2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，一次函数的图象过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程中的一次项系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于一元二次方程，一次项系数为．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：一次项系数为，
故选：D．
【点睛】本题考查对于一元二次方程的认识．注意系数要带上前面的符号．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3. 用配方法解方程，变形正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得，
故选：A ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. 若，则（ ）
A. 6B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的性质即可得出结果．
【详解】解：等式两边乘以，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．
5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．
【详解】∵反比例函数图象是双曲线，且，，
∴图象是第一象限双曲线的一支．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．
6. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A. cmB. 2（﹣1）cmC. 4（﹣1）cmD. 6（﹣1）cm
【答案】C
【解析】
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：C．
【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
7. 若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y2＜y3＜y1B. y3＜y2＜y1C. y3＜y1＜y2D. y1＜y2＜y3
【答案】A
【解析】
【分析】将各点的横坐标代入函数解析式中，就可计算出对应的函数值．即将x＝﹣2，x＝2，x＝3分别代入反比例函数解析式求出y1，y2，y3，再比较大小即可．
【详解】解：x＝﹣2代入得
x＝2代入得，
x＝3代入得，
<<1，
即y2< y3< y1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的函数值和比较大小，能将自变量代入函数解析式正确求出函数值是做出本题的关键．
8. 如图，下列不能判定与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可满足△ABD∽△ACB；得出选项A、B、C满足△ABD∽△ACB，选项D不满足△ABD∽△ACB，即可得出结论．
【详解】解：虽然，但∠ABD≠∠C，
∴△ABD与△ACB不相似，
∴选项A符合；
∵，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项B不符合；
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项C不符合；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项D不符合.
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
9. 反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象的综合．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一，三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项B符合；
当时，，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：B．
10. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ）
A. 266B. 270C. 271D. 285
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，

∵，，
∴，
∵上有31个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点，
上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点，
∴边界上的格点个数，
∵，
∴，
∴解得．
∴内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是____个．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得，（个），
即袋子中红球的个数最有可能是16个．
故答案是：16．
12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13. 如图，D、E分别是的边上的点，，，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查比例性质和相似三角形面积比等于相似比的平方．先得到，进入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
14. 如图，在长为100，宽为50的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600，则小路的宽是____．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
小路的宽是．
故答案为：．
15. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．
16. 一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长
【详解】分两种情况：
①若，则， ，
连接，则，
，，
设，则，
中，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为或，
故答案为或．
【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
【小问1详解】
∵
∴，
∴，即，
则，
∴，；
【小问2详解】
∵
∴，
∴，
则或，
解得，．
18. 如图，△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD，求证：△ABC∽△DEC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据∠BCE=∠ACD，得到∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，得到∠ACB=∠DCE，结合∠A=∠D，推出△ABC∽△DEC．
【详解】∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点睛】本题主要考查了判定两三角形相似，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似，是解决本题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：以点A为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；并写出点的坐标．
【答案】画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是根据位似的性质作图，即可得出答案．
【详解】解：如图，即为所求
点．
20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

（1）求点的坐标；
（2）用的代数式表示；
（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点代入，从而可得答案；
（2）把点代入，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解，可得的坐标，可得，代入再解决的值即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵点在一次函数的图象上，
∴，
即．
【小问3详解】
如图，连接．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．
21. 首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，
（2）
【解析】
【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即可求出的度数；
（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
故填：20， 6，；
【小问2详解】
画树状图为：

或者列表为：
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．
【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题关键．
22. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．

（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
【答案】（1）长为，宽为
（2）想法不能实现
【解析】
【分析】（1）设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
小问1详解】
解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；
答：鸡场的长和宽分别为与．
【小问2详解】
解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
23. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
（2）由AB＝AD＝6，E为AD的中点，得出AE＝DE＝3，由勾股定理得出BE＝ ＝3 ，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝15，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
【小问2详解】
解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△ABE中，BE＝＝3，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝15，
∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
24. 一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案；
（2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案；
（3）直接由函数图象即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
【小问3详解】
解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．
25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

（1）【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
【答案】（1）
（2），见解析
（3）当时，的面积最大，且最大面积为
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法解答即可；
（2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可；
（3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可．
【小问1详解】
解：
∵
∴
当时，，因此 有最小值，最小值为，
∴ A的最小值为．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，，
．
【小问3详解】
解：由题意得：，
当时，的面积最大，且最大面积为．
【点睛】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键．
26. 问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．组别
身高分组
人数
A
3
B
2
C
D
5
E
4
男1
男2
女1
女2
男1
（男1男2）
（男1女1）
（男1女2）
男2
（男2男1）
（男2女1）
（男2女2）
女1
（女1男1）
（女1男2）
（女1女2）
女2
（女2男1）
（女2男2）
（女2女1）