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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题40用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题40用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)，共17页。
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
知识点三 新知拓展
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．
题型一 二分法的适用条件
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是( )
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3D．x4
7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④D．②
9．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1
题型二 用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(2,3) D．(2,4)
6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()
A．[1,4] B．[－2,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.375
C．1.42 D．1.5
10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
14．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq \f(1,4)(不能用计算器)．
15．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
17．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)
18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．
(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)
题型三 二分法的实际应用
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
专题40 用二分法求方程的近似解
知识点一 二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
知识点三 新知拓展
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．
题型一 二分法的适用条件
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
[解析]图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，
所以用二分法求解的个数为3，故选D.
3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是( )
[解析]由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为B
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
[解析]因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3D．x4
[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．
7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
[解析]对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．
8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④D．②
[解析] 由二分法的定义知①②正确.
9．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1
[解析]因为f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2＝(x＋eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
题型二 用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
[解析]二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
[解析]∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[解析]由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(2,3) D．(2,4)
[解析] 因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．
6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
[解析]已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝eq \f(1,2)(0.64＋0.72)，
且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案C
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
[解析]因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()
A．[1,4] B．[－2,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
[解析]∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
∴第三次所取的区间可能为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).答案D
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.375
C．1.42 D．1.5
[解析]由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方
程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.
10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
[解析] f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
[解析]∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，
∴方程的一个近似解为0.687 5.（答案不唯一）
12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解析]因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
[解析] ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
14．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq \f(1,4)(不能用计算器)．
[解析] ∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝eq \f(5,2)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝ln eq \f(5,2)－1＝ln eq \f(5,2)－ln e<0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))f(3)<0，∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).取x2＝eq \f(11,4)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))＝ln eq \f(11,4)－eq \f(1,2)＝ln eq \f(11,4)－ln e eq \s\up15( eq \f (1,2)) >0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))<0，∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4))).而eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)－\f(5,2)))＝eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4)))即为符合条件的一个区间．
15．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
[解析](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
[解析]令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.
17．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)
[解析]在同一平面直角坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，
可以发现方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lg x＋x－2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，
f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．
∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，∴方程的近似解可取为1.8125.
18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
[解析] 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，
列表如下：
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．
(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)
[解析] 函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．
又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－eq \r(2))(x＋eq \r(2))＝0，
所以f(x)在(1,1.5)内的零点为eq \r(2)，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.
而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f(1.25)≈－0.984<0，故f(x)的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f(x)的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．
题型三 二分法的实际应用
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
[解析] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点eq \f(1,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)a＋b＋c＝eq \f(3,4)a＋(－a)＝－eq \f(1,4)a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
[解析](1)∵f(0)＝1>0，f(2)＝－eq \f(1,3)<0，∴f(0)·f(2)＝－eq \f(1,3)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝eq \f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq \f(1,3)>0，由此可得f(1)·f(2)＝－eq \f(1,9)<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝eq \f(1,2)(1＋2)＝eq \f(3,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,8)<0，∴f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,24)<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
再取x3＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))＝eq \f(5,4)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))＝eq \f(17,192)>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2))).
故f(x)＝0的实数解x0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内．
3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
[解析]从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面．从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里．在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币．综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币．故填3.
4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解析] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝eq \f(－1－2,2)＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝eq \f(－1.5－2,2)＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝eq \f(－1.75－2,2)＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝eq \f(－1.875－2,2)＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
x4＝eq \f(－1.875－1.937 5,2)＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，－1.906 25)
x5＝eq \f(－1.937 5－1.906 25,2)＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝eq \f(－1.937 5－1.921 875,2)＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
知识点三 新知拓展
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．
题型一 二分法的适用条件
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是( )
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3D．x4
7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④D．②
9．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1
题型二 用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(2,3) D．(2,4)
6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()
A．[1,4] B．[－2,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.375
C．1.42 D．1.5
10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
14．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq \f(1,4)(不能用计算器)．
15．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
17．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)
18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．
(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)
题型三 二分法的实际应用
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
专题40 用二分法求方程的近似解
知识点一 二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
知识点三 新知拓展
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．
题型一 二分法的适用条件
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
[解析]图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，
所以用二分法求解的个数为3，故选D.
3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是( )
[解析]由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为B
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
[解析]因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3D．x4
[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．
7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
[解析]对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．
8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③ C．①④D．②
[解析] 由二分法的定义知①②正确.
9．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1
[解析]因为f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2＝(x＋eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
题型二 用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
[解析]二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
[解析]∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[解析]由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(2,3) D．(2,4)
[解析] 因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．
6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
[解析]已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝eq \f(1,2)(0.64＋0.72)，
且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案C
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
[解析]因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．
8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()
A．[1,4] B．[－2,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
[解析]∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
∴第三次所取的区间可能为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).答案D
9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A．1.25 B．1.375
C．1.42 D．1.5
[解析]由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方
程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.
10．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
[解析] f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
11．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
[解析]∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，
∴方程的一个近似解为0.687 5.（答案不唯一）
12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解析]因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
[解析] ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
14．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq \f(1,4)(不能用计算器)．
[解析] ∵f(2)<0，f(3)>0，∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝eq \f(5,2)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝ln eq \f(5,2)－1＝ln eq \f(5,2)－ln e<0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))f(3)<0，∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).取x2＝eq \f(11,4)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))＝ln eq \f(11,4)－eq \f(1,2)＝ln eq \f(11,4)－ln e eq \s\up15( eq \f (1,2)) >0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))<0，∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4))).而eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)－\f(5,2)))＝eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4)))即为符合条件的一个区间．
15．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
[解析](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)
[解析]令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，
即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.
17．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)
[解析]在同一平面直角坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，
可以发现方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lg x＋x－2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，
f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．
∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，∴方程的近似解可取为1.8125.
18．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
[解析] 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，
列表如下：
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
19．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．
(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)
[解析] 函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．
又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－eq \r(2))(x＋eq \r(2))＝0，
所以f(x)在(1,1.5)内的零点为eq \r(2)，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.
而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f(1.25)≈－0.984<0，故f(x)的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f(x)的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．
题型三 二分法的实际应用
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
[解析] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点eq \f(1,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)a＋b＋c＝eq \f(3,4)a＋(－a)＝－eq \f(1,4)a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
[解析](1)∵f(0)＝1>0，f(2)＝－eq \f(1,3)<0，∴f(0)·f(2)＝－eq \f(1,3)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝eq \f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq \f(1,3)>0，由此可得f(1)·f(2)＝－eq \f(1,9)<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝eq \f(1,2)(1＋2)＝eq \f(3,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,8)<0，∴f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,24)<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
再取x3＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))＝eq \f(5,4)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))＝eq \f(17,192)>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2))).
故f(x)＝0的实数解x0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内．
3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
[解析]从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面．从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里．在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币．综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币．故填3.
4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解析] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝eq \f(－1－2,2)＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝eq \f(－1.5－2,2)＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝eq \f(－1.75－2,2)＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝eq \f(－1.875－2,2)＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
x4＝eq \f(－1.875－1.937 5,2)＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，－1.906 25)
x5＝eq \f(－1.937 5－1.906 25,2)＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝eq \f(－1.937 5－1.921 875,2)＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
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