2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.2等差数列

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.2等差数列，共9页。试卷主要包含了等差数列基本量的计算，等差数列的性质，等差数列的判定等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 设等差数列的前项和为，若，，则（ C ）
A. 18B. 16C. 14D. 12
解：设 的公差为.
依题意,得
即 解得
所以.故选.
（2） 在等差数列中，已知,,,则数列的前项和为（ B ）
A. 12B. 22C. 23D. 25
解：数列 是等差数列，设公差为,则,解得.又,所以.所以,解得.所以数列 的前 项和为.故选.
【点拨】 ①在等差数列五个基本量,,,,中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.②有些问题，需要先判断数列是否为等差数列，再进行计算.
变式1
（1） [2023年全国甲卷]记为等差数列的前项和.若，，则（ C ）
A. 25B. 22C. 20D. 15
解：设等差数列 的公差为.
（方法一），，所以，.从而.于是，所以.
（方法二）依题意，得，即.
则由，解得,.所以.故选.
（2） 已知是数列的前项和，且，，则（ C ）
A. 72B. 88C. 92D. 98
解：因为，所以.所以.所以 是公差为 的等差数列.又，所以.所以.故选.
考点二 等差数列的性质
命题角度1 项的性质
例2 记等差数列的前项和为，若,，则公差1,33.
解：由，,得，则公差.所以.故填1;33.
【点拨】 利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将与相结合，可减少运算量.
变式2
（1） 在等差数列中，已知，则20.
解：因为数列 是等差数列，且，
所以，.
所以故填20.
（2） 若是等差数列，且,是方程的两个根，则（ C ）
A. 4 046B. 4 044C. D.
解：由题意，得，
所以.
所以.故选.
命题角度2 和的性质
例3
（1） 设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项的和为180，，则18；36.
解：由题意,知，
.
,得
，所以.
又，
所以，所以.
因为，，所以，
从而.故填18；36.
（2） （教材题改编）为等差数列的前项和，若,,则6.
解：因为,
所以,解得.故填6.
【点拨】 在等差数列中，依据题意应用其前项和的性质解题常可以比较简便地求出结果.
变式3
（1） 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差为5.
解：设偶数项和为，则奇数项和为.由,解得.
故公差.故填5.
（2） 已知等差数列的前项和为，，则 （ D ）
A. 18B. 13C. D.
解：由，可设，则.因为 为等差数列，所以,,为等差数列，即,,成等差数列，所以，即，所以.故选.
命题角度3 最值问题
例4 等差数列的首项，设其前项和为，且，则当为何值时，有最大值？
解：（方法一）由题意,知,设,如图.
由，知抛物线的对称轴为.
由图，知当 时，单调递增；当 时，单调递减，且.
又，所以当 或9时，有最大值.
（方法二）设等差数列 的公差为，由,得,.

.
因为，，所以当 或9时，有最大值.
（方法三）由方法二，得.
设此数列的前 项和最大，则
即
解得 即.
又，所以当 或9时，有最大值.
（方法四）由方法二，得.
又，所以.
所以，所以.
所以当 或9时，有最大值.
【点拨】 求等差数列前项和最值的主要方法如下.①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值.②将等差数列的前项和（，为常数）看作关于的二次函数（当时），根据二次函数的性质求最值.无论用哪种方法，都要注意的情形.
变式4 等差数列的前项和为，且满足，，则使取得最大值的为10;试写出一个符合要求的（答案不唯一）.
解：因为，，所以，.所以使 取得最大值的 为,则,,,符合要求.故填10；（答案不唯一）.
考点三 等差数列的判定
例5 【多选题】设是无穷数列，，则下列给出的四个判断中，正确的有（ ACD ）
A. 若是等差数列，则是等差数列
B. 若是等差数列，则是等差数列
C. 若是等差数列，则是等差数列
D. 若是等差数列，则是等差数列
解：对于，若 是等差数列，设公差为，则.当 时，，所以 是等差数列，故 正确.
对于，若 是等差数列，设公差为，当 时，，即数列 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故 不正确，正确 显然正确.故选.
【点拨】 利用等差数列通项公式及前项和公式从充分性与必要性两个角度进行推理.结合本节梳理的【常用结论】常可以简化推理过程.
变式5 [2023年新课标Ⅰ卷]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ C ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：若 是等差数列，设数列 的首项为，公差为，则，即，故 为等差数列，即甲是乙的充分条件.
反之，若 为等差数列，设，则，即.
当 时，有.
上述两式相减,得.
当 时，上式成立.所以，则（常数）.
所以数列 为等差数列，即甲是乙的必要条件.
综上，甲是乙的充要条件.故选.
例6 [2021年全国乙卷]记为数列的前项和，为数列的前项积，已知.
（1） 证明：数列是等差数列;
解：证明：由,得,且，.
取,由,得.
由于 为数列 的前 项积，
所以①,
所以.
由①②,得.
因为，所以，
即,其中.
所以数列 是以 为首项，为公差的等差数列.
（2） 求的通项公式.
[答案]
由（1），得,.
当 时，.
当 时,,显然对于 不成立.
所以
【点拨】 等差数列的四个判定方法.①定义法，即证明对任意正整数都有等于同一个常数.②等差中项法，即证明对任意正整数都有.③通项公式法，即推出,是常数）前项和公式法，即推出，是常数）.
变式6 已知数列的前项和为，，.
（1） 证明：数列是等差数列；
解：证明：因为，且，所以.所以数列 是公差为2的等差数列.
（2） 设数列满足，求的值.
[答案]
因为，所以.所以.
当 时，.
当 时，，.
所以.