考点09平面直角坐标系与函数初步（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查，分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。函数对比数与式、方程、几何等知识模块来说相对较抽象，从形到数，从数到形，数形结合是该知识模块学习的重要方法，同时需储备一定的直观想象和操作能力，才是学好的关键。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大．
【知识清单】
1：平面直角坐标系（☆☆）
1）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）．
2）平面直角坐标系
图1 图2
2：点的坐标特征与变换（☆☆☆）
1）点的坐标特征：已知点P（a，b）
第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0； x轴上：b=0； y轴上：a=0；
2）轴对称与中心对称：已知点P（x，y）
（1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
（3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）．
3）图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）
1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）；
3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）．
4）两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则 ．
3：坐标方法的简单应用（☆☆）
确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
4：函数（☆☆☆）
1）函数的相关概念：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
2）函数的三种表示法的优缺点
【易错点归纳】
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同，坐标轴上的点不属于任何象限。
2. 到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数。
3. 因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小，注意和函数平移的区别。
【核心考点】
核心考点1. 平面直角坐标系
例1：（2023·湖北宜昌·统考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（ ）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
【答案】B
【分析】先用有序实数对表示图中各点为 ，进而根据各点分析各选项即可得解．
【详解】解：名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间在图中表示的点用有序实数对表示，
∵只有的横纵坐标相同，∴只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，故A说法正确，不符合题意；
∵和的横坐标相同，和的横坐标相同，
∴有名同学看电视时间是小时，另有名同学看电视的时间为小时，故B说法错误，符合题意；
∵只有与的纵坐标相同，
∴只有两个同学的阅读时间是相同的，故C说法正确，不符合题意；
∵共人的横坐标小于纵坐标，共人的横坐标大于纵坐标，∴阅读时间大于看电视时间的同学较多正确，故D说法正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查有序数对，解题的关键是利用有序对来表示点的位置以及理解有序数对表示的意义．
变式1．（2023·山西太原·统考一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合B．类比C．一般到特殊D．分类讨论
【答案】A
【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解．
【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合，故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键．
变式2.（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为．则彩旗方队一共有（ ）人．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】表示第三列，第三行，由题意可知彩旗方队一共有列、行，据此即可求得彩旗方队一共有人．
【详解】解：∵表示第三列，第三行，且小兰的位置不管是列还是行都在正中间，
∴彩旗方队一共有列、行，∴彩旗方队一共有：（人）．故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，明确题意得出彩旗方队一共有列、行是解题的关键．
例2：（2023年浙江省台州市中考数学真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：“車”所在位留的坐标为，
确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
“炮”所在位置的坐标为．故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．
变式1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可．
【详解】由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：

可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为；故答案为：．
【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．
核心考点2. 点的坐标特征与变换
例3：（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，，得出，再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：，同号，，，
A.在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B.在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C.在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D.在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练判断的正负是解题的关键．
变式1.（2023年浙江省丽水市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限．
【详解】解：，，，满足第二象限的条件．故选：B．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点．
变式2.（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0求出的取值范围，由此即可得．
【详解】解：∵点在第二象限内，，解得，则的值可以是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握第二象限内的点的横坐标小于0是解题关键．
例4：（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了x轴上的点的坐标特征，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a即可．
【详解】解：在x轴上，，解得，故答案为：．
变式1.（2023·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
【答案】1
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
变式2.（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第 象限，当点在轴上时， ．
【答案】 四
【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上的点的特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号．时，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可得出答案，再根据轴上的点的纵坐标为，即可求解得．
【详解】解：时，，，由第四象限，可知点在第四象限；当点在轴上时，由轴上的点的纵坐标为可得，解得．故答案为：四；．
例5：（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A． B．C． D． 或
【答案】C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
∵在第二象限，∴，解得，故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
变式1. （2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限．
【答案】一
【分析】根据得到，确定M的位置，后确定对称点的坐标，解答即可．
【详解】∵，∴，∴，
∴，故点N在第一象限，故答案为：一．
【点睛】本题考查了实数的非负性，关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变相反数，熟练掌握对称点的确定是解题的关键．
变式2.（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．
【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故坐标为．故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．
例6：（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．
【答案】
【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案．
【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度，∴点A向右边平移了4个单位与C对应，
∴ 即 故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题关键．
变式1.（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点，的坐标分别为，，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点E的坐标．
【详解】解：由题可知平移后得到点；
∴是先向右平移个单位长度，在向上平移个单位长度；
∴点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；∴点；故答案为．
变式2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，∴点A8的坐标为（0，-8），∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，∴A10的坐标为（-1，11），故答案为：（-1，11）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
例7：（2022·黑龙江·校一模）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第2022次旋转结束时，回到原位，进而可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，
∴，∴第2022次旋转结束时，回到原位，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．
变式1.（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为 ．

【答案】
【详解】作轴于点，由得，由，根据等腰三角形的性质得，所以，由平移得，，所以，则，即可求得点的坐标为．
【解答】解：如图，作轴于点，，，
，，，由平移得，，
，，，，故答案为：．

【点睛】本题考查了平移的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质、图形与坐标等知识，正确理解和运用平移的性质是解题的关键．
变式2.（2023·河北邯郸·三模）如图，在正方形中，已知点，．将正方形绕点顺时针旋转角度后，点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为（ ）

A．或 B．或或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分三种情况进行讨论：①点对应点恰好落在轴正半轴上时；②点对应点恰好落在轴负半轴上时；③点对应点恰好落在轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点的对应点的坐标．
【详解】解：，，轴，，
四边形是正方形，且点、在上方，，，，，
当正方形绕点顺时针旋转角度后，
①点对应点恰好落在轴正半轴上时，如图，
， ， ，
，，，
，，，
在和中，，，
，，，点的对应点的坐标为；
②点对应点恰好落在轴负半轴上时，如图，
此时，，点的对应点的坐标为，
③点对应点恰好落在轴负半轴上时，如图
同①可知，，，
，点的对应点的坐标为，
综上所述：点的对应点的坐标为或或，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
变式3.（2023·河南周口·校联考三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵，∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，∴，，，，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．故选：B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，点的坐标，找到点A的坐标循环的规律是解题的关键．
例8：（2023·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点“P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可．
【详解】设P点的坐标为（x，y），∵“和谐点“P到x轴的距离为2，∴|y|=2，∴y=±2．
将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，∴P点的坐标为（2，2）；
将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，∴P点的坐标为（，-2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）．故答案为（2，2）或（，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键．
变式1．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】根据等距点的定义求出不同情况下的的值即可；
【详解】当时，，解得：或（舍去）；
当时，，解得：（舍去）或；
∴或；故答案是：或．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识点，属于阅读理解类题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
例9：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由轴，，根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标．
【详解】解：如图，轴，∴C点的纵坐标为与A点的纵坐标相同，即，
∵当时，线段最短，此时轴，
∴此时C点的横坐标与B点的横坐标相同，即，即，此时．故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最短是解题的关键．
变式1.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（ ）

A．B．C．（8，6）D．
【答案】A
【分析】由矩形折叠可知，，，可求出，，再根据点A的坐标求出，，根据特殊角三角函数求出，然后求出，最后根据得出答案．
【详解】由矩形折叠可知，，．
∴．在中，，
∴．∴由折叠可知，．
∵，∴.根据矩形的性质，可知，
由折叠的性质，得.在中，，
∴，即．
∵，∴，∴．
又∵，∴．
在中，，∴，即，
∴．故点．故选：A．
【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值等，根据折叠的性质和矩形的性质得出相应线段的长是解题的关键．
变式2．（2023·江苏南通·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作于，如图所示，由尺规作图得到平分，由三角形全等的判定得到，从而求出线段长，设，则，由勾股定理得到方程求解得到，再根据等面积法求出，则，求出，即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：

由作图得：平分，，
，，，，，
，，，，，
设，则，，即，解得，
，即，解得，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及角平分线、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等面积法求线段长等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
核心考点3. 坐标方法的简单应用
例10．（2023·广东佛山·统考二模）下列选项中，能确定物体位置的是（ ）
A．距离学校500米B．季华路C．东经，北纬 D．北偏西
【答案】C
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、距学校500米，不能确定具体位置，故本选项错误；
B、季华路，不能确定具体位置，故本选项错误；
C、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项正确；
D、北偏西，不能确定具体位置，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置．理解确定坐标的两个数是解题的关键．
变式1．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．某电影院5号厅2排 C．北京长安大街 D．一架飞机距离地面10千米
【答案】A
【分析】根据在平面内，确定一个点的位置需要两个有序数对逐项判定即可．
【详解】解：A、东经，北纬，可以确定位置，符合题意；
B、某电影院5号厅2排，无法确定位置，故不符合题意；
C、北京长安大街，无法确定位置，故不符合题意；
D、一架飞机距离地面10千米，无法确定位置，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查坐标位置的确定，明确题意，确定一个点的位置需要两个条件是解答此题的关键．
例11：（2023·山东滨州·九年级统考期末）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
变式1．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．

【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为,故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
核心考点4. 函数
例12：（2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是
C．变量是，，；常量是D．变量是，；常量是
【答案】A
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：球的体积是，球的半径为，则，
其中变量是，；常量是， 故选：．
【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．
变式1．（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．C．或D．
【答案】A
【分析】据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，解得：且，故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
变式2．（2023·广东湛江·校联考一模）当时，函数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：当，；故选A．
【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的计算．
例13：（2023·广西·统考一模）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【详解】解：显然A、B、C三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；D、对于x＞0的部分值，y都有二个或三个值与之相对应，则y不是x的函数；故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
变式1.（2023·北京海淀·八年级统考期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由函数的概念求解即可．
【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；
②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；
④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；所以正确的的序号有①④，故选：B．
【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念．
变式2．（2023·河北沧州·九年级统考开学考试）下列各式，不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义对每个选项一一判断即可．
【详解】A、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．
B、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．
C、，对于x的每一个取值，y都有两个确定的值，不符合函数的定义．
D、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的定义，熟记函数的定义是解题关键．
变式3．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；③如表中，n是m的函数；
④如图中，曲线表示y是x的函数．

【答案】①②③
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
例14：（2023·广西南宁·统考二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．
【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；符合上述分析过程的：D．选：D．
【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
变式1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，电影《流浪地球2》在万达广场上映，小赵一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，小赵在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解横轴和纵轴表示的实际量，然后根据实际情况：汽车离家的距离y(千米)与行驶时间的函数关系，来判断函数的变化对应的实际情况，再进行逐一判断，即可求解．
【详解】解：随着时间的增加，汽车离家的距离在增加，由此判断排除C、D错误；由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间的增加，但车离家的距离没有变化，后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，理解横纵坐标表示是实际意义，会根据意义判断函数的变化对应的实际情况是解题的关键．
例15：（2023·江西南昌·统考一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：
则时，这个钢球的速度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据表格可得速度与时间的比值为定值，继而求解即可．
【详解】由表得，速度与时间的比值为，
∴当时，这个钢球的速度是，故选：A．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式1．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．4元B．3元C．2元D．1元
【答案】C
【分析】根据图象可求得当，时苹果的单件，从而计算出一次购买3千克苹果和分三次每次购买1千克苹果的付款金额，从而可解答．
【详解】根据图象可得，当时，每千克苹果的单价是（元），
当时，每千克苹果的单价是（元），
故一次购买3千克这种苹果需要花费：（元），
分三次每次购买1千克这种苹果需要花费：（元），（元），
即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象的应用，首先仔细观察函数图象，从中找到信息进行求解．
变式2．（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：①这天预警水库排水时间持续了分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是

A．①④B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【分析】本题考查函数图象；根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象得：～分，水库开始积水，
～分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，～分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了分钟，故①错误；
吨分，也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分，②正确；从图象看出预警水库积水量为吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分，④正确．故选：D．
例16：（2023·重庆·模拟预测）如图①，等腰的边与正方形的边都在直线l上，且点C与点D重合，，将沿着射线方向移动至点B与点E重合停止，连接，设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm．
小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小陈的探究过程，请补充完整．
(1)列表：如表的已知数据是根据 C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你通过计算补全表格a＝ ，b＝ ；(2)描点、连线：如图②，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图像；(3)探究性质：写出该函数的一条性质；(4)解决问题：当时，C、D两点间的距离x大约是 ．
【答案】(1)2.24，2(2)见解析(3)见解析(4)0.5
【分析】（1）根据勾股定理进行计算便可；（2）用描点法作出函数图像；
（3）根据函数图像解答；（4）根据表格中数据可得结果．
【详解】（1）解：（1）当时，，∴，∴，
当时，，∵，∴B与D重合，∴，故答案为：2.24，2；
（2）（2）根据描点法作出图像如下：
（3）由函数图像可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
（4）当时，由表格数据可知，当时，，故答案为：0.5．
【点睛】本题动点问题的函数图像，勾股定理，正方形的性质，关键是正确作图函数图像，从函数图像上获取信息．
变式1．（2023·广东惠州·校考模拟预测）如图1，在中，，，于点，边沿从顶点出发，向点平移得到，连接，，设，，关于的函数图象如图2，图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．

【答案】
【分析】连接，易得四边形是平行四边形，延长到，使，连接，可得，则，所以，则图象最低点即的最小值，即当三点共线时，取最小值，再进行分析可得结论．
【详解】解：如图，连接，

∵且，∴四边形是平行四边形，∴且，∴，
延长到，使，连接，
于点点D是的中点，
∴，
∴图象最低点即的最小值，即当三点共线时，取最小值．
连接，延长交于点，点H是中点，
设则点B是中点，
当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，通过分析动点位置结合函数图象推出的长再通过构造三角形全等找到最小值是解决本题的关
平面直角坐标系
定义
在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴
水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1）
原点
两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。
坐标平面
坐标系所在的平面叫做坐标平面。
象限
x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）
点的坐标
对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，
垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，
有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). （见图2）。
优点
缺点
解析法
准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系
求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法
自变量和与它对应的函数值数据一目了然
所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法
形象的把自变量和函数值的关系表示出来
图像中只能得到近似的数量关系
m
1
2
3
n
6
3
2
时间
0
1
2
3
4
…
速度
0
1.5
3
4.5
6
…
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
2.83
2.5
a
2.06
b
2.06
2.24
2.5
2.83