2024年陕西省榆林市榆阳区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省榆林市榆阳区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(14)−1的结果是( )
A. 4B. 14C. −14D. −4
2.如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A. 四棱柱
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 圆柱
3.下列计算正确的是( )
A. x4⋅x2=x8B. x4+x2=x6C. (x4)2=x6D. x4÷x2=x2
4.若点A(2,m+1)，点B(4,m)是一次函数y=kx+1(k≠0)图象上的两点，则k的值为( )
A. −2B. 2C. 12D. −12
5.如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于点F，若CF=BE，CD=2 5，则DF的长为( )
A. 10B. 9C. 8D. 4 5
6.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上AB的两侧，连接AC、BC、OD、CD，OD/​/BC，若∠ODC=20°，则∠BAC的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
7.在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=x2+2x+c(c为常数)向右平移2个单位长度得到抛物线C2，若点A(m+3,y1)、B(m−1,y2)都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，y1A. −2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
8.已知数轴上点A表示的数是−1，点B在点A的左侧，则点B表示的数可能是______.(写出一个即可)
9.海红树是榆林市的传统果树，属世界稀有树种，所结海红果营养丰富，含钙量高，为水果之冠，素有“钙王”之称.某海红果园去年海红果的产量约为23500千克，将数据23500用科学记数法表示为______．
10.如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为______°.
11.已知在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，若OB= 3OA，则该菱形的面积为______.(结果保留根号)
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥AC于点E，OC=CD，AE=CE，连接AB，若△ABE的面积为4，则k的值为______．
13.如图，在矩形ABCD中，BC=6，点E、H分别为边AD、BC的中点，连接BE，点F为BE上一动点，连接HF、DF，DF的延长线交AB于点P，若PB=PF，则HF的长为______．
三、解答题：本题共14小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题4分)
解不等式8−2(3x−2)≥7x−1，并求出该不等式的所有非负整数解．
15.(本小题4分)
计算：( 3−1)2+4sin60°−(−2024)0．
16.(本小题4分)
先化简，再求值：2x2−4÷(1−xx−2)，其中x=−4．
17.(本小题4分)
如图，点P在⊙O的一条直径上，请用尺规作图法作过点P作⊙O的一条弦AB，使AP=BP.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题4分)
如图，在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD，∠C=∠D，点E、F分别在AC、AD上，连接BE、BF，若CE=DF，求证：AE=AF．
19.(本小题5分)
程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为5，求输入x的值．
20.(本小题5分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,5)，B(2,1)，C(5,2)．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1)
(2)在图中画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.(点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2)
21.(本小题5分)
陕西省某鼓楼由该地的人文历史、非物质文化遗产、书画摄影三个主题展馆组成，其中非物质文化遗产展馆由如图所示的6个单元组成，欣欣和云云相约周末去该鼓楼的非物质文化遗产展馆进行参观，由于时间有限，她们计划每人参观一个单元，然后向对方分享观后感.欣欣先从这6个单元中随机选择1个单元参观，云云再从剩下的5个单元中随机选择1个单元参观．

(1)欣欣选择参观的是第四单元“民俗文化”的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求欣欣和云云都没有参观第三单元“传统技艺”的概率．
22.(本小题6分)
中国大地原点，是中国经纬度的基准点，也是国家大地坐标系统的起算点，位于陕西省境内.某数学学习小组把测量大地原点的主体建筑观测塔楼(如图1)的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量.如图2，甲同学在地面上竖立一根标杆CD，发现某一时刻塔楼AB和标杆CD在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点E处，乙同学在点F处放置一个测角仪支架，调节支架高度，当测角仪位于点G处时，测得塔楼AB的顶端A的仰角∠AGH为26.6°，经测量，CD=1米，DE=1.5米，EF=9米，FG=2米，B、D、E、F四点在同一水平直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，GF⊥BF，图中所有的点都在同平面内.请你帮助该小组计算塔楼的高度AB．
【参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】
23.(本小题7分)
茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富.中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录.为了对中国茶文化有更深的认识，王叔叔开车从家出发，前往离家的200km某茶园进行参观后，原路返回家中，在整个过程中，王叔叔离家的距离y(km)与离家后的时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中AB段y与x之间的函数关系式；
(2)当x的值为多少时，王叔叔距离茶园80km？
24.(本小题7分)
人工智能(AI)是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大.为了培养更多的AI技术人才，某校开设了AI基础知识兴趣课程，并随机抽取该校部分班级，对每班报名该课程的人数进行统计后，将统计结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为______，所抽取班级报名该课程人数的中位数为______名；
(2)请计算所抽取班级报名该课程人数的平均数；
(3)若该校共有80个班级，请你估计该校AI基础知识兴趣课程的总报名人数．
25.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，作CD⊥AB于点F，交⊙O于另一点D，连接AC、DE．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为26，tan∠CAF=23，求CD的长．
26.(本小题8分)
某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下：
【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯．
【任务解决】
(1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式；
(2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD；
(3)求M、N两点之间的水平距离．
27.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=8，BC=15，点E为AD的中点，点F为BC上一点，连接EF，EF//CD，则BF的长为______；
【问题探究】
(2)如图2，菱形ABCD的边长为8，且∠ABC=60°，E是CD的中点，F为对角线AC上一动点，连接DF、EF，求△DEF周长的最小值；
【问题解决】
(3)某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形ABCD所示，经测量，BC=24米，CD=16米，∠BCD=90°，并沿着对角线BD修建一条隔墙(厚度不计)将该空地分成△ABD和△BCD两个区域，其中△ABD区域为幼苗培育区，△BCD区域为作物观察区，BD的中点P处有一扇门，现计划在BC上取点E、F(点E在点F左侧)，并沿EF修建一面结果记录墙(厚度不计)，根据规划要求，EF=5米，且PE与DF的长度之和最小，请问PE+DF的值是否存在最小值？若存在，求出PE+DF的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式=4，
故选：A．
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：根据展开图可得出该几何体底面为一个三角形，由三条棱组成，侧面有3个矩形，
∴该几何体为三棱柱．
故选：C．
根据展开图可得出该几何体底面为一个三角形，由三条棱组成，侧面有3个矩形即可判断求解．
本题考查了由几何体的表面展开图判断几何体的形状，掌握几何体的特征是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、x4⋅x2=x6，故A选项不符合题意；
B、x4和x2不是同类项，无法进行合并，故B选项不符合题意；
C、(x4)2=x8≠x6，故C选项不符合题意；
D、x4÷x2=x2，故D选项符合题意．
故选：D．
根据同类项的定义，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则依次判断四个选项即可．
本题考查同类项的定义，幂的乘方，同底数幂的乘除法．熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得：2k+1=m+14k+1=m，
解得k=−12，
故选：D．
分别将点A、点B的坐标代入函数解析式中，即可得到关于m、k的二元一次方程，求出解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用代入法，建立二元一次方程来解答．
5.【答案】C
【解析】解：∵点D、E分别为边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=12×8=4，
∵E为边BC的中点，
∴CE=BE，
∵CF=BE，
∴CF=CE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴CF=CE=CD=2 5，
∴EF=CE+CF=4 5，
由勾股定理，得DF= EF2−DE2= (4 5)2−42=8，
故选：C．
先由三角形中位线性质求得DE=4，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得EF=4 5，然后由勾股定理求解即可．
本题考查三角形中位线性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD/​/BC，∠ODC=20°，
∴∠ODC=∠DCB=20°，
∴∠DOB=2∠DCB=40°，
∴∠OED=∠CEB=180°−20°−40°=120°，
∴∠ABC=180°−120°−20°=40°，
∴∠CAB=90°−40°=50°，
故选：B．
先由直径所对的圆周角为90°，可得∠ACB=90°，再得出∠ODC=∠DCB=20°，根据圆周角定理得出∠DOB=2∠DCB=40°，求出∠ABC=180°−120°−20°=40°，进而得出答案．
此题主要考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵C1：y=x2+2x+c=(x+1)2+c−1，
∴将抛物线C1向右平移2个单位长度得到抛物线C2的解析式为：C2：y=(x−1)2+c−1，
其对称轴为直线x=1，
∵都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，y1∵m+3>m−1，点A(m+3,y1)、B(m−1,y2)位于抛物线C2的对称轴两侧，
∴m+3>1m−1<1，
∴−2又∵y1∴点A(m+3,y1)到对称轴的距离小于点B(m−1,y2)到对称轴的距离，即：m+3−1<1−(m−1)，
解得：m<0，
综上所述：−2故选：A．
根据平移规律得出C2：y=(x−1)2+c−1，再根据点A(m+3,y1)、B(m−1,y2)都在抛物线C2上，且位于抛物线C2的对称轴两侧，确定点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，而且由y1此题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
8.【答案】−4
【解析】解：根据两个负数相比较，绝对大的反而小的原则，得：−4，
故答案为：−4．
根据有理数大小比较的基本原则，计算解答即可．
本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键．
9.【答案】2.35×104
【解析】解：23500=2.35×104．
故答案为：2.35×104．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
10.【答案】18
【解析】解：连接AD，
∵点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，
∴AB=BC=CD=DE=AE，∠ABC=∠AED=(5−2)×180°5=108°，
∠BAC=∠BCA=12×(180°−108°)=36°，
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠ABC=∠AEDBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD=36°，
∴∠ACF=108°−36°=72°，∠AFC=90°，
∴∠CAF=180°−∠ACF−∠AFC=180°−72°−90°=18°，
故答案为：18．
连接AD，利用正多边形的性质，全等三角形的判定定理证得△ABC≌△AED，由全等三角形的性质定理可得AC=AD，∠BAC=∠EAD=36°，根据三角形内角和定理易得结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】8 3
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB，
∵OB= 3OA，
设OA=x，则OB= 3OA= 3x，
在Rt△AOB中，x2+( 3x)2=42，
∵x>0，
∴x=2，
∴OA=2,OB=2 3，
∴AC=2OA=4,BD=4 3，
∴菱形的面积为12AC⋅BD=8 3．
故答案为：8 3．
根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB，OA=x，则OB= 3x，根据勾股定理求出x=2，进而求出AC=4,BD=4 3，根据菱形面积公式即可求解．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解答本题的关键．
12.【答案】−16
【解析】解：设OC=CD=m，AE=CE=n，
则OD=2m，AC=2n，
∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ACD=∠BDC=∠AEB=∠BEC=90°，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BE=CD=m，
∴S△ABE=12BE⋅AE=12mn=4，
∴mn=8，
∵AC⊥x，点A在第四象限内，
∴A(m,−2n)，
把A(m,−2n)代入y=kx，得：
−2n=km，
∴k=−2mn=−2×8=−16，
故答案为：−16．
设OC=CD=m，AE=CE=n，则OD=2m，AC=2n，由S△ABE=12BE⋅AE=12mn=4，求得mn=8，点A在第四象限内，则A(m,−2n)，然后代入y=kx求出k值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】3
【解析】解：延长BE、CD，交于点G，连接CF，如图所示：
在矩形ABCD中，AB/​/CD，则∠G=∠ABE，∠GDA=∠BAD，
∵点E为边AD的中点，
∴AE=DE，
∴△ABE≌△DGE(AAS)，
∴AB=DG，
在矩形ABCD中，AB=CD，则GD=CD，
∵PB=PF，
∴∠ABE=∠PFB，
∵∠GFD=∠PFB，∠ABE=∠G，
∴∠GFD=∠G，
∴FD=GD，则FD=GD=CD=12GC，
∴∠DFC=∠DCF，
在△CFG中，∠G+∠GFC+∠GCF=(∠DFC+∠DCF)+(∠GFD+∠G)=180°，即∠GFD+CFD=∠CFG=90°，
∴∠CFB=90°，
∵点H为边BC的中点，
∴FH是Rt△CBF斜边BC上的中线，则FH=12BC=3，
故答案为：3．
延长BE、CD，交于点G，连接CF，如图所示，结合矩形性质，利用两个三角形全等的判定得到△ABE≌△DGE(AAS)，从而得到AB=DG，进而由矩形性质得到GD=CD，再由等腰三角形的判定与性质得到FD=GD=CD=12GC，再由直角三角形的判定确定∠CFG=90°，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
本题考查求线段长，涉及矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、中点定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的判定与性质等知识，读懂题意，利用倍长中线准确构造辅助线，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键．
14.【答案】解：去括号，得8−6x+4≥7x−1，
移项、合并同类项，得−13x≥−13，
系数化为1，得x≤1，
所以该不等式的所有非负整数解有0，1．
【解析】先去括号，再移项、合并同类项，将未知数的系数化为1，得x≤1，即可求得所有的非负整数解．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
15.【答案】解：原式=3−2 3+1+4× 32−1
=3−2 3+1+2 3−1
=3．
【解析】根据二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关的运算法则．
16.【答案】解：原式=2(x+2)(x−2)÷x−2−xx−2
=2(x+2)(x−2)⋅x−2−2
=−1x+2，
当x=−4时，原式=−1−4+2=12．
【解析】先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，得到化简结果，最后将x=−4代入化简结果计算，即得答案．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：如图，弦AB即为所求．

∵OP⊥AB，OP经过⊙O的圆心，
∴AP=BP．
【解析】过点P作OP的垂线交⊙O于A，B，线段AB即为所求．
本题考查尺规基本作图−经过一点作直线的垂线，垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理和经过直线上一点作直线的垂线是解题的关键．
18.【答案】证明：∵∠C=∠D，∠ABC=∠ABD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD(AAS)，
∴AC=AD．
∵CE=DF，
∴AC−CE=AD−DF，即AE=AF．
【解析】证明△ABC≌△ABD(AAS)，得AC=AD，利用线段和差即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：根据题意，得4x−(3−x)+(−2)=5，
去括号，得4x−3+x−2=5，
移项、合并同类项，得5x=10，
系数化为1，得x=2，
即输入x的值为2．
【解析】根据题意，得4x−(3−x)+(−2)=5，再求解即可得出答案．
此题考查了一元一次方程的应用，关键是能准确理解并运用程序规定计算方法进行运算．
20.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示．
；
(2)△A2B2C2如图所示．
．
【解析】(1)根据轴对称的性质作出点A、B、C的对称点，再顺次连接即可，
(2)根据中心对称的性质作出点A、B、C关于原点O的对称点，再顺次连接即可．
本题考查作轴对称图形、作中心对称图形，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】16
【解析】解：(1)欣欣先从这6个单元中随机选择1个单元参观，共有6种等可能结果，其中欣欣选择参观第四单元“民俗文化”只有一种可能结果，所以欣欣选择参观的是第四单元“民俗文化”的概率为16；
(2)将这六个单元依次记为1、2、3、4、5、6，根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有30种等可能的结果，其中欣欣和云云都没有参观第三单元“传统技艺”的结果有20种，
所以欣欣和云云都没有参观第三单元“传统技艺”的概率为2030=23．
(1)利用概率公式可得答案；
(2)将这六个单元依次记为1、2、3、4、5、6，画出树状图，可知，共有30种等可能的结果，其中欣欣和云云都没有参观第三单元“传统技艺”的结果有20种，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与画树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】解：如图，延长GH交AB于点K，如图，

∵AB⊥BF，GF⊥BF，GH⊥AB，
∴四边形BFGK为矩形，
∴BK=FG=2米，BF=KG，
∵∠AGH=26.6°，tan26.6°≈0.50，
∴AKKG=0.5，
即KG=2AK，
∴BD+1.5+9=2AK，
∴BD=2AK−10.5，
∵∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE，
即AK+21=BD+1.51.5，
∴AK+21=2AK−10.5+1.51.5，
解得AK=24米，
∴AB=AK+KB=26米，
即塔楼的高度AB为26米．
【解析】延长GH交AB于点K，在Rt△AGK中，根据三角函数的定义可得KG=2AK，即BD=2AK−10.5，再根据相似三角形的判定与性质，可得ABCD=BEDE，列出方程并计算，求得AK=24米，从而可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)(1)设图中AB段y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)．
将点A(1,60)，B(2,180)代入得：
k+b=60,2k+b=180,
解得k=120,b=−60,
∴图中AB段y与x之间的函数关系式为y=120x−60．
(2)设图中DE段y与x之间的函数关系式为y=mx+n(m≠0)．
将点D(4.5,200)，E(6.5,0)代入得：
4.5m+n=2006.5m+n=0，
解得m=−100n=650，
∴图中DE段y与x之间的函数关系式为y=−100x+650．
200−80=120(km)，
在y=120x−60中，令y=120，得x=1.5，
在y=−100x+650中，令y=120，得x=5.3，
∴当x的值为1.5或5.3时，王叔叔距离茶园80km．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)把y=120代入(1)中所求的函数解析式计算即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
24.【答案】3 7
【解析】解：(1)由扇形统计图可得，所抽的班级数为4÷72°360∘=20(个)，
∴m=20−4−1−8−4=3，
所抽取班级报名该课程人数的中位数为第10和第11个数的平均数，
∴中位数为7+72=7(名)，
故答案为：3，7；
(2)所抽取班级报名该课程人数的平均数为4×4+6×1+7×8+8×4+10×320=7(名)；
(3)7×80=560(名)，
答：估计该校AI基础知识兴趣课程的总报名人数为560名．
(1)由扇形统计图可得求出所抽的班级数，即可求出m的值，再根据中位数的定义即可求解；
(2)根据平均数的定义计算即可求解；
(3)用平均数乘以80即可求解．
本题考查了扇形统计图，频数分布表，平均数，中位数，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OC，OD，如图．

∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∵CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠COE=∠DOE．
在△COE和△DOE中，OC=OD，∠COE=∠DOE，OE=OE，
∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE=∠OCE=90°．
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线．
(2)解：∵⊙O的直径为26，
∴OC=OA=13．
∵tan∠CAF=CFAF=23，
∴设CF=2x，则AF=3x．
∵OA=13，
∴OF=AF−OA=3x−13．
在Rt△OCF中，OC2=OF2+CF2，
∴132=(3x−13)2+(2x)2，
解得x1=0(舍去)，x2=6，
∴CF=2x=12．
∵CD⊥AB，
∴CD=2CF=24．
【解析】(1)连接OC，OD，先由切线的性质得∠OCE=90°，再证明△COE≌△DOE(SAS)，得∠ODE=∠OCE=90°，从而由切线的判定得出结论；
(2)根据tan∠CAF=CFAF=23，设CF=2x，则AF=3x.利用勾股定理得出132=(3x−13)2+(2x)2，求解即可得出CF=2x=12，然后利用垂径定理即可求解．
本题考查切线的判定与性质，垂径定理，三角函数，圆心角与弧的关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
26.【答案】解：(1)根据题意可得A(0,24)，
∴c=24，
∵A、B两点之间的距离为16cm，
∴抛物线对称轴为直线x=8，
∴−b2×14=8，
解得b=−4，
∴抛物线部分的函数表达式为y=14x2−4x+24．
(2)当x=8时，y=14x2−4x+24=8，
∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8cm．
(3)在y=14x2−4x+24中，令y=12，得：
14x2−4x+24=12，
解得x1=4，x2=12，
∴M(4,12)，N(12,12)，
∴MN=12−4=8，
即M、N两点之间的水平距离为8cm．
【解析】(1)由题意得出点A坐标，据此求得c值，利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，由对称轴求得b值，即可求解；
(2)把x=8代入函数解析式求解即可；
(3)令y=12，得14x2−4x+24=12，求解即可得出M、N的坐标，进而可求解．
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
27.【答案】11
【解析】解：(1)∵AD=8，点E为AD的中点，
∴DE=12AD=4，
∵AD/​/BC，EF//CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CF=DE=4，
∴BF=BC−CF=15−4=11，
故答案为：11
(2)∵菱形ABCD的边长为8，点E为CD的中点，
∴CE=DE=12CD=4，
∴当DF+EF最小时，△DEF的周长最小．
连接BF、BE，BE交AC于点F′，如图2．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAF=∠DAF，AB=AD．
在△ABF和△ADF中，AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴BF=DF，
∴DF+EF=BF+EF，
∴当B、F、E三点共线，即点F在点F′的位置时，BF+EF取得最小值，最小值为BE的长．
过点E作EH⊥BC交BC的延长线于点H，如图2．
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD/​/AB，
∴∠ECH=∠ABC=60°．
∵CE=4，
∴CH=12CE=2，EH=CEsin60°=2 3，
∴BH=BC+CH=8+2=10，
∴BE= BH2+EH2=4 7，
即DF+EF的最小值为4 7．
∴△DEF周长的最小值为4 7+4．
(3)PE+DF的值存在最小值，理由如下：
过点P作PH⊥CD于点H，如图3．
∵∠BCD=90°，PH⊥CD于点H，
∴PH//BC．
∵点P为BD的中点，即DP=BP，
∴点H为CD的中点，即CH=DH=12CD=8米．
在PH上取点N，使得PN=EF=5米，连接NF．
∵PN//EF，
∴四边形PEFN为平行四边形，
∴NF=PE，
∴PE+DF=NF+DF．
作点N关于BC的对称点N′，连接N′F，DN′，DN′交BC于点F′，连接N′N交BC于点G，如图3．
则BC垂直平分N′N，NF=N′F，即PE+DF=NF+DF=N′F+DF≥DN′，
∴当点D、F、N′三点共线，即点F在点F′处时，PE+DF取得最小值，最小值为DN′的长．NG=N′G，
过点N′作N′M⊥CD交DC的延长线于点M，如图3．
∴BC//MN′
∴PH//BC//MN′．
∴NGN′G=HCCM=1，
∴CM=CH=8米，
∴DM=CD+CM=24米．
∵点P、H分别为BD、CD的中点，
∴PH为△BCD的中位线，
∴PH=12BC=12米，
∴NH=PH−PN=7米，
∴MN′=7米，
∴DN′= DM2+MN′2=25米，
即PE+DF的值存在最小值，最小值为25米．
(1)根据中点的定义求出DE=12AD=4，再证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到CF=DE=4，根据线段和差即可得到答案；
(2)先求出CE=DE=12CD=4，则当DF+EF最小时，△DEF的周长最小．连接BF、BE，BE交AC于点F′，证明△ABF≌△ADF(SAS)，则BF=DF，即可得到DF+EF=BF+EF，则当B、F、E三点共线，即点F在点F′的位置时，BF+EF取得最小值，最小值为BE的长．过点E作EH⊥BC交BC的延长线于点H，进一步求出BE= BH2+EH2=4 7，得到DF+EF的最小值为4 7.即可得到答案；
(3)过点P作PH⊥CD于点H，得到CH=DH=12CD=8米．在PH上取点N，使得PN=EF=5米，连接NF.得到四边形PEFN为平行四边形，进一步得到PE+DF=NF+DF.作点N关于BC的对称点N′，连接N′F，DN′，DN′交BC于点F′，连接N′N交BC于点G，则BC垂直平分N′N，NF=N′F，即PE+DF=NF+DF=N′F+DF≥DN′，则当点D、F、N′三点共线，即点F在点F′处时，PE+DF取得最小值，最小值为DN′，进一步求出DN′= DM2+MN′2=25米，即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．报名人数/名
班级数/个
4
4
6
1
7
8
8
4
10
m
素材1
如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为16cm，点A到杯底EF的竖直高度为24cm；下半部分是一个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中所有的点都在同一平面内．
素材2
以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：y=14x2+bx+c(b、c为常数)
素材3
在距离杯底的竖直高度为12cm的M、N两点处贴上装饰图案(点M在点N的左侧，图案大小忽略不计)．