
故点P的轨迹方程为x22+y2=1.
答案:x22+y2=1
【加练备选】
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则椭圆C的方程为( )
A.x23+y22=1B.x23+y2=1
C.x212+y28=1D.x212+y24=1
【解析】选A.若△AF1B的周长为43,
由椭圆的定义可知,4a=43,所以a=3.
因为e=ca=33,所以c=1,
所以b2=2,所以椭圆C的方程为x23+y22=1.
题型三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的离心率
[典例4](1)2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,长轴长为22天文单位,其左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,点P在椭圆上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c,直线PF2与椭圆交于另一个点Q,若cs∠F1QF2=45,则地球同步转移轨道的离心率为( )
A.12B.22C.35D.45
【解析】选B.因为|OP|=|OF1|=|OF2|=c,
所以PF1⊥PF2,
因为cs∠F1QF2=45,设|PQ|=4m,|F1Q|=5m,
则|PF1|=3m,又|PQ|+|F1Q|+|PF1|=4a,
即12m=42,即3m=2,
则|PF1|=2,|PF2|=22-2=2,
则|F1F2|=2,即c=1,即e=ca=22.
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A.[22,1]B.[12,1]
C.(0,22]D.(0,12]
【解析】选C.B点坐标为(0,b),
设P(x0,y0),因为x02a2+y02b2=1,a2=b2+c2,
所以|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02b2)+(y0-b)2=-c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2,
因为-b≤y0≤b,所以当-b3c2≤-b,
即b2≥c2时,|PB|max2=4b2,
即|PB|max=2b,
符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,
即0-b,即b2|PB|max2=b4c2+a2+b2≤4b2,化简得|c2-b2|≤0,显然不成立.
角度2 与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例5](1)(2023·广州模拟)已知P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一动点,F1,F2分别为该椭圆的左、右焦点,B为短轴一端点,如果|PB|长度的最大值为2b,则使△PF1F2为直角三角形的点P共有( )
A.8个B.4个或6个
C.6个或8个D.4个或8个
【解析】选B.当F1为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
当F2为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
因为B为短轴一端点,令B(0,b),|PB|长度的最大值为2b,
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以说明椭圆与圆x2+(y-b)2=4b2有且仅有下顶点这唯一交点,
设P(x0,y0),所以|PB|≤2b ,即|PB|2≤4b2,
所以x02+(y0-b)2≤4b2 ,
因为x02a2+y02b2=1,
所以x02=a2（1-y02b2）代入x02+(y0-b)2≤4b2中得,（1-a2b2）y02-2by0+a2-3b2≤0,
因为-b≤y0≤b,所以y0+b≥0,
所以(y0+b)(1-a2b2)y0+a2-3b2b≤0,
所以（b2-a2b2）y0+a2-3b2b≤0,
因为b2-a2b2<0,将y0=-b代入（b2-a2b2）y0+a2-3b2b≤0得,（b2-a2b2）(-b)+a2-3b2b≤0,
所以2a2-4b2b≤0,所以a2≤2b2,
所以b2+c2≤2b2即c≤b ,
当c=b 时,P 为下顶点,此时∠F1PF2 最大为直角,根据对称满足的点P有2个,
当c所以使△PF1F2为直角三角形的点P共有4个或6个.
(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(2,1)在椭圆内部,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
【解析】由题意可知,a=2,
所以椭圆的标准方程为x24+y2b2=1,
因为点P(2,1)在椭圆内部,所以24+1b2<1,
可得b2>2,又b2所以e2=1-b2a2=1-b24∈0,12,
所以椭圆C的离心率的取值范围是0,22.
答案:0,22
【方法提炼】
1.求解椭圆离心率或离心率范围的常用方法
(1)根据椭圆方程直接求解出a,c的值,从而求解出离心率;
(2)根据已知条件构造关于a,c的齐次方程,求解出ca的值,从而求解出离心率;
(3)根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于e的等式或不等式,从而求解出离心率或离心率的范围.
2.求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆的范围如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0(3)列出所求目标的解析式,构造函数利用单调性,或者利用基本不等式求最值或范围.
【对点训练】
1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,倾斜角为π2的直线过点-a2c,0,直线上存在一点N满足MF1=NF1,则椭圆离心率的最小值为( )
A.22B.32C.5-12D.12
【解析】选C.由MF1=NF1可得
·=0,M(0,b),F1(-c,0).
设N-a2c,m,则+=-a2c+c,m+(c,b)=-a2c+2c,m+b,
=-a2c,m-b,所以由·=0,
可得-a2c+2c,m+b·-a2c,m-b=0,整理得-a2c+2c-a2c+(m+b)(m-b)=0,
即a4c2-2a2-b2=-m2≤0,
设椭圆的离心率为e,则e4-3e2+1≤0,
解得5-12≤e≤5+12.
又因为0所以椭圆的离心率的最小值为5-12.
2.(多选题)(2023·海口模拟)已知a,b,c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长,若关于x的方程ax2+2bx+c=0有实根,则椭圆E的离心率e可能是( )
A.5-12B.35C.34D.32
【解析】选AB.由题意有Δ=4b2-4ac≥0,
由b2=a2-c2,可得a2-c2-ac≥0,
故e2+e-1≤0,解得-5-12≤e≤5-12,
而03.(2023·汕尾模拟)已知F1,F2分别是椭圆C:x26+y2m=1的左、右两个焦点,若椭圆C上存在四个不同的点P,使得△PF1F2的面积为5,则正实数m的取值范围为 .
【解析】当点P在椭圆C上运动时,0故只需12×2c×b>5,即12×26-m×m>5,
m2-6m+5=(m-1)(m-5)<0,解得:1答案:(1,5)
【加练备选】
(多选题)(2022·盐城模拟)若椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列b的值,能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )
A.b=2B.b=3
C.b=2D.b=5
【解析】选ABC.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,因为圆x2+y2=c2与椭圆C有公共点,所以c2≥b2,即9-b2≥b2,所以b2≤92,
即04.2022年12月4日20时09分,神舟十四号返回舱成功着陆,返回舱是航天员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图,在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则下列说法正确的有 .(填序号)
①椭圆的长轴长为42;
②线段AB长度的取值范围是[4,2+22];
③△ABF面积的最小值是4;
④△AFG的周长为4+42.
【解析】由题知,椭圆中的几何量b=c=2,
所以a=c2+b2=22,
则2a=42,故①正确;
因为|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,
由椭圆性质可知2≤|OA|≤22,
所以4≤|AB|≤2+22,故②正确;
记∠AOF=θ,则
S△ABF=S△AOF+S△OBF=12OA·OFsin θ+12OB·OFsin(π-θ)=OAsin θ+2sin θ=(OA+2)sin θ,
取θ=π6,则S△ABF=1+12OA≤1+12×22<4,故③错误;
由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=42,
所以C△AFG=|FG|+42=4+42,故④正确.
答案:①②④
【思维导图·构网络】
标准
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
范围
x∈[-a,a],
y∈[-b,b]
x∈[-b,b],
y∈[-a,a]
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
离心
率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,4
3,5
6