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2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第06讲 有理数的乘方(知识点+练习)
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1.乘方
2.科学记数法
【考点一 有理数幂的概念理解】
例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3B．底数是C．结果为D．表示3与相乘
变式1-1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同B．它们底数相同，但指数不相同
C．D．
变式1-2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）计算（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则 ．
变式1-4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【考点二 有理数运算的符号规律】
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，中负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2-1．（21-22七年级上·江苏扬州·期末）下列代数式的值一定是正数的是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．1C．0D．
变式2-3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式2-4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ．
变式2-5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ．
【考点三 有理数乘方的运算】
例3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，求的值．
变式3-1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知，求的值．
变式3-2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题：
(1)这组数中所有负数的和为______；
(2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______；
(3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来.
变式3-3．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，求的值．
【考点四 根据有理数的乘方判断整除问题】
例4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）一定能被（ ）整除
A．2020B．2022C．2024D．2025
变式4-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）能被下列哪个数整除？（ ）
A．3B．5C．7D．9
变式4-2．（19-20七年级下·四川成都·期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除．
变式4-3．（20-23七年级下·浙江杭州·期中）试说明能被30整除．
【考点五 根据有理数的乘方判断末位数字问题】
例5．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（ ）
A．0B．6C．7D．9
变式5-1．（21-22七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是 ．
变式5-2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ．
变式5-3．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）若与互为相反数，的末位数字是 ．
变式5-4．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ．
【考点六 根据有理数的乘方解决进制问题】
例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．1326天B．510天C．336天D．84天
变式6-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成，．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为，二进制数10011转化成十进制数为 ．
变式6-3．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【考点七 含乘方的数字及图形规律问题】
例7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各数据按规律在横线上填上下一个适当的数： ．
变式7-2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）由图1、图2和图3中正方形个数的关系得到． 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律可得 （结果保留幂的形式）
变式7-3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式：
…
(1)请直接写出第⑩个等式；
(2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性．
变式7-4．（23-24六年级上·山东烟台·期中）观察下列各式，完成下列问题．
将一些边长相等的正方形按如图方式拼图：
图①中小正方形的个数：；
图②中小正方形的个数：；
图③中小正方形的个数：；
(1)仿照上例，写出下一个等式
(2)仿照上例，计算：；
(3)根据你所总结的规律计算的值．
【考点八 含乘方的新定义问题】
例8．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（）
A．B．C．5D．3
变式8-1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A．B．2C．1D．4
变式8-2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）定义一种新运算，规定：，例如：，那么 ．
变式8-3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若，则；若，则．
(1)计算：；
(2)若，求的值．
【考点九 乘方的应用】
例9．（23-24七年级下·全国·假期作业）长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米．
变式9-1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个．
变式9-2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
变式9-3．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）．
变式9-4．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）．
(1)计算当你对折次时，层数是多少；
(2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少．
变式9-5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【考点十 科学记数法的表示及还原】
例10．（2024·北京·三模）2024年5月 3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务．6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极-艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约千米， 将用科学记数法表示为（ ）．
A．B．C．D．
变式10-1．（2024·江苏扬州·三模）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 ．
变式10-2．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个．
变式10-3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数：
(1)__________________；
(2)__________________；
(3)__________________．
变式10-4．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）卫星绕地球运动的速度是，求卫星绕地球运行走过的路程．（结果用科学记数法表示．）
变式10-5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？
变式10-6．（23-24七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数：
(1)北京故宫的占地面积约为；
(2)长城长约千米；
(3)太阳和地球的距离大约是千米；
(4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽．
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（ ）
A．B．C．D．或
4．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3B．C．D．
5．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234B．310C．60D．10
6．（2024·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C． QUOTE 1?>1? 1a>1bD．
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则有理数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧
8．（23-24六年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·河南郑州·三模）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过万亿次，万亿用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
11．（2024·河北邯郸·三模）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（ ）
A．0.1058B．1.058C．10.58D．1058
二、填空题
12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ．
13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ．
14．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ．
15．（23-24九年级下·山东青岛·期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ．
16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，则，例如，则．根据规定，若，则 ．
17．（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个．
三、解答题
18．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？
(1)；
(2)；
(3)．
19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算：
20．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)；
(2)
21．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
计算：．
解：设，
则，
所以
，
即．
按照上面的方法，计算：．
22．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列算式：
①
②
③
…
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n的式子表示出来，并用学过的整式乘法的有关知识，说明其成立的理由．
23．（23-24六年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题．
材料一：因为，所以．
材料二：求的值．
解：设①，
①两边同时乘以3得，则②
用得，
所以，
即，
所以．
这种方法我们称为“错位相减法”．
(1)填空：_________，_________；
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）；
②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解乘方的意义，能进行有理数乘方的运算；
2.会用科学记数法表示较大的数；
3.能将用科学记数法表示的数还原成原数.
基础
n个相同的因数a相乘记作an，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.
补充与拓展
正数的任何次幂都是正数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写.
当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来.
基础
科学记数法的定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法．
补充与拓展
1）用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键.
①a是一个整数数位只有一位的数，即1≤a＜10;
②确定n的方法：当原数绝对值大于10时，则n等于原数的整数位数减1；
2）还原用科学记数法表示的数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
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个位数
0
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8
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个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
1.乘方
2.科学记数法
【考点一 有理数幂的概念理解】
例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3B．底数是C．结果为D．表示3与相乘
变式1-1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同B．它们底数相同，但指数不相同
C．D．
变式1-2．（23-24七年级上·河北唐山·期中）计算（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则 ．
变式1-4．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【考点二 有理数运算的符号规律】
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，中负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2-1．（21-22七年级上·江苏扬州·期末）下列代数式的值一定是正数的是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．1C．0D．
变式2-3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式2-4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习） ．
变式2-5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ．
【考点三 有理数乘方的运算】
例3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，求的值．
变式3-1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知，求的值．
变式3-2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有一组数：、、、、、，请回答下列问题：
(1)这组数中所有负数的和为______；
(2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______；
(3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“<”连接起来.
变式3-3．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，，且，求的值．
【考点四 根据有理数的乘方判断整除问题】
例4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）一定能被（ ）整除
A．2020B．2022C．2024D．2025
变式4-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）能被下列哪个数整除？（ ）
A．3B．5C．7D．9
变式4-2．（19-20七年级下·四川成都·期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
在10，11，12，13这四个数中，当 时，和数能被5整除．
变式4-3．（20-23七年级下·浙江杭州·期中）试说明能被30整除．
【考点五 根据有理数的乘方判断末位数字问题】
例5．（22-23七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，…，那么：的末位数字是（ ）
A．0B．6C．7D．9
变式5-1．（21-22七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算：，，，，，…归纳各计算结果中各位数字的规律，猜测的个位数字是 ．
变式5-2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ．
变式5-3．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）若与互为相反数，的末位数字是 ．
变式5-4．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ．
【考点六 根据有理数的乘方解决进制问题】
例6．（2023七年级上·江苏·专题练习）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．1326天B．510天C．336天D．84天
变式6-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成，．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为，二进制数10011转化成十进制数为 ．
变式6-3．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【考点七 含乘方的数字及图形规律问题】
例7．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各数据按规律在横线上填上下一个适当的数： ．
变式7-2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）由图1、图2和图3中正方形个数的关系得到． 类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律可得 （结果保留幂的形式）
变式7-3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）观察下列等式：
…
(1)请直接写出第⑩个等式；
(2)根据上述等式的排列规律，猜想第个等式（是正整数），并验证它的正确性．
变式7-4．（23-24六年级上·山东烟台·期中）观察下列各式，完成下列问题．
将一些边长相等的正方形按如图方式拼图：
图①中小正方形的个数：；
图②中小正方形的个数：；
图③中小正方形的个数：；
(1)仿照上例，写出下一个等式
(2)仿照上例，计算：；
(3)根据你所总结的规律计算的值．
【考点八 含乘方的新定义问题】
例8．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（）
A．B．C．5D．3
变式8-1．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A．B．2C．1D．4
变式8-2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）定义一种新运算，规定：，例如：，那么 ．
变式8-3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）对于两个有理数a，b，我们对运算“☆”作出如下定义：若，则；若，则．
(1)计算：；
(2)若，求的值．
【考点九 乘方的应用】
例9．（23-24七年级下·全国·假期作业）长方体的长是厘米，宽是厘米，高是厘米，那么它的体积是 立方厘米．
变式9-1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个．
变式9-2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
变式9-3．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）．
变式9-4．（22-23六年级上·山东泰安·期中）当你把纸对折一次时，就得到层，当对折两次时，就得到层，照这样折下去（最多折次）．
(1)计算当你对折次时，层数是多少；
(2)如果纸的厚度是，求对折次时，总厚度是多少．
变式9-5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【考点十 科学记数法的表示及还原】
例10．（2024·北京·三模）2024年5月 3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务．6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极-艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约千米， 将用科学记数法表示为（ ）．
A．B．C．D．
变式10-1．（2024·江苏扬州·三模）2024年春节假期扬州市接待游客850万人次，同比增长78%，旅游总收入67.7亿元．将数据67.7亿用科学记数法表示为 ．
变式10-2．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个．
变式10-3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数：
(1)__________________；
(2)__________________；
(3)__________________．
变式10-4．（22-23七年级下·云南文山·阶段练习）卫星绕地球运动的速度是，求卫星绕地球运行走过的路程．（结果用科学记数法表示．）
变式10-5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）某农科所要在长为、宽为的长方形试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要一块边长为的正方形试验田，那么这块试验基地最多能培育多少种新品种粮食？
变式10-6．（23-24七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数：
(1)北京故宫的占地面积约为；
(2)长城长约千米；
(3)太阳和地球的距离大约是千米；
(4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽．
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（ ）
A．B．C．D．或
4．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3B．C．D．
5．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234B．310C．60D．10
6．（2024·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C． QUOTE 1?>1? 1a>1bD．
7．（23-24六年级下·全国·假期作业）若，则有理数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧
8．（23-24六年级下·全国·假期作业）用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·河北廊坊·二模）已知：，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·河南郑州·三模）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过万亿次，万亿用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
11．（2024·河北邯郸·三模）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为的形式，则a的值为（ ）
A．0.1058B．1.058C．10.58D．1058
二、填空题
12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ．
13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么 ．
14．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ．
15．（23-24九年级下·山东青岛·期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ．
16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果，则，例如，则．根据规定，若，则 ．
17．（23-24七年级上·河南郑州·期中）2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个．
三、解答题
18．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？
(1)；
(2)；
(3)．
19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算：
20．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)；
(2)
21．（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
计算：．
解：设，
则，
所以
，
即．
按照上面的方法，计算：．
22．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列算式：
①
②
③
…
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n的式子表示出来，并用学过的整式乘法的有关知识，说明其成立的理由．
23．（23-24六年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题．
材料一：因为，所以．
材料二：求的值．
解：设①，
①两边同时乘以3得，则②
用得，
所以，
即，
所以．
这种方法我们称为“错位相减法”．
(1)填空：_________，_________；
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）；
②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解乘方的意义，能进行有理数乘方的运算；
2.会用科学记数法表示较大的数；
3.能将用科学记数法表示的数还原成原数.
基础
n个相同的因数a相乘记作an，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.
补充与拓展
正数的任何次幂都是正数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写.
当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来.
基础
科学记数法的定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法．
补充与拓展
1）用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键.
①a是一个整数数位只有一位的数，即1≤a＜10;
②确定n的方法：当原数绝对值大于10时，则n等于原数的整数位数减1；
2）还原用科学记数法表示的数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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