初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解4.1 因式分解优质课课件ppt

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知识点一 因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
知识点二、提取公因式法
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
正确找出多项式的公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
提取公因式法的一般步骤：（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
知识点三、乘法公式进行因式分解
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
(a–b) (a+b) =a2−b2
(b+a)(−b+a )=a2−b2
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（    ）A．a（a+1）=a2+a B．a2-2a-3=a(a-2)-3C．(a-b)x-(a-b)y=(a-b)(x-y)D．(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2
【详解】解：A、等式从左边到右边属于整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、等式从左边到右边把一个多项式化成整式积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；D、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C．
考点训练一 判断是否是因式分解
【例2】下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ）A．x2-4=(x-2)(x+2)B．(a-1)2=a2-2a+1C．x2-2x-6=x(x-2)-6D．x(x-1)=x2-x
【详解】解：A.x2-4=(x-2)(x+2) ，符合因式分解的形式，符合题意；    B. (a-1)2=a2-2a+1，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；C. x2-2x-6=x(x-2)-6，右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；    D. x(x-1)=x2-x，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意故选：A．
1．(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果
【详解】解：∵(x＋3)(2x－1)=2x2＋5x－3∴(x＋3)(2x－1)是多项式2x2＋5x－3因式分解的结果．
2．在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是_________，从右到左的变形中_________.
【详解】在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是整式乘法，从右到左的变形是因式分解.
3．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.（1）8a3b2-12ab4+4ab=4ab(2a2b-3b3)；（2）4x4-2x3y=x3(4x-2y)；（3）a2(a-1)=a3-a2
【详解】（1）∵8a3b2-12ab4+4ab=4ab(2a2b-3b3+1)∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；（2）∵4x4-2x3y=2x3(2x-y)∴原式错误，原因是公因式没有提完；（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式∴a2(a-1)=a3-a2是整式乘法运算，不是因式，∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆
【例3】多项式2x2-5x-3可因式分解成(ax+1)(x+b)，其中a、b均为整数，则ab的值为（    ）A．-5B．-6C．6D．5
【详解】解：∵(ax+1)(x+b)=ax2+(ab+1)x+b=2x2-5x-3∴ab+1=-5，即ab=-6．故选：B．
考点训练二 已知因式分解的结果求参数
【例4】如果多项式x2-mx-35分解因式为(x-5)(x+7)，则m的值为（　　）A．-2 B．2C．12 D．-12
【详解】解：∵(x-5)(x+7)=x2+7x-5x-35=x2+2x-35=x2-mx-35，∴m=-2．故选：A．
1．如果多项式x2+mx+n能分解因式为(x-2)(x+5)，则m+n=___
【详解】解：∵(x-2)(x+5)=x2+3x-10，且多项式x2+mx+n能分解因式为(x-2)(x+5)，∴m=3,n=-10，∴m+n=3+(-10)=-7，故答案为：-7．
2．若多项式m2+9m-36可因式分解成(m+a)(m+b)，其中a、b均为整数，则a+b的值是______．
【详解】解：∵(m+a)(m+b)=m2+(a+b)m+ab，且a,b为整数，∴a+b=9，故答案为：9．
3．22．已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax-1．(1)若A+B=(x-2)2，求a的值；(2)若A-B可以分解为(x-2)(x-3)，求a的值．
【详解】（1）解：∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5，∴A+B=x2+3x+5+ax-1=x2+(3+a)x+4，∵A+B=(x-2)2，∴x2-4x+4=x2+(3+a)x+4，∴3+a=-4，∴a=-7；
（2）∵A=x2+3x+5，B=ax-1，∴A-B=x2+3x+5-(ax-1)=x2+(3-a)x+6，∵A-B可以分解为(x-2)(x-3)，∴x2+(3-a)x+6=(x-2)(x-3)=x2-5x+6，∴3-a=-5，∴a=8．
【例5】若a+b=7，ab=10,则a2b+ab2的值应是（　　）A．7B．10C．70D．17
【详解】解：∵a+b=7,ab=10，∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70．故选C．
考点训练三 提公因式法因式分解
【例6】多项式3a2b2-15a3b3-12a2b2c的公因式是（    ）A．3a2b2B．-15a3b3C．3a2b2cD．-12a2b2c
【详解】解：由题意可得，多项式3a2b2-15a3b3-12a2b2c的公因式是：3a2b2，故选A．
1．已知2x-y=3,xy=1，则2x2y-xy2=_____．
【详解】解：∵2x-y=3,xy=1，∴2x2y-xy2=xy(2x-y)=1×3=3故答案为：3．
2．若xy=3，x+y=5，则x2y+xy2=__________．
【详解】解：∵xy=3，x+y=5，∴x2y+xy2=xy(x+y)=3×5=15，故答案为：15．
【例7】下列多项式，能用平方差公式分解的是（　　）A．-x2+4y2B．9x2+4y2C．x2+(-2y)2 D．-x2-4y2
【详解】解：A、能用平方差公式进行分解，故此选项正确；B、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；D、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；故选：A．
考点训练四 用公式法进行因式分解
【例8】下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　）A．x2-2xy-y2B．-9x2+4y2C．-9x2-4y2D．x2-4y2+4xy
【详解】解：A．x2-2xy-y2无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；B．-9x2+4y2 ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意；C．-9x2-4y2 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；D． x2-4y2+4xy无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；故选：B．
1．分解因式：ax2+2ax+a= ________．
【详解】解：ax2+2ax+a=a(x2+2x+1)=a(x+1)2，故答案为：a(x+1)2．
2．已知x2+x=3，则代数式x3+x2-3x+2021的值为________．
【详解】解：∵x2+x=3，∴x3+x2-3x+2021=x(x2+x)-3x+2021=3x-3x+2021=2021故答案为：2021．
【例7】对于任意整数m，多项式(4m-5)2-9都能被下列选项中的整除（　　）A．8B．mC．m-1 D．m+2
【详解】解：∵(4m-5)2-9=(4m-5-3)(4m-5+3)=(4m-8)(4m-2)=8(m-2)(2m-1)，∴对于任意整数m，多项式(4m-5)2-9都能被8整除．故选A．
考点训练五 因式分解的应用
【例8】在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9,y=9，则各个因式的值是：x-y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3-xy2，取x=50，y=20,用上述方法产生的密码不可能是（  　）A．503070B．507030C．307040D．703050
【详解】解：∵x2-xy2=x(x2-y2)，=x(x+y)(x-y)∵=50,y=20，则各个因式的值为x=50，x+y=70，x-y=30,∴产生的密码不可能是307040，故选：C．
1．有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______ ．
【详解】解：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)，故答案为：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．