福建省福州延安中学2024届高三下学期第一次模拟数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. 或B. C. D. 或
2. 已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ）
A. 6B. 3C. 2D.
3. 已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若的展开式中的的系数为，则实数（ ）
A. 8B. 7C. 9D. 10
5. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A. 第30项B. 第36项C. 第48项D. 第60项
6. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（为虚数单位），则
B. 若复数满足，则
C. 若，则或
D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆
10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则最小值为
B. 若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为
C. 若在单调递减，则
D. 若在上只有1个零点，则
11. 在棱长为正方体中，点P在正方形内含边界运动，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若点P在上运动，则
B. 若平面，则点P在上运动
C. 存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形
D. 若，则四棱锥的体积最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.
13. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
14. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）线段上一点D满足，，求的长度．
16. 如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，，点G是线段BF的中点．
（1）证明：平面DAF；
（2）若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
17. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
（1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.
18. 已知椭圆上下顶点分别为，左右顶点分别为，四边形的面积为，若椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与交于（异于）两点，设直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
19. 在平面直角坐标系中，两点的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点的“曼哈顿距离”为5，记为.
（1）若点是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积；
（2）若动点在直线上，动点在函数的图象上，求的最小值；
（3）设点，动点在函数图象上，的最大值记为，求的最小值.