2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.4　二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ SKIPIF 1 < 0 是幂函数．( × )
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2eq \r(2))，则f(9)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．9
答案 B
解析 设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2eq \r(2))，故f(8)＝8a＝2eq \r(2)，故a＝eq \f(1,2)，f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，f(9)＝eq \r(9)＝3.
3．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为( )
A．(2,10) B．[1,2) C．[2,10] D．[1,10)
答案 D
解析 当x∈(－2,2)时，－34．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4]
解析 由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，
可得－eq \f(2a－1,2)≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
答案 B
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：
当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝eq \f(1,2)；
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq \f(1,2)，C4的n＝－2.
(2)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，
当n＝1时，f(x)＝x－1＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．
所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件．
思维升华
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1
(1)幂函数y＝ SKIPIF 1 < 0 (0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为( )
A．0 B．2 C．3 D．2或3
答案 D
解析 当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；
当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；
当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；
当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增．
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2)，所以m＝eq \f(1,2).
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8.
因为f(2)＝－1，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即eq \f(4a－2a－1－－a2,4a)＝8.解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，
所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，
所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝eq \f(3,a)，
所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－eq \f(6,a)，所以16－eq \f(6,a)＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
答案 ACD
解析 由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0.
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 (1)由题意知a≠0.
当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝eq \f(1,2a)，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足eq \f(1,2a)≥2，又a>0，所以0当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq \f(1,2a)<0，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立．
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
(2)①当0②当1此时g(a)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)))＝2a－eq \f(1,4a)－1.
③当eq \f(1,2a)≥2，即0综上所述，g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6a－3，a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，,2a－\f(1,4a)－1，a∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，,3a－2，a∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).))
二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：
(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”．
(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．
典例 (1)已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于( )
A．－4 B.eq \f(1,6) C．2 D.eq \f(13,6)
答案 A
解析 因为f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋x＝－eq \f(1,2)(x—1)2＋eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，依题意3b≤eq \f(1,2)，所以b≤eq \f(1,6)，所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fa＝3a，,fb＝3b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a2＋a＝3a，,－\f(1,2)b2＋b＝3b，))所以a，b为方程eq \f(1,2)x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－eq \f(2,\f(1,2))＝－4.
跟踪训练3 (1)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(mA．αC．m<α<β答案 C
解析 y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)＝f(n)＝2 023，
画出大致图象如图所示，显然m<α<β课时精练
一、单项选择题
1．)若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 当α＝－2时，f(x)＝x－2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；
当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；
当α＝eq \f(1,2)时，f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意；
当α＝eq \f(1,3)时，f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．b答案 A
解析 由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 <4<5＝ SKIPIF 1 < 0 ＝c，所以b3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A．[32,40] B．(－∞，32]∪[40，＋∞) C．(－∞，32] D．[40，＋∞)
答案 B
解析 因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝eq \f(k,8)，且其图象开口向上，所以eq \f(k,8)≤4或eq \f(k,8)≥5，解得k≤32或k≥40，所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞)．
4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为( )

答案 B
解析 对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；
对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；
对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,3] C．(0,2] D．[1,2]
答案 D
解析 f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示，
由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]，由图可知，m的取值范围是[1,2]．
二、多项选择题
6．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 AB
解析 A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；
C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意．
7．下列说法正确的是( )
A．若幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))，则其解析式为y＝ SKIPIF 1 < 0
B．若函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)
D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm的图象关于y轴对称，则f(－a2＋2a－5)>f(3)
答案 CD
解析 A选项，设f(x)＝xα，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))代入得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))α＝2，即(2－3)α＝2，解得α＝－eq \f(1,3)，故解析式为y＝f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B选项，因为－eq \f(4,5)<0，所以f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝f(x)，
故f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 在(－∞，0)上单调递增，B错误；
C选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确；
D选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确．
三、填空题
8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________.
答案 211
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,4m＋3>0，))解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.
9．已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________．
答案 y＝eq \f(1,2)x2＋x－eq \f(3,2)或y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)
解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为eq \f(－12a2－4a2,4a)＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±eq \f(1,2)，所以二次函数的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋x－eq \f(3,2)或y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2).
10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，则n－m的最大值为________．
答案 4
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1.
由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－eq \f(a,2)＝1，a＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋b.
因为f(x)的值域为[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，
故f(x)＝x2－2x＋3.若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.
所以m最小为－1，n最大为3，则n－m的最大值为4.
四、解答题
11．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求m的值；
(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围．
解 (1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2，则m＝－3.
(2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数．由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，
则2a－1函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点
坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减