[数学]江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三7月摸底考试试卷(解析版)

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对数与互为相反数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为对数与互为相反数，可得，即，所以.
故选：C.
2. 使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. ,且
【答案】D
【解析】，解得即且.
故选：.
3. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ）

A. 众数平均数中位数B. 众数中位数平均数
C. 众数平均数中位数D. 中位数平均数众数
【答案】B
【解析】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，
平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，
故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数.
故选：B.
4. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
5. 已知复数z满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，
所以，
可得，两式相除可得，
可得，，
因为，所以，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，舍去，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，舍去，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，舍去，
结合选项，只有D正确.
故选：D.
6. 设是锐角，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知有，且.
故，结合，解得.
所以
.
故选：D.
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
8. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：充分性：因为，且，所以，
所以，所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知函数，则（ ）
A. 的对称轴为
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为1，最小值为
D. 在上单调递减，在上单调递增
【答案】AD
【解析】作出函数的图象如图中实线所示．
对于，由图可知，函数图象关于直线对称，
对任意的，
，
所以函数的对称轴为，A正确；
对于，对任意的，
结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；
对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
因为，
所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误；
对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确，
故选：AD．
10. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，
设t时刻两点重合，则,即，
此时点，
即，
当时，，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.故选：ABD.
11. 已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ）
A. 若，，且，则ABCD是平行四边形
B. 若M是AB中点，N是CD中点，则
C. 若，，，则CD在上的射影是BD
D. 直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；
对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
对于C，若，所以由线面垂直判定可得平面ABC，所以，
由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D,
所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；
对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．
【答案】
【解析】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，
则圆台的高，
据此可得圆台的体积：.
13. 写出一个最小正周期为2的奇函数________．
【答案】
【解析】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
14. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．如果记，，，，则___________(用和表示).

【答案】
【解析】由四边形是矩形，得，又，
平面，则平面，而，
则平面，又平面，则，，
由，，平面，则平面，
而，则平面，又平面，则，
，在中，，
在中，，
因此，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
解：(1)..
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
16. 设，，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）；
（2），
又，；
（3），
又，
．
17. 对于函数f（x）＝a.
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？
解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则＝a，
∵x1＜x2，∴，，
∴＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以不论a为何实数f（x）总为增函数.
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即a，解得：a＝1，
故存在实数a使f（x）为奇函数.
18. 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
（3）在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
（1）证明：因为，所以，
又平面平面，得，
而平面，得平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
则，
得，，
设平面的一个法向量为：，
则，取，得，
设与平面所成角为，
则，
得，得，
则与平面所成角的正切值为：.
（3）解：
设平面的一个法向量为：，
则，取，得，
设平面与平面所成角为，
则，
得，
故平面与平面夹角的正弦值为：.
19. 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
解：（1）依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换，
综上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ
，
而，所以；
Ⅳ.，
；
综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.
②，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，
，，
，
.