数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念课前预习课件ppt

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1.数列的概念和简单表示 
1 |数列及其相关概念和简单表示
3.数列与函数的区别和联系
2.按项的变化趋势分类
　　如果数列{an}的第n项an与它的序号⑧ n 之间的对应关系可以用一个式子 来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
1.递推关系(1)初始条件:已知数列的第1项(或前几项);(2)递推公式:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.2.由递推关系确定数列(1)递推公式也是表示数列的一种重要方法,它和通项公式一样,都是关于序号n的 恒等式.(2)利用首项和递推公式,可以通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何 一项和所需的项.
1.数列的前n项和我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn, 即Sn=a1+a2+…+an.2.数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有an= 
5 |数列的前n项和公式
1.每一个数列都有通项公式. (    ✕　)提示:不是所有的数列都有通项公式.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1. (　√　)提示:由数列{an}的前n项和的定义知S1=a1.3.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. (    ✕　)提示:数列的项数为2n,不是无穷数列.4.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(    ✕　)提示:数列1,-1,1,-1既不是递增数列,也不是递减数列.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
5.数列{an}中,若 =2an,n∈N*,则数列{an}的所有项都能确定. (    ✕　)提示:数列{an}中的首项不确定,则其他项也不能确定.6.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n+1,n∈N*. (    ✕　)
提示:数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n-1,n∈N*.
1|如何写出数列的一个通项公式
要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中各项的构成规 律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化 部分随序号变化的规律,进而将an表示为n的函数关系.1.由数列的前几项写出它的一个通项公式的方法:首先从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:
(1)熟记一些特殊数列的通项公式,熟悉它们的变化规律,并灵活运用;(2)将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如分式
形式的数列,可分别求分子、分母的通项公式;(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或 (-1)n+1来实现;(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,可以考虑用分段的形式给出,也可以 将给出的各项统一化成某种形式.2.记住下列简单数列的通项公式:(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为an=n,n∈N*;(2)-1,1,-1,1,…的一个通项公式为an=(-1)n,n∈N*;(3)1,3,5,7,…的一个通项公式为an=2n-1,n∈N*;(4)1,4,9,16,…的一个通项公式为an=n2,n∈N*;(5)1,2,4,8,…的一个通项公式为an= ,n∈N*;(6)9,99,999,9 999,…的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*.
写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,- , ,- ;(2) ,2, ,8;(3)7,77,777,7 777;(4)- , ,- , .
思路点拨分析前4项的组成结构,分别写出各部分的通项公式,进而得到数列的通项公式.
解析　(1)这个数列的前4项的绝对值的分母就是序号,并且奇数项为正,偶数项为 负,所以它的一个通项公式为an=  ,n∈N*.(2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察: , , , ,…,分母均为2,分子为序号的平方,所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.(3)这个数列的前4项可以化为  × 9,  × 99,  × 999,  × 9 999,即  ×(10-1),  ×(102-1),  ×(103-1),  ×(104-1),所以它的一个通项公式为an= ×(10n-1),n∈N*.
(4)将这个数列的前4项的分母因数分解得,- , ,- , ,其分母都是序号
数乘比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.
2|数列的单调性及其应用
1.数列单调性的判断方法和应用(1)数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an和an+1的大小来判断 的,常用方法是定义法、图象法和函数法.(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围.解决此类问题常利用以下的等价关 系:数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*);数列{an}递减⇔an+1(2)利用函数的单调性求最大(小)项.
数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是(　B　)A.107　    B.108　    C. 　    D.109
思路点拨将an=-2n2+29n+3看作关于n的二次函数 根据二次函数的性质求an的最大值.
解析　由已知得,an=-2n2+29n+3=-2 + ,由于n∈N*,所以当n取距离 最近的正整数7时,an取得最大值,最大值为a7=108.
易错警示    利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意定义域为正整数集或其有限子集这 一约束条件,题中二次函数的最大值在图象的对称轴处取得,而数列的最大值在n 取距离图象的对称轴最近的正整数时取得.
已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)× (n∈N*),试问数列{an}是否有最大项?若有,求出最大项;若没有,请说明理由.
思路点拨判断数列的单调性,寻求数列的最大项或假设an是数列的最大项,解不等式.
解析    解法一:作差比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.由题意得,an+1-an=(n+3)× -(n+2)× = × ,n∈N*.当1≤n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>5时,an+1-an<0,即an+1a7>a8>…,所以数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6= .解法二:作商比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.由题意得, = = ,n∈N*.令 >1,解得n<5;
令 =1,解得n=5;令 <1,解得n>5.故a1a7>…,所以数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6= .解法三:假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,则 即 解得 即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6= .
3|数列的递推关系及其应用
1.递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.递推公式只有知道首项(或前 几项),才能依次求出其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.2.数列的通项公式与递推公式的区别(1)通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与 项之间的关系;(2)求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推 公式,则必须通过逐项计算求出该项;(3)递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便, 而通项公式可以“把握”整个数列.
3.由递推公式求通项公式的方法(1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈ N*)求出通项公式,这种方法叫累加法;
(2)形如 =f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N*)求出通项公式,这种方法叫累乘法.
数列{an}中,a1=1,a2= ,且 + = (n∈N*,n≥2),则a6= (　B　)A. 　    B. 　    C. 　    D.7
思路点拨由 + = ,得 = - ,将n=2代入求出a3,依次类推求出a6的值.
解析　由 + = 得, = - (n∈N*,n≥2),则 = - = -1=2,∴a3= ,依次类推,可得a4= ,a5= ,a6= .
已知数列{an}满足a1=-1, =an+ - ,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
思路点拨由 -an=f(n)知,用累加法求数列的通项公式.
解析　∵ -an= - ,∴a2-a1= - ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……an-an-1= - (n≥2,n∈N*),将以上(n-1)个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an- )= + +…+ ,即an-a1=1- (n≥2,n∈N*).∴an=a1+1- =-1+1- =- (n≥2,n∈N*),经检验,当n=1时,a1=-1也符合上式,∴an=- ,n∈N*.
4|数列的前n项和的求法及其应用
1.数列{an}的前n项和就是将数列{an}的前n项a1,a2,…,an加起来得到的和,求数列 {an}的前n项和要根据数列的不同特点,按不同的方法求解.2.“裂项相消法”求和“裂项相消法”求和的关键就是将数列的每一项拆成两项(或多项)差的形式,使 数列中的项出现有规律的抵消,从而达到求和的目的.利用“裂项相消法”求和 时要注意抵消后的剩余项有多少,剩余项之间是相加还是相减.常见的裂项方法有:(1) =  ;(2) = ( - );
(3) =  ;(4) =  ;
(5)lga =lga(n+1)-lgan.3.已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an的步骤:(1)由a1=S1求出数列的首项;(2)由an=Sn- (n≥2)求出当n≥2时an的通项公式;(3)若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n ≥2)也适合n=1的情况,数列的通项公式可用an=Sn-Sn-1(n∈N*)表示;若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n ≥2)不适合n=1的情况,此时数列的通项公式采用分段形式表示,即an=  
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n(n∈N*),则其通项公式为an=2n-10 ;若数列 {an}的第k项满足5思路点拨利用a1=S1,an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an;由an写出ak,解关于k的不等式求出k的取值范围, 最后根据k∈N*写出k的值.
解析　当n=1时,a1=S1=1-9=-8;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.经检验,当n=1时也满足a1=2×1-10=-8,所以数列{an}的通项公式为an=2n-10,n∈N*.因为5

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