[数学]辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版）

这是一份[数学]辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知等差数列的前项和为，则， 下列求导运算正确的是， 已知，函数的大致图象可能是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，则（ ）
A. 8B. 11C. 18D. 19
【答案】D
【解析】由，得.
故选：D
2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：A
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】D
【解析】由，可得，
所以数列是以2为周期的周期数列，故.
故选：D
4. 定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，，无法判断单调性，故A错误；
对于B，，，无法判断单调性，故B错误；
对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；
对于D，，，无法判断单调性，故D错误.
故选：C.
5. 已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，所以由图像可知，，
而表示过点直线的斜率，
由图像可知，，
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 14B. 26C. 28D. 32
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
则，
则，所以.
故选：B.
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
8. 已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
由，得，
则，即，
因为，所以，解得，所以，
所以，
当为奇数时，，所以，
当为偶数时，，所以，所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】因为，
所以错误；
因为，
所以正确；
因为，
所以错误；
因为，所以D正确.
故选：BD
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，，
，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；
当时，，，
当时，；
当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递减，
在上单调递增，且当时，恒成立，
又，A正确；
对于B，当时，，
，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
又，B正确；
对于C，当时，，，
，的定义域为，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
在上单调递减，且当时，恒成立；
由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；
对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
此时图象应为B中图象，D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C 恒成立
D. 若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】当时，，即，所以.
当时，，所以，
即.
因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故A正确；
由，得，则，
所以数列为常数列，所以，即，故B错误；
故.
当时，，令，可得，
令，可得，所以，
则当或时，取得最大值，故C正确；
，因为关于的不等式恰有两个解，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若函数的导函数为，则__________.
【答案】
【解析】由题意得，
令，
得，
则，所以.
故答案为：.
13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设等比数列公比为，由题意知且，
则，
解得，则，所以.
易知当时，，当时，，
故的最小值为.
故答案为：
14. 以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.
【答案】① ②
【解析】构造函数，则.
，当时，，则在上单调递减，
而，故，
所以.
又，，所以，
故.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
解：（1）因为四边形周长为12，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.
（3）由，得.
，
则，
所以在处的瞬时变化率为-30.
16. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
（1）证明：.
（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
解：（1）设数列的公差为，
因为是和的等差中项，是和的等差中项，
所以，
，
所以，解得，得证.
（2）因为，所以.
.
为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.
因为，，
所以的前100项中，含有7个，
所以.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有个零点，求的取值范围.
解：（1），
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，解得或，
所以在和上单调递
增，在上单调递减.
当时，令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，解得或，
不符合题意，故，
由（1）可知，又有3个零点，所以，.
由，所以，
因，所以，可得或或，
即的取值范围为.
18. 已知数列满足.
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
解：（1）由题可知，
当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当为偶数时，，
当奇数时，，
故.
（2）由（1）可得，
所以
，
记，①
则，②
①②得
，
所以，
则，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，
.
故.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为
所以则
又
所以曲线在点处的切线方程为
即
（2）因为所以则
令则
当时，单调递增，故
当时，单调递增，
当时，单调递减，故．
从而在上恒成立，
则在上单调递增.
（3）在上恒成立等价于
在上恒成立．
若则，则显然恒成立．
若则在上恒成立，
令由（1）可知在上恒成立，
故由得则即．
令则
当时，单调递减，当时，单调递增，
则则．
综上所述，的取值范围为