2023-2024学年广西示范性高中高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为( )
A. 56B. 23C. 12D. 13
2.对具有线性相关关系的变量x,y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程y=10.5x+a，据此模型预测当x=20时，y的估计值为( )
A. 210B. 210.5C. 211.5D. 212.5
3.已知在等差数列{an}中，a3+a7=24，a6=20，则公差d等于( )
A. 8B. 6C. 4D. −4
4.从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为( )
A. A32A83B. A32A53C. C32C53D. C32C83
5.下列导数运算错误的是( )
A. fx=xex，则f′x=x+1exB. fx=sinπ3，则f′x=csπ3
C. fx= x，则f′x=12 xD. fx=lnxx，则f′x=1−lnxx2
6.已知(x+2x)n的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A. 24B. 18C. 12D. 6
7.设Sn为数列an的前n项和，若a1=2，Sn+1−3Sn=2，则下列各选项在正确的是( )
A. an=2⋅13n−1B. an=3n−1C. Sn=2×3n−4D. Sn=3n−1
8.已知fx=alnx+12x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有fx1−fx2x1−x2>1恒成立，则a的取值范围是( )
A. 14,+∞B. 14,+∞C. 0,14D. 0,14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s2，则( )(若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2，P(Z<μ+σ)≈0.8413)
A. P(X>2)>0.2B. P(X>2)<0.5C. P(Y>2)>0.5D. P(Y>2)<0.8
10.已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是( )
A. a5=4B. Sn=12n2+52n
C. ann为递减数列D. {1anan+1}的前5项和为421
11.已知函数f(x)=lnx−x+1x−1，则( )
A. f(x)的定义域为(0,+∞)
B. f(x)的图像在(2,f(2))处的切线斜率为52
C. f(1x)+f(x)=0
D. f(x)有两个零点x1，x2，且x1x2=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为 ．
13.已知数列an满足a1=1，an−an+1=2nanan+1，则an= ．
14.若方程xlnx+ex+1−ax=0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
将A，B，C，D这4个小球放入4个不同的盒子中．
(1)若A，B要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
(2)若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？
16.(本小题15分)
已知函数fx=x−2ex．
(1)求fx在x=0处的切线方程；
(2)求fx在区间0,3上的最小值．
17.(本小题15分)
为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
(1)试通过计算，判断是否有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量X，求X的数学期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d．
临界值表：
18.(本小题17分)
记Sn为等差数列an的前n项和，已知S3=15，S5=35．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=an2n，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知函数fx=lnx+ax2−3xa∈R．
(1)若函数fx在点2,f2处的切线与直线3x−2y=0平行，求函数fx的极值；
(2)若a>0，gx=1−ax，ℎx=fx+gx，求ℎx的单调区间．
答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.B
6.A
7.D
8.A
9.BC
10.BC
11.BCD

13.12n−1
14.(e+1,+∞)
15.解：(1)
若A，B要放入同一个盒子中，根据捆绑法，可看成将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，不同的放法有43=64种．
(2)
第一种情况：4个小球各自放入4个不同的盒子中，共有A44=24种放法．
第二种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球同时放入另一个盒子中，共有C42C22A22⋅C42⋅A22=36种放法．
第三种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球各自放入一个盒子中，共有C42C43A33=144种放法．
故不同的放法有24+36+144=204种．
16.解：(1)
f′x=x−1ex，f′0=−1，f0=−2，
所以fx在x=0处的切线方程为y+2=−x，即x+y+2=0；
(2)
f′x=x−1ex，令f′x=0，得x=1，
所以fx在区间0,3上的最小值为−e．
17.解：(1)
由表中数据可知，K2=200(35×40−65×60)2105×95×100×100=5000399≈12.53>10.828，
所以有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
(2)
由题意可知，X的可能取值为2,3,4,5,6，
则PX=2=1C62=115,PX=3=C21C62=215,PX=4=C31C62=15，
PX=5=C41C62=415,PX=6=C51C62=13，
所以EX=2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143．
18.解：(1)
设an的公差为d，则S3=3a1+3d=15，S5=5a1+10d=35，
解得a1=3，d=2．
故an=3+n−1×2=2n+1．
(2)
由(1)可得bn=2n+12n，
所以Tn=3×12+5×122+7×123+⋅⋅⋅+2n+1×12n，①
则12Tn=3×122+5×123+7×124+⋅⋅⋅+2n+1×12n+1，②
①−②，得12Tn=3×12+2122+123+⋅⋅⋅+12n−2n+1×12n+1
=32+12×1−12n−11−12−2n+1×12n+1=52−2n+52n+1，
所以Tn=5−2n+52n．

19.解：(1)
由题意得函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=1x+2ax−3，
则f′2=12+4a−3=32，解得：a=1，
所以f′x=1x+2x−3=2x2−3x+1x，
令f′x=0，解得：x=1或x=12，
当x∈0,12或x∈1,+∞时，f′x>0，函数fx单调递增，
当x∈12,1时，f′x<0，函数fx单调递减，
则当x=1时，函数fx取得极小值，为f1=ln1+1−3=−2，
当x=12时，函数fx取得极大值，为f12=ln12+14−32=−ln2−54；
(2)
ℎx=lnx+ax2−2x−ax，x>0,a>0，
ℎ′x=1x+2ax−2−a=2ax2−2+ax+1x=2x−1ax−1x，x>0，
当a=2时，ℎ′x≥0，ℎx在0,+∞单调递增，
当a>2时，x∈0,1a，ℎ′x>0，ℎx在0,1a上单调递增，
x∈1a,12，ℎ′x<0，ℎx在1a,12上单调递减，
x∈12,+∞，ℎ′x>0，ℎx在12,+∞上单调递增，
当00，ℎx在0,12上单调递增，
x∈12,1a，ℎ′x<0，ℎx在12,1a上单调递减，
x∈1a,+∞，ℎ′x>0，ℎx在1a,+∞上单调递增，
综上所述，当a=2时，ℎx的单调递增区间为0,+∞，
当a>2时，ℎx的单调递增区间为0,1a，12,+∞，ℎx的单调递减区间为1a,12，
当0x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
多于5本
少于5本
合计
活动前
35
65
100
活动后
60
40
100
合计
95
105
200
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
0
0,1
1
1,3
3
f′x
−
0
+
fx
−2
单调递减
−e
单调递增
e3