2023-2024学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：
或，
解得，，
故选：C．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图圆，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，并于当天下午与距地约400000米的空间站核心舱成功对接，数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据400000用科学记数法可表示为，
故选：A．
4. 如图，已知两个直角三角形关于原点位似，且点与点是对应顶点，则的值为（ ）

A. 2B. C. 18D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或-．利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，横坐标的比等于纵坐标的比．
【详解】解：∵两三角形关于原点位似，且一对对应点坐标分别为，，
∴，
∴．
故选：A．
5. 如图，在菱形中，于点，，，则的值为（ ）

A B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，先解得到，再由勾股定理求出，由菱形的性质得到，则，据此根据正切的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
故选：D．
6. 已知点，均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数图象的性质，由中<0得出图象在二四象限并在每一象限内为增函数，直接判断即可．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，随的增大而增大．
∵，这两点都在反比例函数的图象上，
在第二象限
，
故选：C．
7. 如图，内接于，连接、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选；B．
8. 将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，则下列关于平移后所得抛物线的说法中，正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 经过点D. 与轴只有一个交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，据此可判断A、B；求出当时，，即可判断C；当时，，此时方程无解，即可判断D．
【详解】解：由题意得，平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法错误，不符合题意；
当时，，
∴平移后的抛物线经过，故C说法正确，符合题意；
当时，，此时方程无解，
∴抛物线与轴只有没有交点，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
解得，
故答案为：3．
10. 一只蚂蚁在如图所示的地板上自由走动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖除颜色外完全相同，那么它停留在白色区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查几何概率的求法．停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵白色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
∴它最终停留在白色区域上的概率是．
故答案为：．
11. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的增减性以及图象性质：根据题意可得抛物线开口向下，在时，y随x的增大而减小，据此即可作答．
【详解】解：∵，且，
∴当时，随的增大而减小，
∴．
故答案为：
12. 如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，则的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设，则，求出，由轴，得到，则．
【详解】解：设，则，
∴
∵轴，
∴，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，在中，，，点是边的中点，是边上一动点，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．作关于直线的对称点，连接，，，交于，由，关于直线对称，可知，而，，共线，故此时最小，最小值为的长度，根据，，点是的中点，可得，，再用勾股定理可得答案．
【详解】解：作关于直线的对称点，连接，，，交于，如图：
，关于直线对称，
，
，
，，共线，
此时最小，最小值为的长度，
，，
，
点是的中点，
，
，关于直线对称，
，，
，
在中，
，
的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）．
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．分别根据0指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解；二次函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴二次函数解析式为．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
17. 如图，在中，，是边上的中线．请用尺规作图法求作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了复杂作图和三角形的外接圆．作边的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径作圆O，即可．
【详解】解：如图，圆O即为所求．

18. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点、、分别为、、的中点．求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定等知识，根据矩形的性质求出，根据三角形的中位线性质得出，且，求出，根据菱形的判定推出即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵点E、F、G分别为的中点，
∴，且，
同理，，
∴，
∴四边形为菱形．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，求此反比例函数的表达式．
【答案】反比例函数的表达式为．
【解析】
【分析】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式．将点坐标代入一次函数的表达式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的表达式．
【详解】解：把点代入，得，
解得，
∴,
把点代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为．
20. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成三个面积相等的扇形．
（1）转动转盘A一次，所得到的数字是负数的概率是______；
（2）转动两个转盘各一次，请用列表或画树状图的方法，求所得到的两个数字之和是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率和概率公式．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中得到的两个数字之和是偶数的结果有4种，然后再求概率即可．
【小问1详解】
解：自由转动转盘A，指针指向的区域所标数字是负数的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中得到的两个数字之和是偶数的结果有4种，
∴其中得到的两个数字之和是偶数的概率为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，顶点的坐标为，，求顶点的坐标．
【答案】顶点D的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质．根据直角三角形的性质得出，，再由正方形的性质得出，，过点D作x轴的垂线，垂足为E，再根据直角三角形的性质得出和的值，据此求解即可．
【详解】解：点A的坐标为，
，
∵，
∴，
∴，
在正方形中，，，
如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，则，

，
，，
，
顶点D的坐标为．
22. 如图，阳光小区有一块长为60米，宽为20米的矩形空地，为了美化环境，现计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若要修建的两块矩形绿地的面积共为864平方米，求人行通道的宽度．
【答案】人行通道的宽度为2米．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设人行道的宽为x米，根据：矩形绿地面积矩形空地面积人行道面积，依此列出等量关系解方程即可．
【详解】解：设人行道的宽度为x米，由题意，
得，
整理，得，
解得，，，
因为，
，
故．
答：人行通道的宽度为2米．
23. 如图，一天晚上，小亮和小明利用家门口路灯的灯光来测量路灯的高，当小明站在处时，小亮测得小明的影长为1米，接着小明向前走了10米到达处，此时，小亮测得小明的影长为3米．已知小明的身高为米，求路灯的高．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，则，证明，得到，进而得到，即，解得，则，解之即可得到答案．
【详解】解：设，则，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴路灯的高为．
24. 如图，已知是的直径，射线交于点，的平分线交于点，过点作于点，延长与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判断等等：
（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合：
（1）利用待定系数法求解即；
（2）先求出，进而求出直线解析式为；设，则，则，根据，得到，则当时，有最大值， 即的面积，据此可得．
【小问1详解】
解；把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解；如图所示，过点作轴交于，
在中，当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式；
设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
∵，
∴
，
∴当有最大值时，的面积，
∴当时，有最大值， 即的面积最大，
此时，即．
26. 问题提出
（1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明；
问题解决
（2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，取的中点，连接、．证明，可得结论；
（2）利用正方形的性质和勾股定理求得，由，证明四点共圆，求得，推出是等腰直角三角形，据此计算可得结论．
【详解】（1）证明：如图①中，连接，取的中点，连接、．
，，
，，
，
，，，四点共圆；
（2）解：∵在正方形中，，点是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．