北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分8分)
解：（Ⅰ）由，所以. …………2分
得或.
当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示.
所以 当时取极大值；
当时取极小值. …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值．
对都有恒成立，所以. …………8分
17．(本小题满分8分)
（Ⅰ）由于是等差数列，设公差为，
当选①②时：，解得，
所以的通项公式，．
选①③时，解得，
所以的通项公式，．
选②③时，解得，
所以的通项公式，． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以，
所以，
，
. …………8分

18．(本小题满分8分)
解：（Ⅰ）依题意可得，解得；…………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2.
所以，，
所以的分布列为：
所以 …………6分
（Ⅲ）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，则. …………8分
19．(本小题满分8分)
（Ⅰ）令（），
.
由得，于是，故函数是上的增函数.
所以当时，，即； …………4分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，满足题意.
令，.
当时，若，，则在上是减函数.
所以时，，不合题意.
当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.
综上所述，实数a的取值范围. …………8分
20．(本小题满分8分)
解：（Ⅰ）数列是“速增数列”，理由如下：
由，则，，
，故，
所以数列是“速增数列”. …………4分
（Ⅱ）数列为“速增数列”，，，，任意项，
时，.
即，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为63. …………8分
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
题号
11
12
13
14
15
答案
,
②③④
＋
0
－
0
＋
↗
极大
↘
极小
↗