2024年中考数学二次函数压轴题专题02二次函数解析式(学生版+解析)

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知识点整理：
一般式
顶点式顶点坐标为（h,k）
交点式与x轴的交点为 ，
二、典例精析
一、a,b,c中有一个未知量
例一 已知二次函数的图象过点（1，3），求该二次函数的表达式.
解：将点（1，3）代入
得: 解得a=1
所以
例二 已知二次函数的图象的顶点坐标为（-3,5），求该二次函数的表达式.
解：将点（-3,5）代入
得： 解得a=
所以
二、a,b,c中有两个未知量
例三 若抛物线经过点（1，0）和（3，0）两点，求该抛物线的表达式.
解：将点（1，0）和（3，0）代入
得：
所以
例四 已知抛物线的对称轴为直线x=1,且函数图象经过点（3，-3），求该抛物线的表达式.
解：将点（3，-3）代入
得
所以
三、a,b,c均为未知量
类型一（一般式
例五 已知抛物线经过（2,0），（-1,0），（0,1）三点，求该抛物线的表达式.
解：将点（2,0），（-1,0），（0,1）代入
得：
所以
类型二（顶点式顶点坐标为（h,k））
例六 已知抛物线的顶点坐标为（2,3），且抛物线经过点（3,0），求该抛物线的表达式.
解：设抛物线解析式为
∵顶点坐标为（2,3）则
将点（3,0）代入得
解得a= -3
所以
类型三（交点式与x轴的交点为 ，）
例七 已知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于点（-1,0），若点（-2,5）在抛物线上，求该抛物线的表达式.
解：∵ 对称轴为直线x=1，与x轴交于点（-1,0）
∴与x轴另一交点为（3,0）
设抛物线解析式为
将点（-2,5）带入得解得a=1
所以抛物线解析式为
三、中考真题演练
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；
4．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
5．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
6．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．

(1)求抛物线的表达式；
7．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
8.（2022·山东淄博·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
11．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
12．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
13．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
14．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
15．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
专题02 二次函数解析式
一、知识导航
知识点整理：
一般式
顶点式顶点坐标为（h,k）
交点式与x轴的交点为 ，
二、典例精析
一、a,b,c中有一个未知量
例一 已知二次函数的图象过点（1，3），求该二次函数的表达式.
解：将点（1，3）代入
得: 解得a=1
所以
例二 已知二次函数的图象的顶点坐标为（-3,5），求该二次函数的表达式.
解：将点（-3,5）代入
得： 解得a=
所以
二、a,b,c中有两个未知量
例三 若抛物线经过点（1，0）和（3，0）两点，求该抛物线的表达式.
解：将点（1，0）和（3，0）代入
得：
所以
例四 已知抛物线的对称轴为直线x=1,且函数图象经过点（3，-3），求该抛物线的表达式.
解：将点（3，-3）代入
得
所以
三、a,b,c均为未知量
类型一（一般式
例五 已知抛物线经过（2,0），（-1,0），（0,1）三点，求该抛物线的表达式.
解：将点（2,0），（-1,0），（0,1）代入
得：
所以
类型二（顶点式顶点坐标为（h,k））
例六 已知抛物线的顶点坐标为（2,3），且抛物线经过点（3,0），求该抛物线的表达式.
解：设抛物线解析式为
∵顶点坐标为（2,3）则
将点（3,0）代入得
解得a= -3
所以
类型三（交点式与x轴的交点为 ，）
例七 已知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于点（-1,0），若点（-2,5）在抛物线上，求该抛物线的表达式.
解：∵ 对称轴为直线x=1，与x轴交于点（-1,0）
∴与x轴另一交点为（3,0）
设抛物线解析式为
将点（-2,5）带入得解得a=1
所以抛物线解析式为
三、中考真题演练
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
【详解】（1）解：由题意得
解得，
故抛物线的表达式；
2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；
【详解】（1）解：①∵，
∴顶点的横坐标为1．
∴当时，，
∴点的坐标是．
设抛物线的函数表达式为，把代入，
得，
解得．
∴该抛物线的函数表达式为，
即．
4．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
5．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
6．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．

(1)求抛物线的表达式；
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
7．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
8.（2022·山东淄博·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
9．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．
(1)求这个二次函数的表达式；
【详解】（1）令，则，解得，
∴，
将点代入中，解得，
∴点的坐标为．
将，，代入可得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为．
10．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
11．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
∴点B的坐标为（-3，0）；
13．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
【详解】（1）将A（−1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
14．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
【详解】（1）将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
15．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；