浙教版九年级上册3.7 正多边形优秀同步训练题

这是一份浙教版九年级上册3.7 正多边形优秀同步训练题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若一个正多边形的每个内角都为135，则这个正多边形的边数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
2.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数为( )
A. 60∘B. 70∘C. 72∘D. 144∘
3.将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形ABCDEF上，顶点C,F分别对应直尺上的刻度12和4，则AB与CF之间的距离为
A. 8B. 2 3C. 4 3D. 4
4.正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
5.如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图 ④中的虚线AB剪下(点A和B为半径的中点)，得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为( )
A. 360∘B. 720∘C. 1080∘D. 1440∘
6.《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE.再连接AD，EF，AD，EF交于点G.则下列结论不正确的是( )
A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE= 2D. AF⊥AD
7.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (2 3,3)B. (3 3,−2)C. (2 3,−3)D. (3 3,−3)
8.如图，等腰三角形ABC的顶点是圆的n等分点，且腰AC，BC所对的劣弧(不包括A，B，C)上分别有3个n等分点，若等腰三角形ABC是钝角三角形，则n至少是( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
9.如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，若EF=2，则BC的长为( )
A. 2 2B. 2 3C. 5D. 6
10.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在AE⌢上．若∠CDF=78°，则∠DCF的度数为 ( )
A. 64°B. 66°C. 70°D. 72°
11.如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE=( )
A. 90∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘
12.如图，电子屏幕上有边长为1的正六边形ABCDEF，红色光点和蓝色光点会按规则在六个顶点上闪亮.规则为：红点按顺时针方向每秒一个顶点依次闪亮(例如，经过1秒由点A亮变为点F亮)，蓝点按逆时针方向每秒隔1个顶点闪亮(例如，经过1秒由点A亮变为点C亮)，若一开始，红点在A处，蓝点在B处同时开始闪亮，则经过751秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC= °.
14.已知一个正六边形的边心距为 3，则它的半径为 ．
15.蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
16.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为3 32，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为_________.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，正三角形ABC的边长是2 3，求此正三角形的半径、边心距和面积．
18.(本小题8分)
无锡水蜜桃是是江苏最有名的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．

19.(本小题8分)
如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求S1S2的值(结果保留π)．
20.(本小题8分)
如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，求∠BDF的度数．
21.(本小题8分)
如图是正方形、正五边形、正六边形．
(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角a4，a5，a6，则a4= °，a5= °，a6= °.
(2)按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为an，请用含n的式子表示an= (其中n为不小于4的整数)．
(3)若an=150∘，求相应的正多边形的边数n．
22.(本小题8分)
如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6．
(1)求∠ADF的度数;
(2)求线段PD的长;
(3)若点M为FD上一点(不与点F，D重合)，连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和．
23.(本小题8分)
如图(1)，蜜蜂蜂巢的表面是由一个个正六边形组成的，在图(2)中画出一个正六边形的所有对角线．
24.(本小题8分)
如图，正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点H．
(1)求证：△ABF≌△BCG；
(2)求∠AHG的度数．
25.(本小题8分)
如图，H，I，J，K，L分别是正五边形ABCDE各边的中点．求证：五边形HIJKL是正五边形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握正多边的内角与它相邻的外角和为180°，首先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为360°，算出边数即可．
【解答】
解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴此多边形的每一个外角是：180°−135°=45°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8．
故选B．
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，正三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】
解：如图，
由题意可知，正六边形ABCDEF，CF=12−4=8，连接BE交CF于点O，由正六边形的对称性可知，点O是正六边形ABCDEF的中心，过点B作BM⊥CF，垂足为M，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠BOC=360°6=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=CF=4，
∵BM⊥CF，
∴∠OBM=12×60°=30°，
在Rt△BOM中，∠OBM=30°，OB=4，
∴BM=OB=2 3，
即AB与CF之间的距离为2 3．
4.【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
本题考查正多边形和圆的关系．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是剪纸问题，正多边形及其概念的有关知识，根据题意得到剩余部分展开后得到的正多边形是正八边形，然后求出每个内角，进而求出此题．
【解答】
解：∵沿图 ④中的虚线AB剪下(点A和点B均为半径的中点)，得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的正多边形是正八边形，
∴每个内角为180∘−360∘÷8=135∘，
∴剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为135°×8=1080°
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查作图−复杂作图：画正多边形，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理、正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，属于中考常考题型．
根据圆周角定理和等腰三角形判定即可判断A；证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明EF= 3AE，可判断C；证明∠FAD=90°即可判定D．
【解答】
解：在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，AF=DE，
∴AF=DE，
∴∠ADF=∠EFD，
∴GF=GD，故A正确；
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，∠AFE=∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∴AF⊥AD，∠FGA=60°，故 B、D正确；
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF= 3AE，故C错误．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，与y正半轴的交点为F，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
由正六边形的性质可知正六边形被分成六个全等的等边三角形，OB是线段OF垂直平分线且平分等边三角形DBF的顶角FBD，
∴在直角三角形ODB中，∠OBD=30°，
∴DQ=DB=2OD，
∵OD+DQ=3，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)．
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形的性质与计算，坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：设圆心为O，连接OA、OB、OC、OD，
∵AB=AC，
∴∠CBA=∠CAB
∴∠ACB=180°−∠CBA−∠CAB=180°−2∠CBA，
∵等腰三角形ABC是钝角三角形，
∴∠ACB>90°，
∴180°−2∠CBA>90°，
∴∠CBA<45°，
∵∠CBA=12∠COA，
∴12∠COA<45°，
∴∠COA<90°，
∵点A、D是⊙O的n等分点，且AC所对的劣弧上有3个n等分点，
∴∠COA=4×360°n，
∴4×360n<90，
∵n是正整数，
∴n>16，
∴n的最小值为17，
故选：C．
设圆心为O，连接OA、OB、OC、OD，由AB=AC，得∠CBA=∠CAB，则∠ACB=180°−2∠CBA>90°，所以∠CBA<45°，因为∠CBA=12∠COA，所以12∠COA<45°，则∠COA<90°，于是得4×360n<90，因为n是正整数，所以n>16，则n的最小值为17，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理、不等式的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形的计算，圆的相关概念，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握正多边形计算的思路与方法；连接OB、OC、OE、OF，过点O作OM⊥BC于M，根据等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，得出∠BOC=360°3=120°，∠EOF=360°4=90°，OB=OC=OE=OF，在Rt△EOF中，利用勾股定理求出OE= 2，得出OB=OC= 2，根据OB=OC，∠BOC=120°，OM⊥BC于M，得出∠OBC=∠OCB=30°，BM=CM=12BC，∠BMO=90°，利用含30°角的直角三角形的性质得出OM=12OB= 22，利用勾股定理求出BM的长，进而得出BC的长，即可求解．
【解答】
解：连接OB、OC、OE、OF，过点O作OM⊥BC于M，如图：
∵等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，
∴∠BOC=360°3=120°，∠EOF=360°4=90°，OB=OC=OE=OF，
在Rt△EOF中，∠EOF=90°，EF=2，OE=OF，
∴OE2+OF2=EF2，即2OE2=22，
∴OE= 2，
∴OB=OC= 2，
∵OB=OC，∠BOC=120°，OM⊥BC于M，
∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC2=30°，BM=CM=12BC，∠BMO=90°，
∴OM=12OB= 22，
根据勾股定理可得，BM= OB2−OM2= 22− 222= 62，
∴BC=2BM= 6．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠CDE与∠EOD的度数是解题的关键．连接OE，OD，CE，根据正五边形的性质得出∠CDE的度数，从而得出∠FDE的度数即∠FCE的度数，再根据正五边形ABCDE内接于⊙O，得出∠ECD的度数即可求解．
【解答】
解：如图，连接OE，OD，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，
∵∠CDF=78°，
∴∠FDE=∠CDE−∠CDF=108°−78°=30°，
∴∠FCE=30°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠EOD=360°÷5=72°，
∴∠ECD=12∠EOD=36°，
∴∠FCD=∠FCE+∠ECD=30°+36°=66°．
故选B．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的内角和定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正多边形与圆的关系，多边形的内角和外角的有关知识.连接AO，然后利用圆周角定理和等边三角形的性质求出∠AOC，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ACO，再利用正多边形的性质求出∠1，进而求出∠ACO+∠ABE．
【解答】
解：连接AO，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=(180°−120°)÷2=30°，
∵六边形ADBECF为正六边形，
∴∠BEC=(6−2)×180°÷6=120°，BE=EC，
∴∠1=∠BCE=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠1=60°+30°=90°，
∴∠ACO+∠ABE=30°+90°=120°
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形的计算，图形规律问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是确定经过751秒后红点、蓝点的具体位置；根据红色光点和蓝色光点的运动要求，确定经过751秒后红点、蓝点的具体位置，再根据正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据题意可知，红点从点A出发，每经过6秒回到原出发点；蓝点从点B出发，每经过3秒回到原出发点；
∵751÷6=125⋯⋯1，751÷3=250⋯⋯1，
∴经过751秒后红点落在点F处，蓝点落在点D处，
连接DF，过点E作EG⊥DF于G，如图：
∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，
∴ED=EF=1，∠DEF=6−2×180°6=120°，
∴∠EFD=∠EDF=180°−∠DEF2=180°−120°2=30°，
∵EF=ED，EG⊥DF于G，
∴FG=DG=12DF，∠DGE=90°，
在Rt△DEG中，∠DGE=90°，∠EDG=30°，DE=1，
∴EG=12DE=12，
∴DG= DE2−EG2= 12−122= 32，
∴DF=DG+FG=2DG= 3，
∴经过751秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是 3．
故选：C．
13.【答案】132
【解析】连结OC，AO，BO，如图．
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB=360∘÷6=60∘，
∴∠ABO=60∘．
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360∘÷10=36∘．
∵OB=OC，
∴∠OBC=12×(180∘−36∘)=72∘，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=60∘+72∘=132∘．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形，根据勾股定理计算，属于常规题．
设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据勾股定理即可求得OA．
【解答】
解：如图，在Rt△AOG中，OG= 3，∠AOG=30°，
∴OA=2AG，
∵OG2+AG2=OA2，
∴( 3)2+(12OA)2=OA2，
∴OA=2．
故答案为2．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形与圆有关知识，先求出正六边形的每个外角，然后再进行解答
【解答】
解：如图
正六边形的一个外角为360°6=60°
∠O=180°−2×60°=60°，
∴共需正六边形的个数为360°60°=6
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过 A 作 AM⊥OB 于 M ，求得 ∠AOB=360∘÷12=30∘ ，根据直角三角形的性质得到 AM=12OA=12 ，根据三角形的面积公式得到 S▵AOB=14 ，于是得到正十二边形的面积为 12×14=3 ，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：如图， AB 是正十二边形的一条边，点 O 是正十二边形的中心，

过 A 作 AM⊥OB 于 M ，
在正十二边形中， ∠AOB=360∘÷12=30∘ ，
∴AM=12OA=12 ，
∴S▵AOB=12OB⋅AM=12×1×12=14 ，
∴ 正十二边形的面积为 12×14=3 ，
∴3=12×π ，
∴π=3 ，
∴π 的近似值为3，
故答案为3．
17.【答案】解：如图，设点O是正三角形ABC的中心，
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
则∠ODB=90∘，BD=CD=12BC= 3，
∵∠BOC=360∘3=120∘，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=180∘−120∘2=30∘，
在Rt△OBD中，∠OBC=30∘，
∴OB=2OD，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(2OD)2=OD2+( 3)2．
∴OD=1．
∴OB=2OD=2．
S△ABC=3×12BC×OD=3×12× 2 3×1=3 3．
∴此正三角形的半径是2，边心距是1，面积是3 3．

【解析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质，正多边形的计算，三角形的面积有关知识，设点O是正三角形ABC的中心，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，先求出∠OBC=∠OCB=30°，然后利用30°直角三角形的性质得出OB=2OD，再利用勾股定理求出OD，从而求出OB，最后利用三角形的面积计算
18.【答案】解：任务1：设水蜜桃产量的年平均增长率为x，
由题意得：
35(1+x)2=50.4，
解得：x1=0.2，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
答：水蜜桃产量的年平均增长率为20%；
任务2：设裁掉正方形的边长为m(cm)，由题意得：
(75−2m)×(80−2m)=3300，
化简得，4m2−310m+2700=0，
整理得，(m−10)(4m−270)=0，
解得：m1=10，m2=1352(不符合题意舍去)，
答：此时纸盒的高为10cm；
任务3：(150−8 3)cm；
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
任务1：设水蜜桃产量的年平均增长率为x，则2022年的产量为35(1+x)2千克，由2022年的产量解方程即可；
任务2：由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为m(cm)，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，根据正六边形的性质求得△ABG为含30°角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
【解答】
解：任务1：见答案；
任务2：见答案；
任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点M、N，
设底面正六边形的边长为a(cm)，纸盒的高为b(cm)，
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
由正六边形的性质可得BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠AGB=90°，
∴直角三角形ABG中，BG=12a，AG= 32a，
同理可得直角三角形FHE中，HE=12a，
∵CG=AG= 32a，b+AG+GC+b=75，
∴2b+ 3a=75①，
∵左侧小三角形顶点B的角度=360°−120°−90°−90°=60°，
∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，
根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直，
∴BM为等边三角形的高，
∴BM= 32b，
同理可得，EN=BM= 32b
∵四边形AGHF为矩形，
∴GH=AF=a，
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80，
∴2a+ 3b=80②，
联立①②式可得b=150−8 3，
答：纸盒的高为(150−8 3)cm；
19.【答案】(1)证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
(2)解：过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE=360°6=60°，OD=OE=r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=r，∠OED=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=12r，
∴OG= OE2−EG2= 32r，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×12×r× 32r=3 32r2，
∵⊙O的面积=πr2，
∴S1S2=πr23 32r2=2 3π9．
【解析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF=ED=CD=BC，求得EF=ED=CD=BC，于是得到∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即可得到结论；
(2)过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE=OD=r，∠OED=60°，根据勾股定理得到OG= OE2−EG2= 32r，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
20.【答案】54∘
【解析】略
21.【答案】解：(1)90；108；120；
(2)n−2·180°n；
(3)令(n−2)n⋅180=150，整理得n−2n=56，
∴n=12．
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，正多边形的计算，解答本题的关键是发现求an的度数满足的运算规律．
(1)根据三角形的外角性质，正多边形内角度数的计算方法进行解答，即可求解；
(2)根据(1)的运算结果，得出规律，按照规律直接写出答案即可；
(3)根据(2)中的结论列出关于n的方程，解方程，即可求解．
【解答】
解：(1)如图：
根据正方形的性质可知，∠3=∠2，∠1+∠3=4−2×180°4=90°，
根据三角形的外角性质可得，α4=∠1+∠2=∠1+∠3=90°；
如图：
根据正五边形的性质可知，∠3=∠2，∠1+∠3=5−2×180°5=108°，
根据三角形的外角性质可得，α5=∠1+∠2=∠1+∠3=108°；
如图：
根据正六边形的性质可知，∠3=∠2，∠1+∠3=6−2×180°6=120°，
根据三角形的外角性质可得，α6=∠1+∠2=∠1+∠3=120°．
故答案为：90；108；120；
(2)根据(1)的运算结果，得出规律：αn=n−2·180°n(其中n为不小于4的整数)．
故答案为：n−2·180°n；
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)如图1，连接FO，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴AD为⊙O的直径，∠AFD=90∘，
∴∠AOF=60∘，
∴∠ADF=12∠AOF=30∘．
(2)∵PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径，
∴∠ADP=90∘，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴∠PAD=60∘，
在Rt△PAD中，AD=12，
∴PD=AD⋅tan60∘=12× 3=12 3．
(3)18 3．
【解析】【分析】
本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为90°，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键。
(1)连接FO，AD为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为90°”得∠AFD=90∘，由正六边形的性质可得∠AOF=60°，进而得出∠ADF的度数；
(2)由正六边形的性质可得∠PAD=60∘，在Rt△PAD中，AD=12，解直角三角形即可求线段PD的长;
(3)根据三角形面积公式计算即可：S△AFM+S△CDM=12×AF×FM+12×CD×DM=12×AF×DF．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案;
(3)解：∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴AF=CD，AF⊥DF，CD⊥DF，
∵AD为⊙O的直径，⊙O的半径为6，∠ADF=30∘，
∴∠AFD=90∘，AD=12，
∴FD=6 3，AF=6，
∴ S△AFM+S△CDM =12×AF×FM+12×CD×DM =12×AF×FM+12×AF×DM =12×AF×(FM+DM) =12×AF×DF =12×6×6 3 =18 3
23.【答案】解：正六边形有6个顶点，每个顶点有3条对角线，共有18条对角线，每条对角线被计算了两次，所以共有9条对角线.如图中第三个图形
【解析】本题考查了多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点可以得到一条对角线．
n边形每一个顶点可以画(n−3)条对角线，总对角线条数为n(n−3)2．
24.【答案】【小题1】
∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABF=∠BCG，AB=BC=CD.∵点F，G分别是BC，CD的中点，∴BF=12BC，CG=12CD，∴BF=CG.在△ABF和△BCG中，{B=BC,∠ABF=∠BCG,BF=CG,
∴△ABF≌△BCG(SAS)．
【小题2】
∵△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，根据多边形内角和公式，可得∠ABC=180∘×5−25=108∘，∴∠AHG=∠ABH+∠BAF=∠ABH+∠CBG=∠ABC=108°．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】证明：∵H，I，J，K，L分别是正五边形ABCDE各边的中点，
∴AH=HB=BI=IC=CJ=JD=DK=KE=EL=LA．
∴∠AHL=∠ALH，∠BHI=∠BIH，∠CIJ=∠CJI，∠DJK=∠DKJ，∠EKL=∠ELK．
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∴△ALH≌△BHI≌△CIJ≌△DJK≌△EKL．
∴HL=HI=IJ=JK=KL，∠AHL=∠ALH=∠BHI=∠BIH=∠CJI=∠CJI=∠DJK=∠DKJ=∠EKL=∠ELK．
∴∠LHI=∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLH．
∴五边形HIJKL是正五边形
【解析】略信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对水蜜桃的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年水蜜桃平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二
一般采用的是长方体包装盒．
素材三
果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务1
求水蜜桃产量的年平均增长率；
任务2
现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形(如图1)，折成无盖长方体纸盒(如图2).为了放下适当数量的水蜜桃，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3
为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图4)，则此时纸盒的高为 .(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)