2023-2024学年上海市普陀区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，无理数是( )
A. 36B. 3.1415C. 39D. −1
2.下列运算一定正确的是( )
A. 72=±7B. (− 7)2=7C. − (−7)2=7D. (3−7)3=7
3.如图，与∠A位置关系为同旁内角的角是( )
A. ∠1
B. ∠2
C. ∠3
D. ∠C
4.在直角坐标平面内，如果点P(m,n)在第四象限，那么点Q(n,m)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，如果∠B=70∘，那么以下结论中，错误的是( )
A. ∠CAD=20∘
B. AD⊥BC
C. △ABD的面积是△ABC面积的一半
D. △ABD的周长是△ABC周长的一半
6.如图，已知AB//DE，AD//EC，那么与△BDE的面积一定相等的三角形是( )
A. △ADE，△ADC
B. △CDE，△ADC
C. △AEC，△ADC
D. △ADE，△CDE
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.81的平方根是__________.
8.把方根化为幂的形式：1354=______.
9.比较大小：−3 5______−7.(填“>”，“=”或“<”)
10.用科学记数法表示0.00369，结果保留两个有效数字约为______.
11.直角坐标系内点P(−2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为______.
12.请写出一个在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标：______.
13.在直角坐标平面内，点P(− 3,0)向______平移m(m>0)个单位后，落在第三象限.(填“上”，“下”，“左”，“右”)
14.在直角坐标平面内，经过点M(5,−6)且垂直于y轴的直线可以表示为直线______.
15.如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，如果∠1=70∘，那么∠2=______ ∘.
16.如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于______.
17.如图，已知点P在∠AOB的内部，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，如果∠AOB=30∘，OP=6厘米，那么△P1OP2的周长等于______厘米.
18.如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(c,0)(c<0)，在坐标平面内存在点D，使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，且∠BAD与∠ABC是对应角，那么点D的坐标为__________.(用含c的代数式表示)
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：3−125+(−13)2+( 5−1)0− 3× 27.
20.(本小题5分)
计算：632÷316× 8.
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，已知点G、F分别在边BC、AC上，AE//BC交GF的延长线于点E，且∠B=∠E.试说明∠B+∠BGF=180∘的理由.
解：因为AE//BC(已知)，
所以∠E=∠EGC(______).
因为∠B=∠E(已知)，
所以∠B=______(等量代换).
所以______//______(______).
所以∠B+∠BGF=180∘(______).
22.(本小题5分)
如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠1=∠2.试说明AD⊥BC的理由.
解：因为AB⊥BD(已知)，
所以∠ABD=90∘(垂直的意义).
同理______.
所以∠ABD=∠ACD(等量代换).
在△ABD和△ACD中，
{∠ABD=∠ACD∠1=∠2(ㅤㅤ)，
所以△ABD≌△ACD(______).
得______(全等三角形的对应边相等).
又因为∠1=∠2(已知)，
所以AD⊥BC(______).
23.(本小题5分)
根据下列要求作图并回答问题：
(1)用直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不要求写作法和结论)：
①作△ABC，使AB=AC=a，BC=b；
②作边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点M、N；
(2)在(1)的图形中，联结AN，那么△ACN的周长等于______.(用含a、b的代数式表示)
24.(本小题6分)
如图，在直角坐标平面内，已知点A(3,−1)，点B在y轴的正半轴上且到x轴的距离为1个单位，将点B向右平移2个单位，再向上平移3个单位到达点C，点D与点A关于原点对称.
(1)在直角坐标平面内分别描出点B、C、D；
(2)写出图中点B、C、D的坐标是：B ______， C ______， D ______；
(3)按A−B−C−D−A顺次联结起来所得的图形的面积是______.
25.(本小题7分)
如图，在△ABC中，已知∠BAC=90∘，AB=AC，点D在边AB上，联结CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，联结AE，过点A作AF⊥AE交CD于点F.试说明AE=AF的理由.
解：因为∠DBE+∠BEC+∠EDB=180∘(______).
同理：∠DCA+∠BAC+∠ADC=180∘.
因为BE⊥CD，
所以∠BEC=90∘.
又因为∠BAC=90∘，
所以∠BEC=∠BAC.
因为∠EDB=∠ADC(______)，
所以∠______=∠______.(完成以下说理过程)
26.(本小题7分)
如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，联结BD、AE.
(1)试说明△BCD与△ACE全等的理由；
(2)试说明∠ABD和∠AED相等理由.
27.(本小题7分)
小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质.让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空.
【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”.如图2，当∠QAC=∠QCB=∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”.
【解决问题】(说明：说理过程可以不写理由)
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有______个，“布洛卡角”的度数为______度；
问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”.
(1)∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理.
(2)当∠BAC=90∘(如图4所示)，BM=5时，求点C到直线AM的距离.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 36=6，是整数，属于有理数，不符合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C、39是无理数，符合题意；
D、−1是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：C.
根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，熟知其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A. 72=7，此选项错误，不符合题意；
B.(− 7)2=7，此选项正确，符合题意；
C.− (−7)2=−7，此选项错误，不符合题意；
D.3(−7)3=−7，此选项错误，不符合题意；
故选：B.
根据平方根、立方根的定义判断即可．
本题考查算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A、∠1和∠A是同位角，不是同旁内角，故本选项错误，不符合题意；
B、∠2和∠A都是四边形ABED的内角，不是同旁内角，故本选项错误，不符合题意；
C、∠3和∠A是同位角，不是同旁内角，故本选项错误，不符合题意；
D、∠C和∠A是同旁内角，故本选项正确，符合题意；
故选：D.
根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义的应用，能熟记同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用．
4.【答案】B
【解析】解：∵点P(m,n)在第四象限，
∴m>0，n<0，
∴点Q(n,m)所在的象限是第二象限，
故选：B.
根据第四象限点的坐标特征可得m>0，n<0，然后根据第二象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70∘，
∴∠BAC=180∘=70∘−70∘=40∘，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12∠BAC=20∘，
故A不符合题意；
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
故B不符合题意；
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD的面积是△ABC面积的一半，
故C不符合题意；
∵AB=AC，BD=CD，
∴AB+BD=AC+CD=△ABC周长的一半，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD，
∴△ABD的周长不是△ABC周长的一半，
故D符合题意．
故选：D.
由三角形内角和定理求出∠BAC=180∘=70∘−70∘=40∘，由等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD=12∠BAC=20∘，AD⊥BC，由三角形面积公式得到△ABD的面积是△ABC面积的一半，△ABC周长的一半=AB+BD，△ABD的周长=AB+BD+AD，得到△ABD的周长不是△ABC周长的一半，
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
6.【答案】A
【解析】解：本题可通过三角形面积公式求解，观察三角形BDE和三角形ADE，两个三角形共用一个底DE，
因为AB//DE，所以三角形BDE和三角形ADE的高相等，即AB与DE的距离d1.
故S△BDE=S△ADE=DE×d1.
观察三角形EDA和三角形CDA，两个三角形共用一个底DA，
因为AD//EC，所以三角形EDA和三角形CDA的高相等，即AD与EC的距离d2.
故S△ADC=S△ADE=AD×d2.
所以S△BDE=S△ADC=S△ADE.
故选：A.
两条直线平行，则两直线之间的距离处处相等，从而根据三角形面积公式，找出同底等高的三角形，本题即可得求．
本题巧妙地将三角形的面积和平行线的性质相结合，创新性地考查了学生对三角形面积的理解．
7.【答案】±9
【解析】解：∵(±9)2=81，
∴81的平方根是±9.
故答案为：±9；
直接根据平方根的定义解答即可．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8.【答案】5−43
【解析】解：原式=1543=5−43.
根据分数指数幂，可化成分数指数形式，根据负分数幂的性质，可得负分数指数幂．
本题考查了分数指数幂，先求分数指数幂，再求负分数指数幂．
9.【答案】>
【解析】解：|−3 5|=3 5= 45，|−7|=7，
∵45<49，
∴ 45<7，
∴− 45>−7，即−3 5>−7.
故答案为：>.
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
10.【答案】3.7×10−3
【解析】解：用科学记数法表示0.00369，结果保留两个有效数字约为：3.7×10−3，
故答案为：3.7×10−3.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：点P(−2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(−2,−3).
故答案为：(−2,−3).
关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可解答．
本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标，关于x轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
12.【答案】(0,−1)(答案不唯一)
【解析】解：在直角坐标平面内不属于任何象限的点的坐标可以是(0,−1)等．
故答案为：(0,−1)(答案不唯一).
根据x轴或y轴上的点不属于任何象限解答即可．
本题考查了点的坐标：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．也考查了各象限内的点的坐标特点．
13.【答案】下
【解析】解：∵P(− 3,0)在x轴的负半轴上，
∴点P向下平移落在第三象限，
故答案为：下．
根据点P的位置判断即可．
本题考查坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】y=−6
【解析】解：由题意得：经过点A(5,−6)且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y=−6，
故答案为：y=−6.
垂直于y轴的直线，纵坐标相等，都为−6，所以为直线：y=−6.
此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．
15.【答案】110
【解析】解：∵∠1=70∘，
∴∠3=180∘−70∘=110∘，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3=110∘.
故答案为：110.
由邻补角的性质得到∠3=180∘−70∘=110∘，由平行线的性质推出∠2=∠3=110∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2=∠3.
16.【答案】23或65
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6厘米时，
∵等腰三角形的周长等于16厘米，
∴底边长=16−2×6=4(厘米)，
此时等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值=46=23；
当等腰三角形的底边长为6厘米时，
∵等腰三角形的周长等于16厘米，
∴腰长=16−62=5(厘米)，
此时等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值=65；
综上所述：这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于23或65，
故答案为：23或65.
分两种情况：当等腰三角形的腰长为6厘米时；当等腰三角形的底边长为6厘米时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】18
【解析】解：连接OP，
∵P1与P关于OA对称，
∴OP=OP1，
∵P2与P关于OB对称，
∴OP=OP2，
∴OP1=OP2，
∵P1与P关于OA对称，
∴∠POA=∠AOP1，
∵P2与P关于OB对称，
∴∠BOP=∠BOP2，
又∵∠P1OP2=∠AOP1+∠AOP+∠BOP+∠BOP2，
∵∠P1OP2=∠BOP+∠BOP+∠AOP+∠AOP，
=2(∠BOP+∠APO)，
=2∠AOB，
∵∠AOB=30∘，
∵∠P1OP2=2×30∘=60∘，
∴△OP1P2为等边三角形，
∴△P1OP2的周长=3OP=18(厘米).
故答案为：18.
根据轴对称的性质，∠AOB=30∘，P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，可求出∠P1OP2的度数，确定三角形的形状，再由等边三角形的性质即可得出结论．
本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟知关于轴对称的两个图形对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．
18.【答案】(3−c,3)或(0,c)
【解析】解：∵以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，且∠BAD与∠ABC是对应角，
∴有以下两种情况：
①当点D在AB的上方时，过点B作BD//AC，过点A作AD//BC交BD于点D，如图1所示：
则点D即为所求的点，理由如下：
∵BD//AC，AD//BC，
∴∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC，
在△BAD和△ABC中，
∠BAD=∠ABCAB=BA∠ABD=∠BAC，
∴△BAD≌△ABC(ASA)，且∠BAD与∠ABC是对应角，
∴BD=AC，
∵BD//AC，
∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相等，
∵点A(3,0)，点B(0,3)，点C(c,0)(c<0)，
∴BD=AC=3−c，
∴点D的坐标为(3−c,3)；
②当点D在AB的下方时，在y轴的负半轴上截取OD=OC，连接AD，如图2所示：
∵点A(3,0)，点B(0,3)，点C(c,0)(c<0)，
∴OA=OB=3，
则点D即为所求的点，理由如下：
在△OAD和△OBC中，
OD=OC∠AOD=∠BOC=90∘OA=OB，
∴△OAD≌△OBC(SAS)，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+∠OAD=∠OBA+∠OBC
即∠BAD=∠ABC，
在△BAD和△ABC中，
AD=BC∠BAD=∠ABCAB=BA，
∴△BAD≌△ABC，且∠BAD与∠ABC是对应角，
∵OD=OC，点D在y轴上，
∴点D的坐标为(0,c)，
综上所述：点D的坐标为(3−c,3)或(0,c).
故答案为：(3−c,3)或(0,c).
依题意有以下两种情况：①当点D在AB的上方时，过点B作BD//AC，过点A作AD//BC交BD于点D，则点D即为所求的点，由BD//AC，AD//BC得∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC，则△BAD和△ABC全等，且∠BAD与∠ABC是对应角，然后根据BD=AC，BD//AC可得点D的坐标；②当点D在AB的下方时，在y轴的负半轴上截取OD=OC，连接AD，则点D即为所求的点，先证明△OAD和△OBC全等得AD=BC，∠OAD=∠OBA，再根据OA=OB=3得∠OAB=∠OBA，进而得∠BAD=∠ABC，由此可证明△BAD和△ABC全等，且∠BAD与∠ABC是对应角，然后根据OD=OC，点D在y轴上可得点D的坐标，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定，坐标与图形性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
19.【答案】解：原式=−5+19+1−9
=−13+19
=−1289.
【解析】根据实数的运算法则及零指数幂进行计算即可得出答案．
本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=256÷243×232
=256−43+32
=256−86+96
=2.
【解析】根据分数指数幂和实数的运算法则计算即可．
本题考查的是分数指数幂和实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21.【答案】两直线平行，内错角相等 ∠EGCABEG同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：因为AE//BC(已知)，
所以∠E=∠EGC(两直线平行，内错角相等).
因为∠B=∠E(已知)，
所以∠B=∠EGC(等量代换).
所以AB//EG(同位角相等，两直线平行).
所以∠B+∠BGF=180∘(两直线平行，同旁内角互补)，
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠EGC；AB；EG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的性质可得∠E=∠EGC，再利用等量代换可得∠B=∠EGC，然后利用同位角相等，两直线平行可得AB//EG，从而利用平行线的性质可得∠B+∠BGF=180∘，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】∠ACD=90∘AASAB=AC三线合一
【解析】解：因为AB⊥BD(已知)，
所以∠ABD=90∘(垂直的意义).
同理∠ACD=90∘.
所以∠ABD=∠ACD(等量代换).
在△ABD和△ACD中，
∠ABD=∠ACD∠1=∠2AD=AD，
所以△ABD≌△ACD(AAS).
得AB=AC(全等三角形的对应边相等).
又因为∠1=∠2(已知)，
所以AD⊥BC(三线合一).
故答案为：∠ACD=90∘；AAS；AB=AC；三线合一．
根据题意和题目中的解答过程，将空缺部分补充完整即可．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】a+b
【解析】解：(1)①如图，任意作射线BM，以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BM于点C，再分别以点B，C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，
则△ABC即为所求．
②如图，直线MN即为所求．
(2)∵直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵AC=a，BC=b，
∴△ACN的周长为AC+AN+CN=AC+BN+CN=AC+BC=a+b.
故答案为：a+b.
(1)①任意作射线BM，以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BM于点C，再分别以点B，C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC即可．
②根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)根据线段垂直平分线的可得AN=BN，则△ACN的周长为AC+AN+CN=AC+BN+CN=AC+BC=a+b.
本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图的方法、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
24.【答案】(0,1)(2,4)(−3,1)152
【解析】解：(1)如图所示；
(2)B(0,1)，C(2,4)，D(−3,1)；
故答案为：(0,1)，(2,4)，(−3,1)；
(3)图形的面积=△BCD的面积+△BDA的面积=12×3×3+12×3×2=152，
故答案为：152.
(1)根据题意在平面直角坐标系中描出点B、C、D三点即可；
(2)根据图中点B、C、D的位置写出点B，C，D的坐标；
(3)根据
本题考查了作图-平移变换，正确地作出图形是解题的关键．
25.【答案】三角形的内角和等于180∘对顶角相等 DBE DCA
【解析】解：因为∠DBE+∠BEC+∠EDB=180∘(三角形的内角和等于180∘)，
同理：∠DCA+∠BAC+∠ADC=180∘，
因为BE⊥CD，
所以∠BEC=90∘，
又因为∠BAC=90∘，
所以∠BEC=∠BAC，
因为∠EDB=∠ADC(对顶角相等)，
所以∠DBE=∠DCA，
因为AF⊥AE，
所以∠EAF=90∘，
所以∠BAE=∠CAF=90∘−∠BAF，
在△BAE和△CAF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，
所以△BAE≌△CAF(ASA)，
所以AE=AF.
故答案为：三角形的内角和等于180∘，对顶角相等，DBE，DCA.
由三角形内角和定理得∠DBE+∠BEC+∠EDB=180∘，∠DCA+∠BAC+∠ADC=180∘，∠BEC=∠BAC=90∘，因为∠EDB与∠ADC是对顶角，所以∠EDB=∠ADC，可推导出∠DBE=∠DCA，而AB=AC，∠BAE=∠CAF=90∘−∠BAF，即可证明△BAE≌△CAF，得AE=AF，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理、对顶角相等、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAE≌△CAF是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCD=60∘，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，∠ACE=60∘，
在△BCD与△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)；
(2)由(1)知，△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠CBD+∠ABD=∠ABC=60∘，∠AED+∠CAE=∠CDE=60∘，
∴∠ABD=∠AED.
【解析】(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立；
(2)根据(1)中的结论、外角和内角的关系可以得到∠ABD和∠AED相等．
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27.【答案】1 30
【解析】解：问题1：如图1−1：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠ACB=60∘，
∵∠PAB=∠PBC=∠PCA，
∴∠PAC=∠PBA=∠PCB，
∴△ACP≌△BAP(ASA)，
∴CP=AP，
同法可证CP=BP，
∴PA=PB=PC，
∴∠PAB=∠PBA=∠PBC=∠PCB=∠PCA=∠PAC=30∘，
∴等边三角形的“布洛卡点”有1个，“布洛卡角”的度数为30度；
故答案为：1，30∘；
问题2：(1)∠AMB与△ABC的底角互补，如图3即为所求，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵点M是△ABC的一个“布洛卡点”，
∴∠MBC=∠MAB，
∵∠ABM+∠MAB+∠AMB=180∘，
∴∠ABM+∠MBC+∠AMB=180∘，
∴∠ABC+∠AMB=180∘，
∴∠AMB与△ABC的一个底角互补；
(2)如图4，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠CAB=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∵∠2=∠3，
∴∠ABC−∠2=∠ACB−∠3，即∠ABM=∠BCM，
∵∠1=∠2，
∴△ABM∽△BCM，
∴BMCM=ABBC= 22，
∵BM=5，
∴5CM= 22，
∴CM=5 2.
∴点C到直线AM的距离为5 2.
问题1：根据等边三角形的性质证明△ACP≌△BAP(ASA)，得PA=PB=PC，进而可以解决问题；
问题2：(1)根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质和“布洛卡点”定义，即可解决问题；
(2)由△ABC是等腰直角三角形，∠2=∠3，即可得∠ABP=∠BCP，而∠1=∠2，证明△ABP∽△BCP，对应边成比例即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形．