2023-2024学年安徽省蚌埠市怀远县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市怀远县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中为无理数的是( )
A. 4B. − 3C. 0D. 3.14
2.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. a6÷a2=a3C. a2⋅a3=a6D. a2+a3=a5
3.若aA. −a<−bB. a+1>b+1C. −a+1>−b+1D. 2a>a+b
4.“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为( )
A. 1.05×105B. 0.105×10−5C. 1.05×10−6D. 105×10−7
5.若2a+3b−1=0，则4a×23b的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
6.如图，已知直线a//b，三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A=30∘，∠1=20∘，则∠2的度数是( )
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘
7.如果x2−(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. 1或−3
8.关于x的一元一次不等式组3x−5≥12x+a<8有解，则a的取值范围是( )
A. a≥4B. a>4C. a≤4D. a<4
9.对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗(−2)=2x−4−1的解是( )
A. x=5B. x=6C. x=7D. x=8
10.如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE=α，∠DOF：∠AOD=2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC=( )
A. 540∘−5α
B. 540∘−6α
C. 30∘
D. 40∘
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：−2x2+12x−18=______.
12.已知不等式(a−1)x>a−1的解集是x<1，则a的取值范围为______.
13.已知关于x的分式方程k−1x−5=2−x5−x的解为正数，则k的取值范围是______.
14.如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于O、P两点.
(1)当∠OPC=120∘时，要使得AB//CD，则∠BOE应为______；
(2)若AB//CD，OM平分∠AOE，∠OPC=4∠OPD，则∠AOM=______ ∘.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：|−3|+(π−3)0−3−64÷2+4×2−1.
16.(本小题8分)
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：4(x+1)≤7x+1x−517.(本小题8分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB，线段AM在网格线上．
(1)把线段AB向左平移3个单位、再向上平移2个单位，得到线段CD(点A与点C是对应点，点B与点D是对应点)在图中画出平移后的线段CD.
(2)经过点D的直线l垂直于AM.在图中画出直线l.直接写出：点D到AM的距离是______.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1a+1)÷a+2a2−1.请从：1，−1，2，−2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.
19.(本小题10分)
已知m−3的平方根是±2，2n+5的立方根是3.
(1)求m、n的值；
(2)求10m+n的算术平方根.
20.(本小题10分)
已知：如图，EF//CD，∠1+∠2=180∘.
(1)试说明GD//CA.
(2)若DG平分∠CDB，且∠EFB=80∘，求∠A的度数.
21.(本小题12分)
用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回字”正方形．
(1)用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接；
(2)若a>b，利用(1)中的等式计算a+b=1，ab=316，求(a−b)2的值；
(3)若x2−3x+1=0，利用(1)中的等式，求x−1x的值．
22.(本小题12分)
某商店用800元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用1920元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元.
(1)该商店第一次购进这种水果多少千克？
(2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的40千克按标价的五折优惠销售.若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于1240元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？
23.(本小题14分)
如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时，若α=40∘，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵ 4=2，
∴ 4是有理数，不是无理数，
故A不符合题意；
B、− 3是无理数，故B符合题意；
C、0是有理数，不是无理数，故C不符合题意；
D、3.14是有理数，不是无理数，故D不符合题意；
故选：B.
根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、(a2)3=a6，故原题计算正确；
B、a6÷a2=a4，故原题计算错误；
C、a2⋅a3=a5，故原题计算错误；
D、a2和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
故选：A.
利用幂的乘方的性质、同底数幂的除法的计算法则、同底数幂的乘法运算法则、以及合并同类项计算法则进行计算即可．
此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法和乘法、以及合并同类项，关键是熟练掌握各运算法则．
3.【答案】C
【解析】解：若a−b，则A不符合题意；
若a若a−b+1，则C符合题意；
若a故选：C.
利用不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：0.00000105=1.05×10−6.
故选：C.
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】C
【解析】解：∵2a+3b−1=0，
∴2a+3b=1，
∴4a×23b
=22a×23b
=22a+3b
=21
=2.
故选：C.
利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】D
【解析】解：过B作BE//直线a，
∵直线a//b，
∴a//b//BE，
∴∠1=∠ABE=20∘，∠2=∠CBE，
∵∠ABC=60∘，
∴∠2=∠CBE=60∘−20∘=40∘.
故选：D.
过B作BE//直线a，推出a//b//BE，根据平行线性质得出∠1=∠ABE=20∘，∠2=∠CBE，根据∠ABC=60∘求出∠CBE，即可得出答案．
本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．据此解答.
【解答】
解：因为x2−(m+1)x+1是完全平方式，
所以−(m+1)x=±2×1⋅x，
解得：m=1或m=−3.
故选D.
8.【答案】D
【解析】解：{3x−5⩾1①2x+a<8②
解不等式①得：x≥2
解不等式②得：x<4−12a，
∵x的一元一次不等式组3x−5≥12x+a<8有解，
∴2<4−12a
解得：a<4，
故选：D.
分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出2<4−12a，解不等式即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，得1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选：A.
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设∠DOF=2x，∠AOD=3x，
∵∠DOE=α，
∴∠FOE=α−2x，
∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠EOF=α−2x，
则：3x+α+α−2x=180∘，
解得：x=180∘−2α，
∴∠AOD=3×(180∘−2α)=540∘−6α，
∴∠BOC=540∘−6α，
故选：B.
首先设∠DOF=2x，∠AOD=3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．
此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
11.【答案】−2(x−3)2
【解析】解：−2x2+12x−18
=−2(x2−6x+9)
=−2(x−3)2
故答案为：−2(x−3)2.
先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可．
本题考查了分解因式，能灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．
12.【答案】a<1
【解析】解：∵(a−1)x>a−1的解集是x<1，不等号方向发生了改变，
∴a−1<0，
∴a<1.
故答案为：a<1.
由(a−1)x>a−1的解集是x<1，可得不等号方向发生了改变，根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，可得a−1<0，继而求得a的取值范围．
此题考查了不等式的性质与解法．注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变性质的应用是解此题的关键．
13.【答案】k>−9且k≠6
【解析】解：去分母，得k−1=2(x−5)+x，
解得x=k+93.
∵分式方程的解为正数，
∴k+93>0且xk+93≠5.
解得k>−9且k≠6.
故答案为：k>−9且k≠6.
先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．
本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件．
14.【答案】(1)60∘；
(2)72.
【解析】解：(1)因为当∠AOE=∠OPC=120∘时，AB//CD，
所以∠BOE=180∘−∠AOE=180∘−120∘=60∘，
所以∠BOE=60∘，
故答案为：60∘；
(2)因为∠OPC=4∠OPD，∠OPC+∠OPD=180∘，
所以4∠OPD+∠OPD=180∘，
解得：∠OPD=36∘，
所以∠OPC=4∠OPD=144∘，
又因为AB//CD，
所以∠AOE=∠OPC=144∘，
因为OM平分∠AOE，
所以∠AOM=12∠AOE=12×144∘=72∘，
故答案为：72.
(1)要使得AB//CD，只需∠AOE=∠OPC即可，然后利用邻补角的性质求得结果；
(2)先由4∠OPD+∠OPD=180∘，求得∠OPD=36∘，从而∠OPC=4∠OPD=144∘，根据AB//CD，可得∠AOE=∠OPC=144∘，再由角平分线的定义可得∠AOM的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义和补角的性质，属于常考题型，应熟练掌握．
15.【答案】解：原式=3+1+(−4)÷2+4×12
=3+1−2+2
=4.
【解析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：{4(x+1)⩽7x+1①x−5解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
∴原不等式组的解集为：1≤x<4，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，CD为所作；
(2)如图，直线l为所作；
点D到AM的距离是2.

【解析】解：(1)如图，CD为所作；
(2)如图，直线l为所作；
点D到AM的距离是2.
故答案为2.
(1)利用网格特点和平移的性质画出A、B的对应点C、D即可；
(2)利用网格特点作直线l⊥AM，然后根据点到直线的距离的定义得到点D到AM的距离．
本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
18.【答案】解：(1+1a+1)÷a+2a2−1
=a+2a+1×(a+1)(a−1)a+2
=a−1，
因为当a=−2，1，−1时，原代数式无意义，
所以a=2.
当a=2时，
原式=2−1=1.
【解析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入计算即可.
此题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.
19.【答案】解：(1)因为m−3的平方根是±2，2n+5的立方根是3，
所以m−3=22，2n+5=33，
所以m=7，n=11；
(2)10m+n
=10×7+11
=81，
所以10m+n的算术平方根是9.
【解析】(1)由平方根，立方根的定义得到m−3=22，2n+5=33，即可求出m=7，n=11；
(2)求出10m+n的值，由算术平方根的定义，即可求解．
本题考查立方根，平方根，算术平方根，关键是掌握立方根，平方根，算术平方根的定义．
20.【答案】(1)证明：∵EF//CD，
∴∠1+∠ACD=180∘，
∵∠1+∠2=180∘，
∴∠ACD=∠2，
∴GD//CA；
(2)解：∵CD//EF，
∴∠EFB=∠CDB=80∘，
∵DG平分∠CDB，
∴∠BDG=∠2=40∘，
∵GD//CA，
∴∠A=∠BDG=40∘.
【解析】(1)由EF//CD证得∠1+∠ACD=180∘，根据∠1=∠2等量代换得出∠ACD=∠2，从而判定GD//CA；
(2)根据GD//CA，先证明∠2的度数，进而求出∠BDG，再进一步求出∠A的度数．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
21.【答案】解：(1)阴影部分的面积为：
S阴影=4ab=(a+b)2−(a−b)2；
(2)∵a+b=1，ab=316，
由(1)知，4ab=(a+b)2−(a−b)2，
∴4×316=12−(a−b)2，
解得：(a−b)2=14；
(3)∵要使x−1x有意义，
∴必须x≠0，
∵x2−3x+1=0，
∴x−3+1x=0，
即x+1x=3，
根据(1)结论可得，
4⋅x⋅1x=(x+1x)2−(x−1x)2，
∴4=9−(x−1x)2，
解得：x−1x=± 5，
∴x−1x的值为± 5.
【解析】(1)根据阴影部分面积=4个长方形面积之和，阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积，列出代数式即可解答；
(2)把a+b=1，ab=316代入4ab=(a+b)2−(a−b)2中，即可求解；
(3)根据x2−3x+1=0可得x+1x=3，在根据(1)的结论变形，最后代入即可求解．
此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)设第一次购进这种水果x kg，
19202x−800x=2，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解．
答：该商店第一次购进水果80千克．
(2)设标价为y元，
200y+40×y×50%−2720≥1240，
解得：y≥18，
答：每千克这种水果的标价至少是18元．
【解析】(1)设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；
(2)设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1240元列出不等式，然后求解即可得出答案．
此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：AB//CD.
理由：如图1中，
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME，
∴AB//CD.
(2)①如图2中，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90∘，
∵α=40∘，
∴∠HEN=90∘−∠EHN=90∘−40∘=50∘.
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF=∠HEG，
∵∠AEM=∠EMF，
∴∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=12∠AEG=50∘，
∴∠AEG=100∘，则∠GEB=80∘，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β=80∘；
②猜想：α=12β或α=90∘−12β
理由：1)当点G在F的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180∘−β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF+∠HEF=12∠AEG=90∘−12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90∘，
∴α=∠EHN=90∘−∠HEN=12β.
(2)当点G在F的左侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=180∘−∠EGH=180∘−β，∠AEG=∠EGH=β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF=12(∠AEF−∠FEG)=12∠AEG=12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90∘，
∴α=∠EHN=90∘−∠HEN=90∘−12β.
综上所述，α=12β或α=90∘−12β.
【解析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM=∠FME即可．
(2)①根据三角形内角和定理得出∠HEN=60∘，根据角平分线的定义∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=60∘，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠BEG，即可解决问题．
②结论：α=12β.根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．