新高考数学解答题核心考点分解训练与突破02利用导数求解函数极值及最值问题含解析答案

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一、解答题
1．已知函数，若是的极值点，求的极值．
2．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
3．已知函数，其中，求函数在区间上的最小值．
4．已知函数，当时，求的极值.
5．已知函数，求在上的最值.（注：）
6．已知函数，求在区间上的最大值.
7．已知函数，讨论的单调性与极值.
8．已知函数，设，求函数的极大值.
9．已知函数，若函数的极小值为，求实数的取值集合．
10．已知当时，恒成立，若是的极大值点，求a的取值范围．
11．已知函数和有相同的最小值．求.
12．已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
13．已知函数，是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
14．，若，求a的取值范围.
15．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.
16．已知函数，若，求a的值.
17．已知函数，为的导数.若时，，求a的取值范围．
18．已知函数，当时，，求的取值范围.
19．已知函数，若，求实数c的取值范围.
20．已知函数．当时，，求a的取值范围；
21．已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知函数.若有三个零点，求的取值范围.
23．已知函数.若有两个零点，求的取值范围.
24．已知函数在只有一个零点，求的值.
25．已知函数有两个零点.求a的取值范围；
26．已知函数，设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．
27．已知函数，若有两个极值点．求实数的取值范围.
28．已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值.
(1)求的解析式；
(2)求函数极值.
29．设为实数，已知，.
(1)求在区间的值域；
(2)对于，，使得成立，求实数的取值范围.
30．已知函数．若，求的取值范围；
31．已知，．若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
32．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
33．已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
34．已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
参考答案：
1．极大值为，极小值为
【分析】首先确定函数的定义域，由是的极值点，所以，解得，再求出函数的单调区间，从而求出函数的极值.
【详解】函数的定义域为，，
由是的极值点，所以，解得，
所以，令，
所以，
所以，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，所以，.
2．(1)
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性求最值即可；
（2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，．
当时，在单调递增，；
综上所述.
3．
【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域的大小关系，从而判断函数的单调性，得到最值.
【详解】函数的定义域为，
，，
令，得或（舍），
当，即时，当时，，则在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为，
当，即时，当时，，则在上单调递减，
所以函数在区间上的最小值为，
综上.
【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法
导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路：
首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；
其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果都在定义域内，则讨论个零点的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式和分类讨论.
4．极小值为，无极大值
【分析】利用导数分析函数的单调性，得到极值即可.
【详解】易知的定义域为，
由可得，
当时，，
令可得；
因此当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值；
所以的极小值为，无极大值.
5．最小值为1，最大值为
【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性求出最值即得.
【详解】函数，，求导得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
而，，又，，
所以的最小值为，最大值．
6．
【分析】二次求导，得到函数的单调性，进而得到的最大值．
【详解】由题意，，
令，则，
因为，所以，
即在区间上单调递增，
所以，即，所以在区间上单调递增，
即的最大值为．
7．答案见解析
【分析】求定义域，求导，分和两种情况，求解函数的单调性和极值.
【详解】由题得，的定义域为.
.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值；
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上单调递减，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
8．答案见解析
【分析】求导数，根据题意分类讨论函数的单调性，进而讨论函数的极值.
【详解】由题意，则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
9．
【分析】求导后利用导数为零的根对参数进行分类讨论，分析单调性，得到极值点，再代入极小值求出结果即可.
【详解】由题意，
①当时，恒成立，在上单调递增，无极值；
②当时，在和上，，单调递减，
在上，，单调递增；
所以的极小值为，
故，
化简得，，
解得或（舍去）；
③当时，在和上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以的极小值为，
故，
解得，符合题意；
④当时，在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以得极小值为，
故，
解得或（舍去）．
故实数．
10．
【分析】先由复合函数的单调性得到时不符合题意，当时，由函数的奇偶性得到函数为偶函数，然后求导分析单调性，当时结合已知放缩得到最小值，当时，再次构造函数，结合零点存在定理分析最值可得参数范围.
【详解】令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令,
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于当时，二次构造函数，结合零点存在定理分析单调性，求出极值.
11．
【分析】先求出与的最小值，并确定的取值范围；再根据最小值相等得出含的等式，构造函数，求出的唯一零点，进而求得的值.
【详解】由题意的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故；
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故；
的定义域为，而，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
12．
【分析】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围.
【详解】由求导得，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
设函数，，
当时，从而单调递减，
而，所以，即的取值范围是，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为，
所以，
而，所以，即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
13．存在，或
【分析】求导后对进行分类讨论，利用单调性和最值结合题意求出结果即可.
【详解】由题意求导得.
要使在区间有最大值1和最小值-1，则：
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，，
代入解得，，与矛盾，
所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间单调递增，
所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，
又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，
所以区间上最小值为，
而，所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，
所以区间上最大值为，最小值为，
即解得.
综上得或.
14．
【分析】方法一：构造，，对不等式进行变形为，结合函数的单调性求出参数的取值范围；方法二：构造，对不等式变形为，结合函数单调性解出不等式，求出参数取值范围.
【详解】方法一：定义域为，
同构构造，
，当时，恒成立，
则在上单调递增，
即，
结合函数单调递增，可知：，即，
故恒成立，
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
方法二：构造．
则恒成立，故单调递增，
因为
即，
所以，
故
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
【点睛】同构适用于方程或不等式中同时出现指数函数与对数函数，常见的同构变形有，，，等.
15．.
【分析】求出f′(x)，分a≤1、12讨论 f(x)的单调性，可得答案.
【详解】由f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，得f′(x)＝ln x＋＋1－a.
（1）当1－a≥0，即a≤1时，f′(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0.
（2）当a>1时，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f′(x)>f′(1)＝2－a.
①若2－a≥0，即10，于是f(x)在(1，＋∞)上单调递增，于是f(x)>f(1)＝0.
②若2－a2时，存在x0∈(1，＋∞)，使得当1