广西百色市平果市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广西百色市平果市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在中，，，，则边上的高为等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章8.4。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，且，则实数（ ）
A.1或4B.1或C.或1D.或1
2.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台
3.复平面内表示复数的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的大小为（ ）
A.B.C.D.
5.已知斜三棱柱的体积为2，则四棱锥的体积是（ ）
A.B.C.D.
6.在中，，，，则边上的高为（ ）
A.B.C.3D.
7.若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，，，则原四边形的面积为（ ）
A.B.C.D.
8.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某同学选择地面作为水平基线，使得，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得点的仰角分别是和，，则建筑物的高度为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A.既有大小，又有方向的量叫作向量B.所有单位向量都相等
C.零向量没有方向D.平行向量也叫作共线向量
10.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
A.平行B.相交C.异面D.以上皆不可能
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，，，则只有一解
C.若，则为直角三角形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知（是虚数单位），则的虚部为______.
13.如图，一艘船以每小时的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为______km.
14.有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知复数满足：是实数，的模为，的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限.
（1）求；
（2）若，求，的值.
16.（本小题满分15分）
已知平面向量，满足，，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角的大小.
17.（本小题满分15分）
在中，内角、、所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，，求、的值.
18.（本小题满分17分）
如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少？
（2）要在这样1000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.02克，共需胶多少克？
19.（本小题满分17分）
如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）设，证明：，，三点共线.
2023~2024学年度春季学期平果市第二中学高一期中考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 由，有，解得或.
2.D 过长方体三个顶点、、的截面为三角形；圆锥轴截面为三角形；过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形.
3.C ，故对应的点在第三象限.
4.A 由正弦定理得，原式可化为，，是直角三角形.，，.
5.D ，，.
6.A 根据余弦定理：.设边上的高为，则，，.
7.D 在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，，则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，，，，如图.所以四边形的面积为.故选D.
8.A 在中，，由正弦定理，得，在中，，故选A.
9.AD 根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答，由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选AD.
10.ABC 当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确.
11.AD 对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形或直角三角形，有；若为钝角三角形，不妨设为钝角，有，，，有，可知D选项正确.故选AD.
12.3 ，，虚部为3.
13. 由图知，，由正弦定理有.
14. ，，.
15.解：（1）设复数，
是实数，，
，，
又在第一象限，，，，
，；
（2）由（1）得：，，，
，
，.
16.解：（1）因为，，又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，，
，
所以向量与夹角的余弦值为，
又由，可得.
17.解：（1）由余弦定理有
因为，可得；
（2）由题意有，可得
又由，有，可得
有
联立方程，解得或
故，或，.
18.解：（1）该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，1000个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方厘米需要涂胶0.02克，
所以总共需要胶的质量为（克）.
19.（1）证明：如图，连接，，.
在正方体中，，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
，所以，，，四点共面；
（2）证明：由，，又平面，平面，
同理平面，又平面平面，
，即，，三点共线.