初中3 勾股定理的应用课文配套课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
数学 八年级上册 BS版
1. 平面内，两点之间 最短.2. 解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解.3. 勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造条件.
在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？
蚂蚁从 A→B 的路线
将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线.
立体图形中两点之间的最短路程
若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3.
解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 AB2 = AA′2 + A′B2
立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
= AA′2 + A′B2 ≈ 122 + 92 = 225，故 AB ≈ 15 cm.
如图，有一个水池，水面 BE 的宽为16 dm，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面2 dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是 dm.
【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定理直接计算或列方程解答.
一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道 AC 水平放置，刚好与 AB 一样长.已知滑梯的高度 CE ＝3.6 m， CD ＝1.2 m，则滑道 AC 的长度是 m.
【解析】设滑道 AC 的长度为 x m，则 AB ＝ x m， AE ＝（ x －1.2）m.在Rt△ ACE 中，∠ AEC ＝90°，由勾股定理，得 AE2＋ CE2＝ AC2，即（ x －1.2）2＋3.62＝ x2，解得 x ＝6.即滑道 AC 的长度为6 m.故答案为6.
（1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24 m，高为10 m.从 A 处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点 A 的正上方点 B 处，则所建的梯子最短需要多长？
解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段 AB 展开成长方形，则沿 AB 建梯子最节省材料.由已知，得 AC ＝24 m， BC ＝10 m.在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝242＋102＝262，所以 AB ＝26 m（负值舍去）.故所建的梯子最短需要26 m.
（2）如图，长方体的高是9 cm，底面是边长为4 cm的正方形.一只蚂蚁从点 A 出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点 B 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
解：如图，将长方体的三个侧面展开.在Rt△ ACB 中， AC ＝4×3＝12（cm）， BC ＝9 cm，∠ ACB ＝90°.由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋92＝152，所以 AB ＝15 cm（负值舍去）.故这只蚂蚁爬行的最短路程是15 cm.
【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”.
如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12 m，4 m，3 m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为 m.
【解析】如图，因为侧面对角线 CB2＝32＋42＝25＝52，所以 CB ＝5 m.因为 AC ＝12 m，所以 AB2＝ AC2＋ CB2＝122＋52＝169＝132.因为 AB ＞0，所以 AB ＝13 m.所以能放进空木箱中的直木棒最长为13 m.故答案为13.
如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点 G 处.若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm， BF ＝6 cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？
解：①若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 AC ＝ AB ＋ BC ＝8（cm），另一条直角边 CG ＝ BF ＝6 cm.在Rt△ ACG 中，根据勾股定理，得 AG2＝ AC2＋ CG2＝82＋62＝100；②若把长方体的正面和上面展开在同一平面内，如图2所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 AB ＝3 cm，另一条直角边 BG ＝ BF ＋ FG ＝ BF ＋ BC ＝11（cm）.在Rt△ ABG 中，根据勾股定理，得 AG2＝ AB2＋ BG2＝32＋112＝130；
③若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，如图3所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边 GF ＝ BC ＝5 cm，另一条直角边 AF ＝ AE ＋ EF ＝ BF ＋ AB ＝6＋3＝9（cm）.在Rt△ AFG 中，根据勾股定理，得AG2＝ AF2＋ GF2＝92＋52＝106.因为130＞106＞100，且102＝100，所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛爬过的路程是10 cm.
【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，比较后才能确定.如图，
由点 A 到点 B 的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点 A 进入到相邻的两个面，所以到点 B 有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条.
（1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（ a ＋ b ）为一条直角边长， c 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ b ）2＋ c2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ；（2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（ b ＋ c ）一条直角边长， a 为另一条直角边长，此时 AB 2＝（ b ＋ c ）2＋ a2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 bc ；（3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（ a ＋ c ）为一条直角边长， b 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ c ）2＋ b2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ac .通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当 c 最大时，如图1所示的展开方式中的 AB 最短；当 a 最大时，如图2所示的展开方式中的 AB 最短；当 b 最大时，如图3所示的展开方式中的 AB 最短.
如图，圆柱形杯子的高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口2 cm，且与蜂蜜相对的点 A 处（杯壁厚度不计），则蚂蚁从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是多少厘米？