2023-2024学年吉林省长春市农安县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市农安县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是一元一次方程的是( )
A. 5x−y=8B. 1=3yC. 2x+1x=3x−2D. x2=1
2.下列运用等式的性质变形错误的是( )
A. 若x=y，则x+1=y+1B. 若x=y，则xa=ya
C. 若−2x=−2y，则x=yD. 若x−1=y−1，则x−y=0
3.方程6+x3=8−2x2去分母，得( )
A. 6+2x=3(8−2x)B. 18+2x=3(8−2x)
C. 36+2x=3(8−2x)D. 36+2x=2(8−2x)
4.若x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x−ay=4的一组解，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.解方程组2a+2b=3①3a+b=4②时，下列消元方法不正确的是( )
A. ①×3−②×2，消去a
B. 由②得：b=4−3a③，把③代入①中消去b
C. ①+②×2，消去b
D. 由②×2−①，消去b
6.《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为( )
A. 5x+2y=102x+5y=8B. 2x+5y=105x+2y=8C. 5x+y=10x+5y=8D. x+2y=102x+y=8
7.若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x+5y+10
8.如果关于x的不等式(a+2023)x>a+2023的解集为x<1，那么a的取值范围是( )
A. a>−2023B. a<−2023C. a>2023D. a<2023
9.不等式组2x+2>0x−1<1的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
10.已知x+2y=4k2x+y=2k+1且x+y>0，则k的取值范围为( )
A. k>−13B. k<13C. k<16D. k>−16
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
11.已知二元一次方程2x−y=−4，用含x代数式表示y= ______．
12.已知(a−2)x|a|−1+4=0是关于x的一元一次方程，则a=______．
13.已知x+2y=3，则3x+6y−8= ______．
14.已知关于x的两个方程−3x−4=2和2x+m=4有共同的解，则m的值是______．
15.在数轴上，A表示的数为3，点B表示的数为x，而A，B间的距离为8，则x= ______．
16.某商场销售一批电风扇，每台售价560元，可获利25%，求每台电风扇的成本价.若设每台电风扇的成本价为x元，则得到方程为______．
17.在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的.图1所示的算筹图表示的是关于x，y的方程组2x+3y=8x+4y=9，则图2所示的算筹图表示的方程组是______．
18.如图，在数轴上点M、N分别表示数2，−2x+1，则x的取值范围是______．
19.用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为______．
20.不等式3x−2三、计算题：本大题共1小题，共5分。
21.解方程组x−3y=22x+y=18．
四、解答题：本题共7小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题5分)
解方程：4x+3=2(x−1)+1．
23.(本小题5分)
解不等式组x+5≥4(x−1)4x−53>x−2，并将解集在数轴上表示出来．
24.(本小题5分)
课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组.问这些学生共有多少人？
25.(本小题7分)
一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少m3？
26.(本小题7分)
阅读下列材料：
我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”.例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”.请根据上述规定，解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有______.(填序号)
①2x=−5；②5x=−2；③3x=−92．
(2)若关于x的一元一次方程3x=6a−9是“和解方程”，求a的值．
27.(本小题8分)
小红解方程2x−13=x+a2−1时，在去分母的过程中，右边的−1漏乘公分母6，因而求得方程的解为x=2．
(1)求a的值；
(2)求出方程的正确解；
(3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项．
28.(本小题8分)
利用方程(组)或不等式(组)解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》(四书)及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》(五经)的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？
(2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本.正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元.如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：5x−y=8为一元二次方程，故A选项不是一元一次方程，不符合题意；
1=3y为一元一次方程，故B选项是一元一次方程，符合题意；
2x+1x=3x−2是分式方程，不属于整式方程，即不属于一元一次方程，故C选项不是一元一次方程，不符合题意；
x2=1为一元二次方程，故D选项不是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
根据题意，形如“ax+b=0(a≠0)”的方程为一元一次方程，继而选出本题答案．
本题考查一元一次方程定义，关键是一元一次方程定义的掌握．
2.【答案】B
【解析】解：将x=y的两边同时加1，得x+1=y+1，
∴A正确，不符合题意；
当a≠0时，将x=y的两边同时除以a，得xa=ya；当a=0时，xa=ya不成立，
∴B错误，符合题意；
将−2x=−2y的两边同时除以−2，得x=y，
∴C正确，不符合题意；
将x−1=y−1的两边同时加上1−y，得x−y=0，
∴D正确，不符合题意；
故选：B．
AD.根据等式的基本性质1判断即可；
BC.根据等式的基本性质2判断即可．
本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：给方程的两边同时乘以6，得36+2x=3(8−2x)．
故选：C．
分析题意，要给方程去分母，试着找出方程中各分母的最小公倍数；观察方程可知分母为2和3，则最小公倍数为6；给方程两边同时乘以6，即可去掉分母．
本题考查了解一元二次方乘；掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：将x=1y=−1代入x−ay=4得1+a=4，
∴a=3，
故选：C．
将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
5.【答案】C
【解析】解：A. ①×3−②×2，消去a，故该选项正确，不符合题意；
B.由②得：b=4−3a…③，把③代入①中消去b，故该选项正确，不符合题意；
C. ①+②×2，不能消元，故该选项符合题意，
D.由②×2−①，消去b，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据消元的方法，逐项分析判断，即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可列方程组为5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中的等量关系．
7.【答案】C
【解析】解：∵x>y，
∴x+5>y+5，15x>15y，−8x<−8y，x−10>y−10，
∴四个选项中只有C选项成立，符合题意，
故选：C．
根据不等式的基本性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵关于x的不等式(a+2023)x>a+2023的解集为x<1，
∴a+2023<0，
解得：a<−2023，
故选：B．
根据不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于a的不等，求解即可．
本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3．
9.【答案】C
【解析】解：2x+2>0①x−1<1②，
解①得：x>−1，
解②得：x<2，
综上所述，不等式组的解集为：−1∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：C．
，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，并把解集表示在数轴上即可求解．
本题考查一元一次不等式组的解，分别求出每一个不等式的解集，解答本题的关键要掌握：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
10.【答案】D
【解析】解：x+2y=4k①2x+y=2k+1②，
①+②得：3(x+y)=6k+1，即x+y=6k+13>0，
解得：k>−16．
故选：D．
方程组两方程相加表示出x+y，根据x+y大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可求出k的范围．
此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，将方程组两方程相加表示出x+y是解本题的关键．
11.【答案】2x+4
【解析】解：∵2x−y=−4，
根据等式的性质可得 y=2x+4．
故答案为：2x+4．
根据等式的性质表示即可．
本题考查用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，掌握等式的基本性质是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：根据题意得：a−2≠0|a|−1=1，
解得：a=−2，
故答案是：−2．
只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0)．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
13.【答案】1
【解析】解：已知x+2y=3，
则3x+6y−8=3(x+2y)−8=3×3−8=1，
故答案为：1．
将原式变形后代入已知数值计算即可．
本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：解方程−3x−4=2得x=−2，
∵方程−3x−4=2和2x+m=4的解相同，
∴把x=−2代入方程2x+m=4得−4+m=4，解得m=8．
故答案为：8．
根据同解方程的定义，先求出−3x−4=2的解，再将它的解代入方程2x+m=4解答即可．
本题考查了同解方程的概念和方程的解法，正确的解答是解题的关键．
15.【答案】−5或11
【解析】解：由题意得：|3−x|=8，
∴3−x=±8，
∴3−x=8或3−x=−8，
∴x=−5或x=11，
故答案为：−5或11．
由A，B间的距离为8，可得|3−x|=8，再解方程即可．
本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，熟练的建立方程求解是关键．
16.【答案】560−x=25%⋅x
【解析】解：若设每台电风扇的成本价为x元，则其利润为(560−x)元，
依题意，得：560−x=25%⋅x．
故答案为：560−x=25%⋅x．
设每台电风扇的成本价为x元，根据利润=销售收入−成本，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】x+2y=73x+y=6
【解析】解：由题意，图2所示的算筹图表示的方程组是x+2y=73x+y=6，
故答案为：x+2y=73x+y=6．
根据图1所表示方程组，可找出各算筹表示的数量：第一列表示x系数，第二列表示y系数，第三列表示常数项，进而可得出图2所表示的方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】x<−12
【解析】解：由题意可知−2x+1>2，
解得x<−12，
故答案为：x<−12．
根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可．
本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．
19.【答案】x2−a2≤0
【解析】解：x与a的平方差不是正数可表示为：
x2−a2≤0．
故答案为：x2−a2≤0．
根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可．
本题考查了列不等式，正确理解不是正数可能是0也可能是负数是解答本题的关键．
20.【答案】6
【解析】解：3x−23x−x<6+2
2x<8
x<4，
所有正整数解为：1，2，3，
∴1+2+3=6，
故答案为：6．
先解不等式，根据解集得出正整数解，再求和即可．
本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】解：x−3y=2①2x+y=18②，
①+②×3得：7x=56，即x=8，
把x=8代入①得：y=2，
则方程组的解为x=8y=2．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22.【答案】解：4x+3=2(x−1)+1，
去括号，得4x+3=2x−2+1，
移项，得4x−2x=1−2−3，
合并同类项，得2x=−4，
系数化为1，得x=−2．
【解析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
23.【答案】解：x+5≥4(x−1)①4x−53>x−2②
由①，得x≤3，
由②，得x>−1，
∴不等式组的解集为−1解集在数轴上表示如下．

【解析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算求解．
24.【答案】解：设这些学生共有x人，根据题意得：
x8=x12+2，
解这个方程得：
x=48．
答：这些学生共有48人．
【解析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，根据上述结果，由其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程；解方程求出x的值即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．
25.【答案】解：设平均每天挖土xm3，
由题意得：(10−2−2)x≥600−120，
解得：x≥80．
答：平均每天至少挖土80m3．
【解析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，清楚600m3的土到底要用几天干完．
设以后6天内，平均每天要挖掘xm3土，根据题意可知原定在10天，已经干了两天，还要求提前2天，即为要6天至少挖掘(600−120)m3的土，根据题意可得不等式，解不等式即可．
26.【答案】③
【解析】解：(1)①解方程2x=−5得x=−52，
∵−52≠2−5=−3，
∴方程2x=−5不是“和解方程”；
②解方程5x=−2得x=−25，
∵−25≠5−2=3，
∴方程5x=−2不是“和解方程”
③解方程3x=−92得x=−32，
∵−32=3−92，
∴方程3x=−92是“和解方程”；
故答案为：③；
(2)解方程3x=6a−9得：x=2a−3，
∵关于x的一元一次方程3x=6a−9是“和解方程”，
∴x=3+6a−9=6a−6，
∴2a−3=6a−6，
解得a=34．
(1)根据“和解方程”的定义逐一判断即可得到答案；
(2)先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义可得关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键．
27.【答案】解：(1)由题意得x=2是方程2(2x−1)=3(x+a)−1的解，
把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得
2[2×2−1]=3×(2+a)−1，
解得a=13，
(2)2x−13=x−132−1，
去分母，得2(2x−1)=3(x−13)−6，
去括号，得4x−2=3x−1−6，
移项，得4x−3x=2−1−6，
合并同类项，得x=−5，
∴原方程正确的解为x=−5．
(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项(答案不唯一)．
【解析】(1)把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得到关于a的方程，求解得到a的值；
(2)把a的值代入方程2x−13=x+a2−1，得到关于x的方程，求解即可；
(3)根据解题经验提一条合理化建议即可．
本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
28.【答案】解：(1)设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，依题意得：
3x+2y=1705x+3y=275，
解得：x=40y=25，
答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元；
(2)设购买《论语》m本，则购买《孟子》(50−m)本，依题意得：
40×0.8m+(25−4)(50−m)≤1500，
解得：m≤401011．
∵m≥38，
∴38≤m≤401011．
又∵m为正整数，
∴m可以为38，39，40，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本，
所需总费用为40×0.8×38+(25−4)×12=1468(元)；
方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本，
所需总费用为40×0.8×39+(25−4)×11=1479(元)；
方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本，
所需总费用为40×0.8×40+(25−4)×10=1490(元)．
∵1468<1479<1490，
∴学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本．
【解析】(1)设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，根据等量关系式列出方程3x+2y=170，5x+3y=275，然后解方程组；
(2)设购买《论语》m本，则购买《孟子》(50−m)本，按照题意列出不等式，然后解不等式，m不少于38本，确定m的取值范围，根据m为正整数，确定m的值，算出各方案的值，比较大小，确定学校应选择的方案．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据等量关系式列出方程和不等式是解本题的关键．