2022-2023学年山东省济南市莱芜区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区九年级上学期数学期中试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限可知，，，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则csA的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：AB===13
则csA==
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理以及三角函数，解题关键是理解三角函数的定义．
2. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象在第一、三象限
C. y随着x的增大而减小D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D选项．
【详解】解：A．当时，，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意；
B．∵反比例函数，，
该函数图象为第一、三象限，故结论正确，选项B不符合题意；
C．∵反比例函数，，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故结论错误，选项C符合题意；
D．∵反比例函数，，
∴该函数图象为第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵当时，，
∴当时，，故结论正确，选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．
4. 已知＞，那么锐角a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵＝，＞，正弦值随着角度的增大而增大，
∴
∵α为锐角，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是关键．
5. 如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（ ）
A. 1.08B. 1.2C. 1.28D. 1.38
【答案】B
【解析】
【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
【详解】解：∵时，；时，；
∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，
∴方程有一个根约为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键．
6. 抛物线 可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向左平移4个单位长度，然后向上平移8个单位长度
B. 先向左平移4个单位长度，然后向下平移8个单位长度
C. 先向右平移4个单位长度，然后向上平移8个单位长度
D. 先向右平移4个单位长度，然后向下平移8个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律解答即可．
【详解】解：抛物线可以由抛物线先向右平移4个单位长度，然后向下平移8个单位长度平移得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
7. 如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，
在中，
故A、B不符合题意；
中，，
故C符合题意；
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每个选项的反比例函数的图像所在的象限，判断出的符号，再逐一判断一次函数的图像所经过的象限即可得到答案．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的图像与性质，掌握以上知识是解题的关键．
9. 若点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
【详解】解：∵，
∴函数图象位于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴点，位于第三象限，，
∴；
∵位于第一象限，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③（m为实数）；④．其中正确结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断①；由与y轴的交点B在与之间，即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；根据二次函数的最值即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴．
∵，
∴．
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴，
∴，
故①正确；
②∵与y轴的交点B在与之间，
∴，
故②正确；
③∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴函数有最大值，
∴，
∴（m为实数），
故③正确；
∵抛物线与x轴交于点，
对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∴时，，
故④错误．
综上：正确的有①②③，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关内容，根据函数图象和解析式分析各个系数的符号，总而得出结论．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案，）
11. 如图，在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是 _____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据网格构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得答案．
【详解】解：如图．过点A作，交的延长线于点D，则点D在格点上，
在中，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键是熟练掌握正切值等于直角三角形中，已知角的对边与邻边的比值．
12. 直线与双曲线的一个交点坐标为则另一个交点的坐标为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解．
【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为
∴解得
∴直线与双曲线的一个交点坐标为
∴另一交点的坐标是
故答案是：
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握“反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称”是关键．
13. 若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是____________．
【答案】＜ 且≠0
【解析】
【详解】由题意得
，
∴且a≠0.
故答案为：且a≠0
【点睛】二次函数图像与x轴的交点横坐标是一元二次方程的根.当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根.
14. 如图，在矩形中，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的值为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键．
15. 如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．
16. 如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是 _____平方米．
【答案】
【解析】
【分析】设为米，则米，即可求面积
【详解】解：设米，矩形的面积为，则米，
∴
即矩形的最大面积为平方米
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 在中，，求的长．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，估计边角关系分别求出即可．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为D，
在中，，
∴，
根据勾股定理可得：，即，解得：，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和直角三角形，解题的关键是根据题意画出辅助线，构建直角三角形求解．
19. 通过配方法，求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】对称轴为直线，顶点坐标
【解析】
【分析】先配方，得到二次函数解析式的顶点表达式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标．
【详解】解：
；
∴该函数图象的对称轴为直线、顶点坐标．
【点睛】本题考查抛物线解析式化成顶点式，二次函数的图象性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
20. 已知反比例函数．
（1）求的值；
（2）判断，两点是否在该反比例函数图象上，为什么？
【答案】（1）
（2）点不在该反比例函数图象上，点在该反比例函数图象上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数：，，即可；
（2）由（1）反比例函数的解析式，把，代入解析式中，即可．
小问1详解】
∵，
∴中，
∴
∴．
【小问2详解】
由（1）得，
∴反比例函数的解析式为：
∵当时，
∴点不在反比例函数图象上
∵时，
∴点在反比例函数图象上．
【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和性质，点在函数图象上点的坐标满足解析式．
21. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标．
【答案】（1）
（2）该二次函数的图象向左平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为
【解析】
【分析】（1）设顶点式，然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）先解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，然后把点平移到原点得到平移的距离，从而得到平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∴该二次函数的图象向左平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，
将函数的图象向左平移1个单位，则也向左平移1个单位，函数图象与x轴的交点坐标为，
∴平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及函数的平移问题，注意点坐标的平移规律“左减右加”．
22. 北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若，均为1.7米（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算：
（1）当小亮站在B处时离教学楼的距离；
（2）求条幅的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）小亮站在B处时离教学楼的距离为米
（2）条幅的长度约为米
【解析】
【分析】（1 ）延长交于H，根据矩形的性质得到米，，，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2 ）由（1）知米，解直角三角形即可得到结论．
【小问1详解】
解：延长交于H，
则米，，，
∵米，
∴（米），
在中，，
∴，
∴，
∴（米），
【小问2详解】
解：由（1）知米，
在中，∵，
∴，
∴，
∴（米），
答：条幅长度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，已知一次函数（、为常数，）的图象与轴交于，且与反比例函数（为常数且）的图象在第二象限交于点．轴，垂足为，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求两函数图象的另一个交点的坐标；
（3）直接写出不等式：的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，，，求出C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式；
（2）两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可解决问题；
（3）根据，得一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可．
【小问1详解】
∵点，
∴
∵
∴
∴
∵点
∴
∴
∴点
∵点在反比例函数
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：；
∵点，点经过一次函数
∴，解得
∴
∴一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
∵
解得：或
∴点．
【小问3详解】
如图：
∵
∴一次函数的图象在反比例函数图象的下方
∴当时，满足
当时，满足
∴的解集为：或．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，交点问题．
24. 某甜品店销售一种甜品礼盒，每件的进货价为40元，经市场调研，当该甜品礼盒每件的销售价为45元时，每天可销售150件：当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为47元时，该甜品礼盒每天的销售数量为多少件？
（2）当每件销售价为多少时，销售该甜品礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）每件销售价为元时，获得最大利润；最大利润为元
【解析】
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”可得出结论．
（2）根据“利润＝（售价﹣进价）×销量”得出二次函数，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【小问1详解】
解：
（件）．
∴当每件销售价为元时，该甜品礼盒每天的销售数量为件．
【小问2详解】
设每件的销售价为元时，销售该甜品礼盒每天获得的利润为元，依题意得：
，
∵，
∴当时，．
∴当每件的销售价为元时，销售该甜品礼盒每天获得的利润最大；最大利润为元．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数（）的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积；
（3）设M是反比例函数（）图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
【答案】（1）；
（2）8 （3）点的坐标为，或，或，
【解析】
【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【小问1详解】
解：点在直线上，
，
一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：在中，令，得，
，
，
的面积；
【小问3详解】
解：由（2）知，直线的表达式为，反比例函数的表达式为，
设点，，
若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则①以和为对角线时，
，，
，或（此时，点不在第一象限，舍去），，
，，
②以和为对角线时，
，，
或（此时，点不在第一象限，舍去），
，，
③以和为对角线时，
，，
解得
当在的右侧时，
，，
即满足条件的点的坐标为，或，或，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．
26. 如图，抛物线与x轴交于两点，A点坐标为，C点坐标为，与y轴交于点．点P是抛物线上的一动点，且点P在直线的下方，过点P作x轴的垂线，交直线于点E，垂足为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下（即最大时）问在直线上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在， Q点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，利用二次函数的最值即可解决问题；
（3）设点Q的坐标为，则分三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于两点，A点坐标为，C点坐标为，与y轴交于点．
∴，解得： ，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图，
设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，
∵．
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点E的坐标为，
∴，
∴当时，最大，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
∵点Q在直线上，轴，点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
则
当时，有，
即
解得：，
∴Q点的坐标为 ；
当时，有，
即
解得：，
∴Q点的坐标为；
当时，有，
即
此时方程无解．
综上所述：在直线上存在点Q，使为直角三角形，Q点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.04
0.59
1.16
…