2025高考数学一轮课时作业第四章三角函数与解三角形专题突破9正余弦定理的综合应用（附解析）

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（1） 求；
解：在 中，由余弦定理，得，则.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2） 若为上一点，且 ，求的面积．
[答案]
由（1）知，，
所以，所以，所以.所以 的面积为.
2. [2023年新课标Ⅰ卷]已知在中，,．
（1） 求；
解：因为，所以，即.
又，
所以
所以.
所以，即，所以.
所以.
（2） 设，求边上的高．
[答案]
由（1）知，，
所以
.
由正弦定理，得，则.
设 边上的高为，
则.
3. [2022年新课标Ⅰ卷]记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 若，求；
解：因为，所以.而，所以.
（2） 求的最小值.
[答案]
由（1）知，所以 ,，而，
所以,所以.
所以,当且仅当 时取等号.所以 的最小值为.
4. [2021年北京卷]已知在中，，.
（1） 求；
解：因为，所以由正弦定理，可得，所以.
因为，所以，，，，
所以，解得.
（2） 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长.
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]
若选择①：由正弦定理结合（1），可得，与 矛盾，故这样的 不存在.
若选择②：由（1）可得，设 的外接圆半径为.由正弦定理,可得，，则周长，解得，则，.所以 存在且唯一确定.
由余弦定理,可得 边上的中线
.
或由,得,从而求解.
若选择③：由（1）可得，即，则，解得，,所以 存在且唯一确定.
则由余弦定理,可得 边上的中线
.