[数学]四川省泸州市龙马潭区五校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中试题（解析版）

这是一份[数学]四川省泸州市龙马潭区五校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A. ，， B. 6，7，8C. 2，3，4D. 8，15，17
【答案】D
【解析】A. ，故不为直角三角形；
B. 62+72≠82，故不为直角三角形；
C. 22+32≠42，故不为直角三角形；
D. 82+152=172，故为直角三角形．
故选D．
2. 下列四个二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.，不最简二次根式，该选项不符合题意；
B.，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A项，，计算正确，故本项不符合题意；
B项，，计算正确，故本项不符合题意；
C项，，计算正确，故本项不符合题意；
D项，，原计算错误，故本项符合题意；
故选：D．
4. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
【答案】B
【解析】A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误；
D.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
故选：B．
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A. 22B. 20C. 16D. 10
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16−6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
6. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故选：．
8. 估计的值应在（ ）
A. 0与1之间B. 1与2之间C. 2与3之间D. 3与4之间
【答案】B
【解析】
∵
∴
∴
∴
∴
∴的值应在1与2之间．
故选：B
9. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】由数轴可知，
，，
．
故选：D．
10. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ）
A. 19B. 13C. 42D. 29
【答案】D
【解析】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
，且直角三角形的斜边长为，
大正方形的边长为，则，
大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，
，即，则，
，
故选：D．
11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
12. 如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点作，交延长线于点，
∵在边长为4的菱形中，，是边的中点，
∴，，
∴，∴，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴．
故选：A．
二、填空题
13. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】若二次根式有意义，则的取值范围是，解得，
故答案为：．
14. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，则四边形的周长为____________．
【答案】
【解析】∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵O是矩形的对角线的中点，
M是的中点，
∴，，，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
15. 如图，长方形中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为____________．
【答案】
【解析】根据题意，在长方形中，，
，
，
以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于，
，
表示的数为，
点所表示的数为，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中， ，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】如图，记的交点为，作关于的对称点，连接，作于，

∵菱形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，的值最小为，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，
原式．
19. 如图所示，在平行四边形中，，垂足分别为．求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
四、解答题
20. 已知，，求的值．
解：，，
． ．

．
21. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元?

解：连接BD

∵∠A=90°
∴DB2=AB2+AD2=25
∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2
∴∠DBC=90°
∴S四边形 = ，
∴36×100=3600
答：需投入3600元．
五、解答题
22. 如图，一艘渔船正以的速度由西向东追赶鱼群，在点A处看见小岛C在船的北偏东方向上，后，渔船行至点B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上；
（1）求点A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达点B处后，航行方向不变，则渔船继续航行多长时间才能与小岛C之间的距离最短？
（1）解：如图，记的交点为，
由题意知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴A处与小岛C的距离是．
（2）解：如图，作的延长线于，
∴与小岛C之间的最短距离为，
∴，∴，
∵，∴渔船继续航行小时或（10分钟）才能与小岛C之间的距离最短．
23. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
（1）证明：，
，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，即，解得，
．
六、解答题
24. 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：
，，，．
（1）观察算式规律，计算、 ； ；
（2）用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ；
（3）计算： ．
解：（1）；；
故答案为：；
（2）由题意，可得：或；
（3）
．
25. 如图，平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=cm，∠B=45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）
（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=AB•sin∠B=3× =3（cm）；
（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3，EN=|6-t|，
∴AN2=32+（6-t）2，
∴32+（6-t）2=t2，
解得t=．
所以当t为时，四边形AMCN为菱形；
（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=|t-（6-t）|=|2t-6|（注：分点Q在点M左右两种情况），
∵QN=AE=3，
∴|2t-6|=3，
解得t=4.5或t=1.5．
所以当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．