2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数专题突破4几个特殊函数的图象与性质

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核心考点 精准突破
考点一
函数是高考常考的一类函数，如，等，其图象与性质如下表所示.
例1 【多选题】函数的图象可能是（ ACD ）
A. B. C. D.
解：若,则 图象为,故 符合.
若,则 当 时,为对勾函数；当 时,单调递减,且,故 符合.
若,则 当 时,单调递增, 且；当 时,为对勾函数,故 符合.故选.
变式1 [2020年全国Ⅱ卷]设函数,则（ A ）
A. 是奇函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增D. 是偶函数，且在单调递减
解：函数 是奇函数，且在 上单调递增，的单调性和奇偶性与 相同.故选．
考点二 ,且
也可以看作是考点一中与的复合（也可看成形如考点五中函数的反函数），由于其重要性，故单独列出来研究.以底数取为例，其基本图象性质如下.
例2 已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
解：易知 为奇函数，且为增函数.由，得，所以，解得故填.
变式2
（1） 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ C ）
A. B.
C. D.
解：由题图，可知 为奇函数，排除，.当 时，逐渐趋近于1，逐渐趋近于0，排除.故选.
（2） 【多选题】已知函数，则（ BCD ）
A. 是偶函数
B. 单调递增
C. 曲线在点处的切线斜率为2
D.
解：对于，的定义域为
，且，所以 为奇函数，错误.
对于，是奇函数，过原点，且在 上单调递增，所以 在 上单调递增，正确.
对于，，，正确.
对于，，故.又 为奇函数，所以.所以，正确.故选.
考点三 ,且
例3 已知，则不等式的解集为（ D ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：令，解得，可知 的定义域为.由 解得.令，易知 是奇函数且是增函数，则不等式，等价于
，等价于.解得.所以不等式的解集为,.故选.
变式3 [2023年全国乙卷节选]曲线关于直线对称，则 , .
解：（方法一）令，定义域为.
若 关于 对称，则.
把 的图象向右平移 个单位长度，得.是奇函数，则 是奇函数，所以.
（方法二）同方法一，得.
由，得.由恒成立，得.
（方法三）特值法.同方法一，得.知，从而，得.再代入检验即可.
故填;.
考点四 ,且
例4 已知函数，若，，且，则的最小值为8．
解：由题意，得 为奇函数且为减函数.所以，即.所以.则，当且仅当 即 时，等号成立.所以 的最小值为8.故填8.
变式4 已知函数，若，则的值为（ C ）
A. B. 1C. D.
解：由，可得函数 为奇函数.，对比奇函数，可知，解得.故选.
考点五 ,且
例5 已知函数，若，则实数的取值范围为 ，.
解：由题意，可知，由两个奇函数相加，是奇函数，且是增函数.原不等式可化为，即，所以，解得.故填 ，.
变式5 已知函数，若不等式对任意均成立，则实数的取值范围为,.
解：易知 是单调递减的奇函数，变形为，故，即 对 均成立.因为 在 上单调递增，所以,，故.故填,.条件




图象
定义域

值域


奇偶性
奇函数
函数


图象
定义域


值域


奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
增函数
在上单调递减,在上单调递增
函数
，且
条件


图象
定义域


值域


奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
在上单调递减
在上单调递增
反函数

函数
，且
条件


图象
定义域

值域

单调性
单调递增
单调递减
奇偶性
奇函数
函数


条件
,
图象
定义域

值域

单调性
单调递增
单调递减
奇偶性
奇函数